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Kapitel 7.1

Beispiel

Für \(f(x)=x^2\) wird die Ableitung an der Stelle 0,5 ohne Rechnerbefehl bestimmt — allein über Sekantensteigungen, die von beiden Seiten gegen einen Wert laufen.

1

Die Aufgabe: Tangentensteigung in \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\)

Für \(f(x)=x^2\) soll die Ableitung an der Stelle 0,5 möglichst genau bestimmt werden – ohne Rechner, nur mit dem Differenzenquotienten.

  • Punkt:\(f(0{,}5)=0{,}5^2=0{,}25\), also \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\).
  • Gesucht:die Steigung der Tangente in \(P\).
  • Ablesen reicht nicht:Schon eine leicht schiefe Gerade ändert die Steigung deutlich.
Die Normalparabel mit dem Punkt \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\)
x y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,1 0,2 0,3 f Tangente 0,25 P
Der Ausschnitt zeigt nur den Bereich um \(x=0{,}5\). Die rot gestrichelten Hilfslinien führen von \(P\) zu den beiden Achsen; die grüne Gerade berührt den Graphen in \(P\).
2

Sekante statt Tangente: die erste Näherung

Statt der Tangente berechnest du eine Sekante durch \(P\) und einen nahen Punkt \(Q(x \mid f(x))\). Ihre Steigung ist eine gute Näherung.

  • Sekantensteigung:\(m=\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}\).
  • Beispiel:\(x=0{,}51\): \(m=\frac{0{,}2601-0{,}25}{0{,}01}=\frac{0{,}0101}{0{,}01}=1{,}01\).
  • Näher heran:Je dichter \(Q\) an \(P\) liegt, desto weniger unterscheiden sich Sekante und Tangente.

Verschiebe \(Q\) auf dem Graphen; \(P\) bleibt fest. Vergleiche die Sekante mit der gestrichelten Tangente.

Q wandert auf P zu

Zieh \(Q\) mit der Maus, benutze den Schieberegler oder wähle eine der Stellen aus der Tabelle. Mit den Pfeiltasten bewegst du \(Q\) in kleinen Schritten.

x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,1 0,2 0,3 0,4 f Tangente in P Sekante durch P und Q P Q
Stelle von Q
x = 0,62
f(x) − f(0,5)
0,1344
x − 0,5
0,12
Sekantensteigung m
1,12
Die Sekante ist noch deutlich steiler als die Tangente: m = 1,12 statt 1.

Bei \(x=0{,}51\) liegen beide Geraden fast aufeinander, die Steigungen unterscheiden sich aber noch um 0,01.

3

Von rechts und von links

Du rückst \(Q\) immer dichter an \(P\) heran – erst von rechts, dann von links.

Schritt für Schritt an die 1 heran

Erzeuge die Werte selbst: Jeder Schritt rückt \(x\) um eine Dezimalstelle näher an 0,5 heran. Die Skala ist pro Schritt zehnfach vergrößert, damit die Punkte sichtbar bleiben.

Grenzwert 1 von links von rechts Die Skala ist pro Schritt zehnfach vergrößert: Jeder Schritt bringt eine Dezimalstelle mehr.
Letzter Wert von rechts
—
Letzter Wert von links
—
Größter Abstand zu 1
—
Starte mit einem Schritt von rechts: \(x=0{,}51\) liefert die Sekantensteigung 1,01.
von rechts
\(x\)0,510,5010,50010,500010,500001
\(\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}\)1,011,0011,00011,000011,000001
von links
\(x\)0,490,4990,49990,499990,499999
\(\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}\)0,990,9990,99990,999990,999999
  • Von rechts:Die Werte laufen von oben auf 1 zu.
  • Von links:Die Werte laufen von unten auf 1 zu.
  • Nie erreicht:Bei \(x=0{,}5\) wäre der Nenner null.
4

Das Ergebnis: \(f'(0{,}5)=1\)

Von beiden Seiten ist der Grenzwert 1. Die Tangente in \(P\) hat also die Steigung 1.

Merke

Ergebnis: \(f'(0{,}5)=\lim\limits_{x\to 0{,}5}\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}=1\)

  • Probe am Bild:0,2 nach rechts, 0,2 nach oben: \(\frac{0{,}2}{0{,}2}=1\).
Steigungsdreieck an der Tangente in \(P\)
x y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f Tangente 0,2 nach rechts 0,2 nach oben P
Das rote Steigungsdreieck gehört zur Tangente, nicht zur Parabel. Es bestätigt die berechnete Steigung \(m=1\).
5

Allgemeine Hinweise

Beide Seiten prüfen

Ein Grenzwert existiert nur, wenn rechts und links derselbe Wert herauskommt. Hier schließen 1,000001 und 0,999999 die 1 ein.

Nicht einsetzen

\(x=0{,}5\) darfst du nicht einsetzen, sonst steht unten null. Rechne mit Stellen in der Nähe.

Nicht zu früh runden

Rechne die Funktionswerte exakt, z. B. \(0{,}51^2=0{,}2601\). Gerundete Werte verfälschen den Quotienten stark.

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