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3.1.2

Mittlere Änderungsrate

Krumme Graphen haben keine einheitliche Steigung mehr. Wir greifen deshalb ein Intervall heraus, verbinden seine Randpunkte durch eine Sekante und messen deren Steigung.

1

Von der Kurve zur Sekante

Ein krummer Graph ist an jeder Stelle anders steil. Für eine rechenbare Zahl betrachtest du nur Anfangs- und Endpunkt eines Intervalls.

  • Intervall:Abschnitt \([a\,;\,b]\) mit \(a\neq b\).
  • Randpunkte:\(P(a\mid f(a))\) und \(Q(b\mid f(b))\); was dazwischen passiert, bleibt unberücksichtigt.
  • Sekante:Gerade durch \(P\) und \(Q\) (lat. secare = schneiden).
  • Differenzenquotient:Steigung der Sekante – oben und unten steht je eine Differenz.
  • Gleichbedeutend:durchschnittliche Änderungsrate = mittlere Steigung = Sekantensteigung.
  • Einheit:\([m]=\frac{[y]}{[x]}\), z. B. m/min.
Zwei Punkte, eine Gerade, eine Zahl
x y f(a) f(b) a b Sekante f b − a f(b) − f(a) P Q
Das Steigungsdreieck spannt sich zwischen \(P(a\mid f(a))\) und \(Q(b\mid f(b))\) auf. Waagerecht liegt \(b-a\), senkrecht \(f(b)-f(a)\).
Woher der Name kommt
secare lateinisch für schneiden Sekante Zwei Schnittpunkte — die Gerade ragt beidseitig hinaus.
Eine Sekante schneidet die Kurve in zwei Punkten. Eine Gerade, die sie nur berührt, heißt dagegen Tangente — die kommt in Kapitel 3 dran.
Merke

Durchschnittliche Änderungsrate: \(m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

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Der Differenzenquotient in der Anwendung

Die Flughöhe eines Modellflugzeugs wird über der Zeit aufgetragen. Die Rate fragt nur: Wie viel Höhe kam insgesamt dazu, und in welcher Zeit?

Flughöhe eines Modellflugzeugs
20 40 60 80 100 200 400 600 Flugzeit in min Flughöhe in m m₁ m₂ A(10 | 50) B(30 | 300) C(60 | 600) D(90 | 150)
Zwei Intervalle, zwei Sekanten: der Steigflug von \(A\) nach \(B\) und der Sinkflug von \(C\) nach \(D\).
  • Messpunkte:\(A(10\mid 50)\), \(B(30\mid 300)\), \(C(60\mid 600)\), \(D(90\mid 150)\); \(x\) in min, \(f(x)\) in m.
  • Steigflug:\(m_1=\frac{300-50}{30-10}=\frac{250}{20}=12{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\).
  • Sinkflug:\(m_2=\frac{150-600}{90-60}=\frac{-450}{30}=-15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\).
  • Deutung:Das Minus heißt „fällt“ – das Flugzeug verliert im Schnitt 15 m pro Minute.
  • Steiler:Es zählt der Betrag: \(|-15|>|12{,}5|\), der Sinkflug ist steiler.
3

Große Rate, steiler Verlauf

Vergleichst du gleich breite Intervalle, zeigt die Rate, wo der Graph steiler ist.

Gleich breite Intervalle, verschiedene Raten
x y Δx = 2 m₁ = 1,5 Δx = 2 m₂ = 0,9 Δx = 2 m₃ = 0,3
Von links nach rechts sinkt die durchschnittliche Änderungsrate von 1,5 über 0,9 auf 0,3. Genau das sieht man auch: Die Sekanten werden flacher.
  • \(m>0\):Die Sekante steigt.
  • \(m<0\):Die Sekante fällt.
  • \(m=0\):Anfangs- und Endwert sind gleich, \(f(b)=f(a)\) – dazwischen kann trotzdem viel passieren.
  • Steilheit:Je größer \(|m|\), desto steiler verläuft der Graph im Mittel.
Rate null, aber viel passiert
x y a b f(b) − f(a) = 0 ⇒ m = 0 dazwischen passiert eine Menge
Der Graph steigt kräftig und fällt wieder auf dieselbe Höhe zurück. Die Sekante ist waagerecht, also ist \(m=0\).
Merke

Steilheit: größerer Betrag \(|m|\) \(\Rightarrow\) steilerer Verlauf im Intervall

Ziehe die Randpunkte mit der Maus oder wähle sie mit Tab und verschiebe sie mit ← und →.

Sekanten-Schieber

Beide Punkte lassen sich entlang des Graphen in Schritten von 0,5 verschieben. Das Readout rechnet den Differenzenquotienten sofort mit.

x y b − a f(b) − f(a) P Q
Intervall
[2 ; 7]
f(b) − f(a)
−1,25
b − a
5
Änderungsrate m
−0,25
Verschiebe P oder Q, um das Intervall zu ändern.

Schiebst du \(b\) dicht an \(a\) heran, schmiegt sich die Sekante an den Graphen an – das ist der Start für das nächste Kapitel.

4

Raten aus einer Wertetabelle

Ohne Funktionsterm genügen zwei Wertepaare aus einer Messreihe. Hier: Ladestand eines E-Bike-Akkus in Prozent über der Zeit in Minuten.

Ladestand eines E-Bike-Akkus, alle zehn Minuten abgelesen
Zeit x in min0102030405060708090
Ladestand f(x) in %8264868829095979899
  • Einheit:\([m]=\frac{\%}{\text{min}}\).
  • Beispiel:\([0\,;\,90]\): \(m=\frac{99-8}{90-0}=\frac{91}{90}\approx1{,}01\,\frac{\%}{\text{min}}\).
  • Nur Randwerte:Die Werte dazwischen werden nicht gebraucht.
  • Gleich breite Teile:Nur dann ergibt der Mittelwert der Einzelraten die Gesamtrate.

Wähle zwei Messpunkte per Klick oder mit Tab und Enter.

Lade-Detektiv

Suchauftrag: Finde die beiden Messpunkte, zwischen denen die durchschnittliche Änderungsrate am größten ist.

Zeit x in min f(x) in %
Gewähltes Intervall
—
Änderung des Ladestands
—
Änderungsrate m
—
Bisheriger Bestwert
—
Wähle zwei der zehn Messpunkte aus.

Am steilsten ist es zwischen Minute 10 und 20. Danach werden die Sekanten immer flacher.

5

Was die Zahl verschweigt

Die Rate kennt nur die beiden Randpunkte. Verschiedene Verläufe können dieselbe Rate haben.

Wähle mit den Schaltflächen oder mit ← und → einen der drei Wege von \(P(1\mid 1)\) nach \(Q(7\mid 7)\).

Drei Wege, eine Sekante

Dieselben Randpunkte, drei sehr verschiedene Verläufe. Achte darauf, welcher Wert im Readout konstant bleibt.

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 x y P(1 | 1) Q(7 | 7)
Änderungsrate auf [1 ; 7]
1
Steilster Ein-Schritt-Abschnitt
1
Flachster Ein-Schritt-Abschnitt
1
Weg A ist die Sekante selbst: Hier stimmt jede Teilrate mit der Gesamtrate überein.

Die Rate bleibt bei allen Wegen \(m=\frac{7-1}{7-1}=1\). Weg C fällt am Anfang sogar.

  • Brauchst du:zwei Punkte mit \(a\neq b\) – aus Graph, Tabelle oder Term.
  • Ergebnis:eine Zahl mit Einheit; Vorzeichen = Richtung, Betrag = Steilheit.
  • Verschweigt:jede Schwankung zwischen \(a\) und \(b\) – gib daher immer das Intervall an.
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Allgemeine Hinweise

Gleiche Reihenfolge

Zu \(f(b)-f(a)\) gehört im Nenner \(b-a\). Drehst du nur eine Differenz um, stimmt das Vorzeichen nicht.

Vorzeichen abschätzen

Liegt \(Q\) höher als \(P\), muss \(m\) positiv sein. Passt dein Ergebnis nicht dazu, prüfe Zähler und Nenner.

Steil ist nicht groß

Es gilt \(-15<12{,}5\), aber \(|-15|>|12{,}5|\). Für die Steilheit vergleichst du Beträge.

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