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Kapitel 11.1

Tangentengleichung

Die Ableitung liefert die Steigung, der Berührpunkt den Rest: In fünf Schritten entsteht aus \(f'(x_0)\) die vollständige Geradengleichung \(g(x)=mx+b\).

11.1.1

Die Leitfrage und das Beispiel

Die Ableitung liefert die Steigung an einer Stelle. Jetzt suchst du die ganze Geradengleichung der Tangente.

  • Tangente:Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat.
  • Ansatz:\(g(x)=mx+b\) — die Tangente heißt durchgehend \(g\).
  • Steigung:\(m\) ist der Wert der Ableitung an der Berührstelle.
  • Beispiel:\(f(x)=x^{2}\), Tangente im Punkt \(P(2 \mid 4)\).
Die Skizze zum Beispiel
x y −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −2 2 4 6 8 f(x) = x² Tangente g(x) P(2 | 4) x = 2
Die Parabel \(f(x)=x^{2}\), der Berührpunkt \(P(2 \mid 4)\) mit der gestrichelten Senkrechten bei \(x=2\) und die rote Tangente \(g(x)\), die die Parabel dort berührt.

Verschieb den Berührpunkt und beobachte Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt der Tangente.

Der Berührpunkt wandert

Zieh den roten Punkt mit der Maus über die Parabel oder benutze den Schieberegler. Mit den Pfeiltasten bewegst du ihn in kleinen Schritten, mit der Eingabetaste springst du auf die Stelle \(2\) aus dem Beispiel.

x y −3 −2 −1 1 2 3 −6 −4 −2 2 4 6 8 f(x) = x² b P
Berührpunkt P
P(2 | 4)
Steigung m = f′(x0)
4
y-Achsenabschnitt b
−4
Tangentengleichung
g(x) = 4x − 4
An der Stelle 2 hat die Parabel die Steigung 4. Die Tangente lautet g(x) = 4x − 4.

Halte fest: Mit dem Berührpunkt ändert sich auch \(b\). Du musst es in jeder Aufgabe neu berechnen.

11.1.2

Der Rechenweg in fünf Schritten

Der Rechenweg ist immer derselbe, egal welche Funktion und welcher Punkt gegeben sind.

Das Rechenschema aus dem Unterricht
g(x) = m x + b m = f′(2) = 2 · 2 = 4 weil f(x) = x², also f′(x) = 2x g(x) = 4x + b P(2 | 4) einsetzen 4 = 4 · 2 + b b = −4 Also g(x) = 4x − 4
Ansatz \(\rightarrow\) Steigung über die Ableitung \(\rightarrow\) Ansatz mit konkretem \(m\) \(\rightarrow\) Punkt einsetzen \(\rightarrow\) \(b\) berechnen \(\rightarrow\) Ergebnis mit „Also …“ notieren.
  • Schritt 1:Ansatz \(g(x)=mx+b\) hinschreiben.
  • Schritt 2:Steigung berechnen: \(m=f'(x_0)\), hier \(f'(2)=2\cdot 2=4\).
  • Schritt 3:Ansatz mit \(m\) notieren: \(g(x)=4x+b\).
  • Schritt 4:Punkt einsetzen: \(4=4\cdot 2+b\), also \(b=-4\).
  • Schritt 5:Ergebnis: Also \(g(x)=4x-4\). Probe: \(g(2)=4\).
Merke

Tangente in \(P(x_0 \mid f(x_0))\): \(g(x)=mx+b\) mit \(m=f'(x_0)\) und \(b=f(x_0)-m\cdot x_0\)

Deck den Rechenweg Zeile für Zeile auf. Überleg vorher jedes Mal, was als Nächstes kommt.

Der Rechenweg Zeile für Zeile

Mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten deckst du die nächste Zeile auf; die Eingabetaste setzt alles zurück. Unter der Rechnung steht jeweils, warum dieser Schritt nötig ist.

Gegeben: f(x) = x² und der Punkt P(2 | 4) Ansatz g(x) = m x + b Steigung berechnen m = f′(2) = 2 · 2 = 4 Ansatz mit konkretem m g(x) = 4x + b Punkt einsetzen 4 = 4 · 2 + b b bestimmen b = 4 − 8 = −4 Ergebnis Also g(x) = 4x − 4
Aufgedeckte Zeilen
1 von 6
Stand der Rechnung
Ansatz
Jede Tangente ist eine Gerade. Also beginnt man mit dem allgemeinen Geradenansatz.

Halte fest: Nur Schritt 2 braucht die Ableitung. Der Rest ist eine Geradengleichung wie in der Mittelstufe.

11.1.3

Steigung und Neigungswinkel

In Sachaufgaben steht die Steigung oft als Winkel. Der Tangens verbindet beide Angaben.

  • Steigungsdreieck:waagerechte Kathete \(1\), senkrechte Kathete \(m\).
  • Tangens:\(\tan\alpha\) = Gegenkathete durch Ankathete \(=m\).
  • Umkehrung:\(\alpha=\arctan(m)\) — Taschenrechner auf Gradmaß.
  • Negatives \(m\):liefert einen negativen Winkel, die Gerade fällt.
  • Beispiel:\(10\,\%\) Steigung heißt \(m=0{,}1\), also \(\alpha\approx5{,}7^{\circ}\).
Merke

Neigungswinkel: \(m=\tan\alpha\) und \(\alpha=\arctan(m)\)

Stell die Steigung ein und lies den zugehörigen Winkel ab.

Von der Steigung zum Winkel

Verschieb den Regler oder benutze die Pfeiltasten auf der Grafik. Das orange Steigungsdreieck hat immer die waagerechte Kathete \(1\); die senkrechte Kathete ist gerade \(m\).

x y −4 −2 2 4 −2 −1 1 2 1 m α
Steigung m
1
Neigungswinkel α
45°
Probe: tan α
1
Bei m = 1 ist der Neigungswinkel 45°: Die Gerade steigt genau so schnell, wie sie nach rechts läuft.

Halte fest: Prozentangaben und Winkelangaben sind nicht dasselbe.

11.1.4

Sachaufgabe: die Skiflugschanze

Der Schanzentisch in Oberstdorf wird durch \(f(x)=-0{,}0005x^{3}-0{,}2x\) für \(-20\le x\le 0\) beschrieben (Einheit Meter). Der gerade Anlauf geht bei \(x=-20\) knickfrei in den Tisch über.

Anlauf und Schanzentisch im Koordinatensystem
x y −100 −80 −60 −40 −20 20 20 40 60 80 Startposition (−100 | 72) Übergang (−20 | 8) Schanzentisch f(x) Absprung O(0 | 0) Anlauf: y = −0,8x − 8
Die schwarze Gerade ist der geradlinige Anlauf, die rote Kurve der Schanzentisch. An der Stelle \(-20\) gehen beide knickfrei ineinander über; bei \(x=-100\) liegt die Startposition.
  • Knickfrei:gleicher Punkt und gleiche Steigung — der Anlauf ist die Tangente bei \(x=-20\).
  • a) Steigung:\(f'(x)=-0{,}0015x^{2}-0{,}2\), also \(m=f'(-20)=-0{,}8\).
  • a) Gerade:mit \(f(-20)=8\): \(8=-0{,}8\cdot(-20)+b\), also \(b=-8\) und \(y=-0{,}8x-8\).
  • b) Winkel:\(\alpha=\arctan(-0{,}8)\approx-38{,}66^{\circ}\) gegen die Waagerechte.
  • c) Start:bei \(x=-100\): \(y=-0{,}8\cdot(-100)-8=72\) Meter über dem Absprung.
11.1.5

Allgemeine Hinweise

Erst ableiten, dann einsetzen

Die Steigung ist \(f'(x_0)\), nicht \(f(x_0)\). Setz die Stelle erst in die Ableitung ein.

Probe machen

Setz \(x_0\) in deine Tangente ein. Es muss derselbe \(y\)-Wert wie beim Berührpunkt herauskommen.

Rechner auf DEG

Für den Neigungswinkel muss der Taschenrechner auf Gradmaß stehen. Sonst erhältst du ein Bogenmaß.

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