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Kapitel 11.2

Normalengleichung

Die Normale steht im Punkt senkrecht auf der Tangente. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert — der Rest des Rechenwegs bleibt unverändert.

11.2.1

Die Leitfrage und die Skizze

Die Normale geht durch denselben Punkt wie die Tangente, steht dort aber senkrecht auf ihr.

  • Normale:Gerade durch \(P\), die im rechten Winkel zur Tangente verläuft.
  • Bezeichnung:die Normale heißt durchgehend \(h(x)\), die Tangente \(g(x)\).
  • Beispiel:\(f(x)=x^{2}\), \(P(2 \mid 4)\), Tangente \(g(x)=4x-4\).
  • Scheitel:ist die Tangente waagerecht, ist die Normale senkrecht und hat keine Steigung.
Tangente und Normale im selben Punkt
x y −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −2 2 4 6 8 f(x) = x² P(2 | 4) Tangente g(x) Normale h(x)
Beide Geraden gehen durch \(P(2 \mid 4)\). Die rote Tangente steigt steil an, die grüne Normale fällt flach ab; das violette Winkelzeichen markiert den rechten Winkel zwischen ihnen.

Verschieb den Punkt über die Parabel. Beobachte vor allem das Produkt der beiden Steigungen.

Zwei Geraden durch einen Punkt

Zieh den roten Punkt mit der Maus über die Parabel oder benutze den Schieberegler. Mit den Pfeiltasten bewegst du ihn in kleinen Schritten, mit der Eingabetaste springst du auf die Stelle \(2\) aus dem Beispiel.

x y −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −2 2 4 6 8 f(x) = x² Tangente g(x) Normale h(x)
Punkt P
P(2 | 4)
Steigung der Tangente
4
Steigung der Normalen
−0,25
Produkt der Steigungen
−1
An der Stelle 2 hat die Tangente die Steigung 4, die Normale die Steigung −0,25. Das Produkt ist −1.

Halte fest: Das Produkt der Steigungen ist immer \(-1\) — außer im Scheitel.

11.2.2

Der negative Kehrwert

Aus der Tangentensteigung \(m_t=f'(x_0)\) erhältst du die Normalensteigung in zwei Schritten.

  • Kehrwert:aus einer steilen Geraden wird eine flache und umgekehrt.
  • Minuszeichen:aus steigend wird fallend und umgekehrt.
  • Zusammen:beides ergibt genau den rechten Winkel, also \(m\cdot m_t=-1\).
  • Beispiel:\(m_t=1{,}5 \Rightarrow m=-\tfrac{2}{3}\); \(m_t=-1{,}25 \Rightarrow m=0{,}8\).
Merke

Steigung der Normalen: \(m=-\dfrac{1}{m_t}=-\dfrac{1}{f'(x_0)}\)

Stell die Tangentensteigung ein. Die Normalenrichtung wird jedes Mal mitberechnet.

Der negative Kehrwert

Verschieb den Regler oder benutze die Pfeiltasten auf der Grafik. Die beiden Geraden laufen der Übersicht halber durch den Ursprung; auf die Richtung kommt es an, nicht auf die Lage.

x y −4 −2 2 4 −2 −1 1 2 Tangentenrichtung Normalenrichtung
Steigung der Tangente mt
4
Steigung der Normalen
−0,25
Produkt
−1
Zu mt = 4 gehört die Normalensteigung −0,25. Das Produkt der beiden Steigungen ist −1.

Halte fest: Je steiler die Tangente, desto flacher die Normale.

11.2.3

Der Rechenweg am Musterbeispiel

Der Rechenweg ist derselbe wie bei der Tangente — mit einem zusätzlichen Schritt für den negativen Kehrwert.

Das Rechenschema aus dem Unterricht
h(x) = m x + b m = − 1 mₜ = − 1 4 = − 0,25 weil die Tangente die Steigung f′(2) = 4 hat h(x) = − 1 4 x + b P(2 | 4) einsetzen 4 = − 1 4 · 2 + b b = 4,5 Also h(x) = − 1 4 x + 4,5
Ansatz \(\rightarrow\) Steigung als negativer Kehrwert der Tangentensteigung \(\rightarrow\) Ansatz mit konkretem \(m\) \(\rightarrow\) Punkt einsetzen \(\rightarrow\) \(b\) berechnen \(\rightarrow\) Ergebnis.
  • Schritt 1:Ansatz \(h(x)=mx+b\).
  • Schritt 2:\(m_t=f'(2)=4\), also \(m=-\tfrac{1}{4}\).
  • Schritt 3:Punkt einsetzen: \(4=-\tfrac{1}{4}\cdot 2+b\), also \(b=4{,}5\).
  • Schritt 4:Ergebnis: Also \(h(x)=-\tfrac{1}{4}x+4{,}5\). Probe: \(h(2)=4\).

Deck den Rechenweg Zeile für Zeile auf und vergleiche mit der Tangentengleichung.

Der Rechenweg Zeile für Zeile

Mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten deckst du die nächste Zeile auf; die Eingabetaste setzt alles zurück.

Gegeben: f(x) = x² und der Punkt P(2 | 4) Ansatz h(x) = m x + b Tangentensteigung mₜ = f′(2) = 2 · 2 = 4 Steigung der Normalen m = − 1 mₜ = − 1 4 Ansatz mit konkretem m h(x) = − 1 4 x + b Punkt einsetzen 4 = − 1 4 · 2 + b b bestimmen b = 4 + 0,5 = 4,5 Ergebnis Also h(x) = − 1 4 x + 4,5
Aufgedeckte Zeilen
1 von 7
Stand der Rechnung
Ansatz
Auch die Normale ist eine Gerade. Also beginnt man wieder mit dem Geradenansatz.

Halte fest: Gegenüber der Tangente kommt genau eine Zeile hinzu: \(m=-\tfrac{1}{m_t}\).

11.2.4

Sachaufgabe: die Verankerungen der Brücke

Ein Brückenbogen hat die Form \(f(x)=-\tfrac{1}{32}x^{2}\). Die Verankerungen treffen orthogonal auf den Bogen — sie liegen also auf Normalen.

Der Bogen mit den beiden Verankerungen
x y −40 −20 20 40 −40 −20 10 Brückenbogen: y = − 1 32 x² P₁(−24 | −18) P₂(20 | −12,5)
In \(P_1\) und \(P_2\) treffen die grünen Verankerungen im rechten Winkel auf den blauen Bogen — sie liegen also auf den Normalen des Bogens in diesen Punkten.
  • Ableitung:\(f'(x)=-\tfrac{1}{16}x\).
  • Links \(P_1(-24 \mid -18)\):\(f'(-24)=1{,}5\), \(m=-\tfrac{2}{3}\), \(b=-34\): \(y=-\tfrac{2}{3}x-34\).
  • Rechts \(P_2(20 \mid -12{,}5)\):\(f'(20)=-1{,}25\), \(m=0{,}8\), \(b=-28{,}5\): \(y=0{,}8x-28{,}5\).
  • Vergleich:Tangente mit \(m=f'(x_0)\), Normale mit \(m=-\tfrac{1}{f'(x_0)}\) — eingesetzt wird derselbe Punkt.
11.2.5

Allgemeine Hinweise

Beide Schritte nötig

Nur Kehrwert oder nur Minuszeichen reicht nicht. Aus \(m_t=4\) wird \(-\tfrac{1}{4}\), nicht \(\tfrac{1}{4}\) oder \(-4\).

Probe mit dem Produkt

Multipliziere beide Steigungen. Kommt \(-1\) heraus, stehen die Geraden senkrecht.

Waagerechte Tangente

Ist \(f'(x_0)=0\), gibt es keinen Kehrwert. Die Normale ist dann die senkrechte Gerade \(x=x_0\).

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