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Übung — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Tafel ablesen, Lücken ergänzen, Pfadregeln anwenden. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur.

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Aufgabenblock — AFB I

Diese Übung deckt alle neun Unterkapitel 4.1.1–4.3.4 aus dem Thema „Rückschlüsse aus Baumdiagrammen“ ab. Du löst 10 Standardaufgaben der Anforderungsstufe AFB I (Reproduzieren) — also: Werte aus Tafel oder Baum ablesen, Lücken mit Knoten- und Summenregel ergänzen, Pfadregeln direkt anwenden. Diese Aufgaben sind die sicheren Punkte in jeder Klausur. Wahrscheinlichkeiten gibst du als Dezimalzahl mit Komma ein (z. B. 0,25); ein Bruch wie 1/4 wird auch erkannt. Bei jeder Aufgabe gibt es bei Bedarf eine Regel-Erinnerung und eine Lösung.

A1
Relative Häufigkeit ablesen
AFB I

250 Jugendliche wurden befragt, ob sie Podcasts hören (P) und ob sie in ihrer Freizeit Bücher lesen (L). Lies aus der Tabelle ab und berechne die relative Häufigkeit h(P und L) sowie h(P).

Relative Häufigkeit: h = Anzahl im Feld : Gesamtzahl. Für h(P) brauchst du die Randsumme der Zeile P.
Lösung anzeigen
h(P und L) = 60 : 250 = 0,24
Zeile P: 60 + 40 = 100, also h(P) = 100 : 250 = 0,4
LLSummeP6040100P7080150Summe130120250
Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten
A2
Vierfeldertafel ergänzen
AFB I

In einer Umfrage unter 120 Haushalten geht es um ein Streaming-Abo (S) und eine Spielkonsole (K). Ergänze die beiden markierten Felder der Vierfeldertafel.

Zeilen- und Spaltensummen: Die zwei inneren Felder einer Zeile ergeben die Randsumme dieser Zeile. Genauso bei den Spalten.
Lösung anzeigen
Zeile S: 70 − 42 = 28
Spalte K: 65 − 28 = 37
KKSummeS42?70S13?Summe5565120
Die markierten Felder fehlen
A3
Ziehen ohne Zurücklegen
AFB I

In einer Urne liegen 6 weiße (W) und 5 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass die zweite Kugel weiß ist, wenn die erste weiß war bzw. wenn die erste schwarz war.

Ohne Zurücklegen: Auf der 2. Stufe liegt eine Kugel weniger in der Urne (Nenner 11 − 1 = 10). Von der zuerst gezogenen Farbe ist eine Kugel weniger da.
Lösung anzeigen
Erste weiß: noch 5 weiße von 10 Kugeln, PW(W) = 5/10 = 0,5
Erste schwarz: noch 6 weiße von 10 Kugeln, PW(W) = 6/10 = 0,6
6 weiß · 5 schwarz
Urne vor dem ersten Zug
A4
Baumdiagramm vervollständigen
AFB I

Bestimme mit der Knotenregel die beiden fehlenden Astwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.

Knotenregel: Die Äste an einem Verzweigungspunkt ergeben zusammen 1, z. B. P(A) = 1 − P(A).
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P(A) = 1 − 0,35 = 0,65
PA(B) = 1 − 0,3 = 0,7
AABBBB0,35?0,80,20,3?
Zweistufiges Baumdiagramm mit Lücken
A5
Produktregel — ein Pfad
AFB I

Berechne mit der Produktregel die Wahrscheinlichkeit des hervorgehobenen Pfades, also P(A und B).

Produktregel: Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert: P(A und B) = P(A) · PA(B).
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P(A und B) = 0,3 · 0,6 = 0,18
AABBBB0,30,70,60,40,20,8
Hervorgehoben: Pfad A → B
A6
Summenregel — zwei Pfade
AFB I

Auf dem Schulweg kommt Mia an zwei Ampeln vorbei. G bedeutet „Ampel ist grün“. Berechne mit dem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Ampeln grün ist.

Summenregel: Gehören mehrere Pfade zum Ereignis, addierst du ihre Pfadwahrscheinlichkeiten. Hier: G → G und G → G.
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P(G und G) = 0,4 · 0,3 = 0,12
P(G und G) = 0,6 · 0,5 = 0,30
P(genau eine grün) = 0,12 + 0,30 = 0,42
GGGGGG0,40,60,70,30,50,5
1. Ampel → 2. Ampel
A7
Vom Baum zur Vierfeldertafel
AFB I

Das Baumdiagramm soll in eine Vierfeldertafel übertragen werden. Berechne den Eintrag P(A und B) und die Randsumme P(B).

Baum → Tafel: Jeder Pfad liefert ein inneres Feld (Produktregel). Die Randsumme von B ist die Summe der zwei Pfade, die in B enden.
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P(A und B) = 0,8 · 0,25 = 0,2
P(A und B) = 0,2 · 0,5 = 0,1
P(B) = 0,1 + 0,2 = 0,3
AABBBB0,20,80,50,50,250,75
Beide Pfade, die in B enden
A8
Variabilität — Faustregel
AFB I

Eine Reißzwecke landet mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,3 auf dem Kopf. Sie wird n = 400-mal geworfen. Berechne den Wert 1/√n der Faustregel und gib die obere Grenze an, unter der die relative Häufigkeit h meistens bleibt.

Faustregel: |h − p| < 1/√n gilt meistens. Die relative Häufigkeit liegt also meistens zwischen p − 1/√n und p + 1/√n.
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1/√400 = 1/20 = 0,05
obere Grenze: 0,3 + 0,05 = 0,35
(untere Grenze: 0,3 − 0,05 = 0,25)
0,200,250,300,350,40p = 0,3h liegt meistens in [p − ? ; p + ?]n = 400 Würfe
Schwankungsbereich um p
A9
Unbekannte Astwahrscheinlichkeit
AFB I

Im Baumdiagramm sind P(A) = 0,4 und die Pfadwahrscheinlichkeit P(A und B) = 0,12 bekannt. Bestimme die fehlende Astwahrscheinlichkeit PA(B).

Ast aus Pfad: Die Produktregel rückwärts: PA(B) = P(A und B) : P(A).
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PA(B) = 0,12 : 0,4 = 0,3
Probe: 0,4 · 0,3 = 0,12 ✓
AABBBB0,40,6?0,12
Pfadwert bekannt, Ast gesucht
A10
Rückschluss aus der Tafel
AFB I

Ein Sensor prüft 1000 Bauteile. D: Bauteil ist defekt, M: Sensor meldet Alarm. Lies aus der Tafel ab, wie viele Bauteile Alarm auslösen, und berechne den Anteil der defekten Teile unter ihnen, also PM(D).

Rückschluss: PM(D) = P(D und M) : P(M). Mit absoluten Zahlen: Feld „D und M“ geteilt durch die Spaltensumme M.
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Spalte M: 18 + 54 = 72
PM(D) = 18 : 72 = 0,25
Nur jedes vierte Alarm-Teil ist wirklich defekt.
MMSummeD18220D54926980Summe9281000
Absolute Häufigkeiten, 1000 Bauteile

Wie war es?

Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 AFB-I-Aufgaben?