Zwei Merkmale — die Vierfeldertafel
Das Kapitel beginnt mit Daten, bei denen an jeder Person zwei Ja/Nein-Merkmale erfasst werden. Jede Person passt dann in genau eines von vier Feldern. Die Vierfeldertafel ordnet diese Anzahlen so, dass sich alle Summen gegenseitig kontrollieren.
4.1.1Daten mit zwei Merkmalen
Zu zwei Merkmalen A und B gibt es vier Kombinationen: A und B, A und B, A und B, A und B. Der Querstrich bedeutet „nicht“. Teilt man eine Anzahl durch die Gesamtzahl, erhält man die relative Häufigkeit.
Beispiel: Von 40 Befragten tragen 10 eine Brille (A), 4 davon sind Linkshänder (B). Dann ist h(A und B) = 440 = 0,1.
4.1.2Vierfeldertafel ergänzen
Innen stehen die vier Kombinationen, rechts und unten die Randsummen. Jede Zeile und jede Spalte geht auf. Deshalb reichen drei passende Werte plus die Gesamtzahl, um alle neun Felder zu füllen.
| T | T | Summe | |
|---|---|---|---|
| V | 18 | 12 | 30 |
| V | 26 | 24 | 50 |
| Summe | 44 | 36 | 80 |
Beispiel: 30 − 18 = 12, 44 − 18 = 26, 80 − 30 = 50, 50 − 26 = 24. Probe: 12 + 24 = 36 = 80 − 44.
„A und B“ ist ein inneres Feld, „A“ allein ist ein Rand
Wer nach allen Personen mit Brille fragt, braucht die Randsumme der Zeile A — nicht das Feld „A und B“. Lies die Frage deshalb zweimal: Kommt ein zweites Merkmal darin vor, liegt die Antwort innen; kommt nur eines vor, am Rand.
Zweistufige Experimente — Äste und Pfade
Aus Klasse 8 kennst du das Baumdiagramm. Neu ist die genaue Schreibweise für die Äste der zweiten Stufe: PA(B) ist die Wahrscheinlichkeit für B, wenn A schon eingetreten ist. Mit Knotenregel und Pfadregeln lässt sich jeder Baum vervollständigen und auswerten.
4.2.1Zweistufige Experimente
Zwei Teilvorgänge laufen nacheinander ab, jedes Ergebnis ist ein Paar. Jeder Pfad im Baum steht für genau ein solches Ergebnis. Die Äste der zweiten Stufe dürfen vom Ergebnis der ersten Stufe abhängen.
Beispiel: Ein Beutel enthält 4 grüne und 1 gelbe Kugel. Zweimal ziehen ergibt die Ergebnisse gg, gy, yg — „yy“ ist ohne Zurücklegen unmöglich.
Mit und ohne Zurücklegen
Mit Zurücklegen sieht die zweite Stufe aus wie die erste. Ohne Zurücklegen fehlt eine Kugel: Der Nenner wird n − 1, und die gezogene Farbe hat eine Kugel weniger.
Beispiel: Gleicher Beutel, ohne Zurücklegen: P(gg) = 45 · 34 = 35 = 0,6.
4.2.2Baumdiagramme vervollständigen
An jedem Verzweigungspunkt ergeben die Äste zusammen 1 — so bekommst du jedes Gegenereignis. Fehlt ein Ast der zweiten Stufe, aber der Pfad ist bekannt, teilst du den Pfad durch den Ast davor.
Beispiel: P(A) = 0,35, also P(A) = 0,65. Ist P(A und B) = 0,28, dann gilt PA(B) = 0,280,35 = 0,8 und PA(B) = 0,2.
PA(B) = P(A und B)P(A)
4.2.3Pfadregeln anwenden
Produktregel: Entlang eines Pfades wird multipliziert. Summenregel: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Pfadwahrscheinlichkeiten addiert.
Beispiel: Der Zug ist mit 0,8 pünktlich (Z). Den Anschluss (A) erreicht man dann mit 0,9, sonst mit 0,5. P(A) = 0,8 · 0,9 + 0,2 · 0,5 = 0,72 + 0,10 = 0,82.
Die Äste der zweiten Stufe sind PA(B) — nicht P(B)
Am oberen Ast der zweiten Stufe steht die Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung, dass A schon eingetreten ist. Das ist meistens eine andere Zahl als P(B) insgesamt. P(B) bekommst du erst mit der Summenregel über alle Pfade, die in B enden.
Baum und Tafel — zwei Blicke auf dieselben Daten
Baumdiagramm und Vierfeldertafel enthalten dieselbe Information, nur anders sortiert. Wer sicher zwischen beiden wechseln kann, kann den Baum auch „umdrehen“ und mit dem anderen Merkmal beginnen. Dabei gilt: Werte aus Daten sind Schätzwerte, die von Stichprobe zu Stichprobe schwanken.
4.3.1Baum und Tafel wechseln
Baum → Tafel: Die vier Pfade sind die inneren Felder, die Äste der ersten Stufe die Randsummen. Der Rand des anderen Merkmals ist die Summe zweier Pfade. Tafel → umgekehrter Baum: 1. Stufe = Randsummen des Merkmals, das jetzt vorne steht; 2. Stufe = inneres Feld : Randsumme davor.
| B | B | Summe | |
|---|---|---|---|
| A | 0,2 | 0,2 | 0,4 |
| A | 0,15 | 0,45 | 0,6 |
| Summe | 0,35 | 0,65 | 1 |
Beispiel: Umgekehrter Baum mit B vorne: P(B) = 0,35 und PB(A) = 0,20,35 ≈ 0,57.
4.3.2Variabilität der Daten
Zwei Stichproben aus derselben Gruppe liefern fast nie dieselbe Tafel. Relative Häufigkeiten sind deshalb nur Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeit p. Je größer die Stichprobe, desto kleiner die typische Schwankung.
Beispiel: Ein fairer Würfel zeigt die Sechs mit p = 16 ≈ 0,17. Bei n = 400 Würfen ist 1√400 = 0,05 — die relative Häufigkeit liegt meistens zwischen etwa 0,12 und 0,22.
Umdrehen heißt nicht: Äste vertauschen
PB(A) und PA(B) sind verschiedene Größen — im Beispiel oben 0,57 und 0,5. Den umgekehrten Baum bekommst du nie durch bloßes Umhängen der Zahlen, sondern immer über die Tafel: erst die Pfade als innere Felder eintragen, dann die neuen Randsummen bilden und teilen.
Rückschlüsse ziehen und bewerten
Jetzt wird rückwärts gefragt: Man kennt das Ergebnis der zweiten Stufe und will wissen, wie wahrscheinlich eine bestimmte erste Stufe war. Danach geht es darum, was die Zahlen bedeuten — und was sie nicht beweisen.
4.3.3Wahrscheinlichkeiten ermitteln
Für einen Rückschluss teilst du den passenden Pfad durch alle Pfade, die im beobachteten Ergebnis D enden. Am übersichtlichsten wird es mit natürlichen Häufigkeiten: Denk dir 100, 1000 oder 10 000 Fälle und rechne mit Anzahlen.
Beispiel: 20 % aller Mails sind Spam. Der Filter markiert 90 % der Spam-Mails, aber auch 5 % der normalen. Von 1000 Mails: 200 · 0,9 = 180 markierter Spam, 800 · 0,05 = 40 falsch markiert. Pmarkiert(Spam) = 180220 ≈ 0,82.
4.3.4Ergebnisse interpretieren
Zwei Merkmale sind unabhängig, wenn der Anteil von B in beiden Gruppen gleich ist. Ist er verschieden, gibt es einen Zusammenhang — aber noch keine Ursache: Oft steckt ein drittes Merkmal dahinter. Und bei seltenen Merkmalen sind viele positive Befunde Fehlalarme (Basisrate).
Beispiel: Von 20 Schülern mit Nachhilfe verbessern sich 8, von 40 ohne Nachhilfe 16. Beide Anteile sind 820 = 1640 = 0,4 — in diesen Daten kein Zusammenhang.
Warum die Basisrate so viel ausmacht
Ist ein Merkmal selten, ist die „andere“ Gruppe riesig. Schon ein kleiner Anteil falscher Treffer in dieser großen Gruppe ergibt dann viele Fehlalarme — oft mehr als echte Treffer. Mit natürlichen Häufigkeiten siehst du das sofort, weil du die beiden Anzahlen direkt nebeneinander hast.
Zusammenhang ist nicht gleich Ursache
Wenn Menschen, die viel Eis essen, häufiger Sonnenbrand haben, macht das Eis keinen Sonnenbrand: Beides hängt vom sonnigen Wetter ab. Formuliere deshalb vorsichtig — „in diesen Daten tritt B in der Gruppe A häufiger auf“ — und denke bei jeder Deutung an mögliche Drittmerkmale und an die Größe der Stichprobe.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Die meisten verlorenen Punkte in diesem Kapitel kosten keine schwierige Idee, sondern eine Kleinigkeit: ein falscher Nenner, ein vergessener Pfad, eine vorschnelle Deutung. Diese sechs Punkte gehen alle in die Arbeit mit.
1. Erst die Frage übersetzen: P(A und B), PA(B) oder PB(A)?
„Wie viele haben A und B?“ ist ein Pfad bzw. ein inneres Feld. „Wie viele von denen mit A haben B?“ ist PA(B) — der Nenner ist die Gruppe A. Das Wort nach „von denen“ oder „unter den“ zeigt dir immer den Nenner.
2. Jede Summe kontrollieren
Äste an einem Knoten ergeben 1, alle Pfade zusammen ergeben 1, in der Tafel geht jede Zeile und Spalte auf. Diese Probe dauert zehn Sekunden und findet fast jeden Rechenfehler, bevor er in die nächste Teilaufgabe weitergetragen wird.
3. Ohne Zurücklegen ändert sich die zweite Stufe
Wird nicht zurückgelegt, ist in der zweiten Stufe eine Kugel weniger im Beutel: Nenner n − 1, und bei der gezogenen Farbe steht im Zähler eins weniger. Wer die erste Stufe einfach kopiert, rechnet ein anderes Experiment.
4. Beim Rückschluss gehören alle passenden Pfade in den Nenner
PD(A) ist der Pfad „A und D“ geteilt durch P(D) — und P(D) ist die Summe aller Pfade, die in D enden. Der häufigste Fehler ist, nur den Ast PA(D) hinzuschreiben. Mit natürlichen Häufigkeiten passiert das kaum.
5. Daten sind Schätzwerte
Eine relative Häufigkeit aus einer Stichprobe ist nicht die Wahrscheinlichkeit selbst. Kleine Unterschiede zwischen zwei Anteilen können reiner Zufall sein — prüfe mit 1√n, ob die Abweichung im üblichen Schwankungsbereich liegt.
6. Rechnung, Antwortsatz, Deutung
Schreibe bei jeder Sachaufgabe auf, welche Wahrscheinlichkeit du berechnest (mit Bedingung), rechne nachvollziehbar und antworte im Sachkontext. Bei Aufgaben zum Beurteilen gehört ein Satz zur Unabhängigkeit, zur Basisrate oder zu möglichen Drittmerkmalen dazu — eine Zahl allein ist noch keine Stellungnahme.