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Übung — AFB II

Zehn Aufgaben aus allen neun Unterkapiteln: fehlende Äste erschließen, Baum und Tafel wechseln, Rückschlüsse ziehen.

Anwenden, wo es nicht offensichtlich ist — AFB II. Hier wird Verständnis sichtbar.

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Aufgabenblock — AFB II

10 Aufgaben aus den Unterkapiteln 4.1.1 bis 4.3.4. Jede Aufgabe braucht mehrere Schritte und einen Wechsel der Darstellung (Text → Baum → Tafel oder umgekehrt). Wahrscheinlichkeiten kannst du als Dezimalzahl mit Komma oder als Bruch (z. B. 4/7) eingeben. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Leseumfrage — Anteile in zwei Gruppen vergleichen
AFB II

Die Schulbibliothek befragt 250 Schülerinnen und Schüler. Merkmal U: „ist in der Unterstufe (Klasse 5–7)“, Merkmal L: „liest regelmäßig in der Freizeit“. Von den 100 Befragten aus der Unterstufe lesen 60 regelmäßig; insgesamt lesen 105 Befragte regelmäßig.

a) Bestimme, wie viele Befragte nicht in der Unterstufe sind und trotzdem regelmäßig lesen. b) Berechne die relative Häufigkeit h(L und U). c) Berechne den Anteil der regelmäßigen Leser innerhalb der Gruppe U und vergleiche ihn mit dem Anteil in der Unterstufe.

Personen
Ansatz: Lege eine Vierfeldertafel mit Anzahlen an (Zeilen U / U, Spalten L / L). Die Randsummen stehen im Text; die fehlenden Felder ergeben sich durch Subtrahieren. Für c) teilst du durch die Größe der Gruppe U, nicht durch 250.
Rechenweg: L und U: 105 − 60 = 45. h = 45 : 250 = 0,18. Gruppe U: 250 − 100 = 150 Personen, davon 45 Leser → 45 : 150 = 0,3.
Lösung: a) 45 Personen. b) 0,18. c) 0,3 — in der Unterstufe liest dagegen der Anteil 60 : 100 = 0,6.
Vollständige Lösung
Vierfeldertafel (Anzahlen): U und L = 60, U und L = 40, Summe U = 100; U und L = 105 − 60 = 45, U und L = 150 − 45 = 105, Summe U = 150; Gesamt 250. a) 45. b) h(L und U) = 45 : 250 = 0,18 — bezogen auf alle Befragten. c) Innerhalb von U: 45 : 150 = 0,3. In der Unterstufe: 60 : 100 = 0,6. Deutung: Unter den Jüngeren ist der Anteil regelmäßiger Leser doppelt so groß. Wichtig ist, immer zu sagen, worauf sich ein Anteil bezieht: auf alle 250 (0,18) oder nur auf die Gruppe U (0,3).
L L Summe U U Summe 60 ? 100 ? ? ? 105 ? 250
Leseumfrage — Anzahlen
A2
Haushalte — Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten ergänzen
AFB II

In einer Stadt hat ein zufällig ausgewählter Haushalt mit Wahrscheinlichkeit 0,65 ein Streaming-Abo (S) und mit Wahrscheinlichkeit 0,4 eine Spielkonsole (K). Die Wahrscheinlichkeit für „Streaming-Abo, aber keine Konsole“ beträgt 0,35.

Vervollständige die Vierfeldertafel und gib die drei fehlenden inneren Felder an.

Ansatz: Jede Zeile und jede Spalte addiert sich zur Randsumme; alles zusammen ergibt 1. Beginne in der Zeile, in der schon zwei Werte stehen (Zeile S).
Rechenweg: P(S und K) = 0,65 − 0,35 = 0,30. Spalte K: P(S und K) = 0,4 − 0,3 = 0,10. P(S) = 1 − 0,65 = 0,35, also P(S und K) = 0,35 − 0,10 = 0,25.
Lösung: P(S und K) = 0,3; P(S und K) = 0,1; P(S und K) = 0,25.
Vollständige Lösung
Zeile S: 0,65 − 0,35 = 0,30. Spalte K: 0,40 − 0,30 = 0,10. Rand S: 1 − 0,65 = 0,35; Rand K: 1 − 0,40 = 0,60. Letztes Feld: 0,35 − 0,10 = 0,25. Kontrolle über die Spalte K: 0,35 + 0,25 = 0,60 ✓ und Summe aller inneren Felder 0,30 + 0,35 + 0,10 + 0,25 = 1 ✓. Tipp für die Klausur: Das vierte Feld immer auf zwei Wegen ausrechnen — stimmen beide Ergebnisse überein, ist die Tafel fehlerfrei.
K K Summe S S Summe ? 0,35 0,65 ? ? ? 0,4 ? 1
Streaming & Konsole
A3
Sockenschublade — zweimal ziehen ohne Zurücklegen
AFB II

In einer Schublade liegen 5 schwarze (s) und 3 weiße (w) Einzelsocken. Im Dunkeln nimmt Ben nacheinander zwei Socken heraus, ohne die erste zurückzulegen.

a) Gib die Astwahrscheinlichkeit Ps(s) an: Die zweite Socke ist schwarz, wenn die erste schon schwarz war. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Ben zwei gleichfarbige Socken zieht. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine weiße Socke. Gib Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl (auf zwei Stellen gerundet) oder als Bruch ein.

Ansatz: Ohne Zurücklegen: In Stufe 2 sind nur noch 7 Socken in der Schublade, und von der gezogenen Farbe liegt eine weniger drin. Gleiche Farbe = Pfad ss oder Pfad ww (Summenregel). „Mindestens eine weiße“ geht am schnellsten über das Gegenereignis „beide schwarz“.
Rechenweg: a) 4/7. b) P(ss) = 5/8 · 4/7 = 20/56, P(ww) = 3/8 · 2/7 = 6/56, zusammen 26/56 = 13/28. c) 1 − P(ss) = 1 − 20/56 = 36/56 = 9/14.
Lösung: a) 4/7 ≈ 0,57. b) 13/28 ≈ 0,46. c) 9/14 ≈ 0,64.
Vollständige Lösung
a) Nach einer schwarzen Socke liegen noch 4 schwarze unter 7 Socken: Ps(s) = 4/7 ≈ 0,57. b) Produktregel entlang der Pfade: P(ss) = 5/8 · 4/7 = 20/56, P(ww) = 3/8 · 2/7 = 6/56. Summenregel: P(gleiche Farbe) = 26/56 = 13/28 ≈ 0,46. c) Gegenereignis von „mindestens eine weiße“ ist „keine weiße“ = ss: 1 − 20/56 = 36/56 = 9/14 ≈ 0,64. Kontrolle: Die drei Pfade sw, ws, ww ergeben 15/56 + 15/56 + 6/56 = 36/56 ✓. Typischer Fehler: mit Zurücklegen rechnen (5/8 · 5/8) — dann stimmen die Nenner der 2. Stufe nicht.
s w s w s w 5/8 3/8 ? 3/7 5/7 2/7
Zwei Socken ohne Zurücklegen
A4
Regen und Bus — fehlende Äste aus einem Pfad bestimmen
AFB II

An einem Schultag regnet es morgens mit Wahrscheinlichkeit 0,4 (R). Bei Regen nimmt Mia mit Wahrscheinlichkeit 0,75 den Bus (B). Aus ihrer Statistik weiß sie außerdem: Die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht regnet und sie trotzdem den Bus nimmt, beträgt 0,12.

a) Bestimme die Astwahrscheinlichkeit PR(B). b) Berechne P(R und B). c) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit Mia an einem zufälligen Schultag den Bus nimmt.

Ansatz: Knotenregel: P(R) = 1 − 0,4. Der Wert 0,12 ist eine Pfadwahrscheinlichkeit, kein Ast. Den Ast bekommst du, indem du den Pfad durch den Ast davor teilst: PR(B) = P(R und B) : P(R).
Rechenweg: P(R) = 0,6. PR(B) = 0,12 : 0,6 = 0,2. P(R und B) = 0,4 · 0,75 = 0,3. P(B) = 0,3 + 0,12 = 0,42.
Lösung: a) 0,2. b) 0,3. c) 0,42.
Vollständige Lösung
Knotenregel an der Wurzel: P(R) = 1 − 0,4 = 0,6. Aus der Produktregel P(R und B) = P(R) · PR(B) folgt PR(B) = 0,12 : 0,6 = 0,2. Oberer Pfad: P(R und B) = 0,4 · 0,75 = 0,3. Summenregel über beide Pfade, die in B enden: P(B) = 0,3 + 0,12 = 0,42. Vollständiger Baum: Äste 0,4 | 0,6 in Stufe 1; 0,75 | 0,25 und 0,2 | 0,8 in Stufe 2; Pfade 0,3 | 0,1 | 0,12 | 0,48 — Summe 1 ✓.
R R B B B B 0,4 ? 0,75 ? ? ? ? ? 0,12 ?
Baum mit Lücken
A5
Zwei Ampeln — Pfadregeln bei abhängigen Stufen
AFB II

Auf dem Schulweg fährt Tom über zwei Ampeln. Die erste zeigt bei Ankunft mit Wahrscheinlichkeit 0,6 Grün. Wegen der „grünen Welle“ ist die zweite Ampel nach einer grünen ersten mit Wahrscheinlichkeit 0,9 grün, nach einer roten ersten nur mit 0,3.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ampeln grün sind. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Ampel grün ist. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Tom mindestens einmal bei Rot halten muss.

Ansatz: Zeichne einen zweistufigen Baum (g / r). Die Äste der 2. Stufe hängen vom ersten Ergebnis ab: oben 0,9 | 0,1, unten 0,3 | 0,7. „Genau eine grün“ besteht aus zwei Pfaden; „mindestens einmal Rot“ ist das Gegenereignis von „beide grün“.
Rechenweg: P(gg) = 0,6 · 0,9 = 0,54. P(gr) = 0,6 · 0,1 = 0,06; P(rg) = 0,4 · 0,3 = 0,12 → 0,18. Mindestens einmal Rot: 1 − 0,54 = 0,46.
Lösung: a) 0,54. b) 0,18. c) 0,46.
Vollständige Lösung
Pfade (Produktregel): gg = 0,6 · 0,9 = 0,54; gr = 0,6 · 0,1 = 0,06; rg = 0,4 · 0,3 = 0,12; rr = 0,4 · 0,7 = 0,28. Summe 1 ✓. a) 0,54. b) Summenregel: 0,06 + 0,12 = 0,18. c) Gegenereignis: 1 − 0,54 = 0,46 (oder direkt 0,06 + 0,12 + 0,28 = 0,46). Typischer Fehler: Für die zweite Ampel überall denselben Wert nehmen — hier hängt die zweite Stufe aber von der ersten ab.
g r g r g r 0,6 0,4 0,9 0,1 0,3 0,7
g = grün, r = rot
A6
Online-Shop — vom Baumdiagramm zur Vierfeldertafel
AFB II

Ein Online-Shop wertet Bestellungen aus: 35 % kommen von Neukunden (N). Neukunden lösen mit Wahrscheinlichkeit 0,6 einen Gutschein ein (G), Stammkunden nur mit 0,2.

Übertrage den Baum in eine Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten. Gib a) P(N und G), b) die Randsumme P(G) und c) P(N und G) an.

Ansatz: Pfade des Baums = innere Felder der Tafel. Äste der 1. Stufe (0,35 | 0,65) = Randsummen der Zeilen N / N. Der Rand des anderen Merkmals (G) ist die Summe zweier Pfade.
Rechenweg: P(N) = 0,65. P(N und G) = 0,65 · 0,2 = 0,13. P(N und G) = 0,35 · 0,6 = 0,21 → P(G) = 0,21 + 0,13 = 0,34. P(N und G) = 0,65 · 0,8 = 0,52.
Lösung: a) 0,13. b) 0,34. c) 0,52.
Vollständige Lösung
Pfade: N und G = 0,35 · 0,6 = 0,21; N und G = 0,35 · 0,4 = 0,14; N und G = 0,65 · 0,2 = 0,13; N und G = 0,65 · 0,8 = 0,52. Tafel: Zeile N (0,21 | 0,14 | 0,35), Zeile N (0,13 | 0,52 | 0,65), Spaltensummen P(G) = 0,34, P(G) = 0,66, gesamt 1. Beachte: P(G) = 0,34 steht nirgends im Baum — die Tafel zeigt Randsummen des zweiten Merkmals direkt, der Baum nicht.
N N G G G G 0,35 0,65 0,6 0,4 0,2 0,8
Baum → Vierfeldertafel
A7
Fahrschule — Tafel in den umgekehrten Baum übersetzen
AFB II

Eine Fahrschule hat 500 Theorieprüfungen ausgewertet: Merkmal A = „hat mit der Lern-App geübt“, Merkmal T = „Theorieprüfung im ersten Versuch bestanden“. Die Vierfeldertafel rechts zeigt die Anzahlen.

Zeichne den umgekehrten Baum mit T in der 1. Stufe und A in der 2. Stufe. Bestimme a) P(T), b) PT(A) und c) PT(A). Gib Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl (auf zwei Stellen gerundet) oder als Bruch ein.

Ansatz: 1. Stufe = Randsummen von T (Spaltensummen). 2. Stufe = inneres Feld : Randsumme davor. Für PT(A) teilst du also das Feld „A und T“ durch alle T.
Rechenweg: T gesamt: 180 + 210 = 390 → P(T) = 390/500 = 0,78. PT(A) = 180/390 = 6/13 ≈ 0,46. PT(A): T gesamt = 20 + 90 = 110 → 20/110 = 2/11 ≈ 0,18.
Lösung: a) 0,78. b) 6/13 ≈ 0,46. c) 2/11 ≈ 0,18.
Vollständige Lösung
Spaltensummen: T = 180 + 210 = 390, T = 20 + 90 = 110. 1. Stufe: P(T) = 390/500 = 0,78, P(T) = 0,22. 2. Stufe: PT(A) = 180/390 = 6/13 ≈ 0,46; PT(A) = 20/110 = 2/11 ≈ 0,18. Interpretation: Unter den Bestandenen hat knapp die Hälfte mit der App geübt, unter den Durchgefallenen nur knapp ein Fünftel. Im „normalen“ Baum (A zuerst) wären die Äste dagegen PA(T) = 180/200 = 0,9 und PA(T) = 210/300 = 0,7 — gleiche Daten, andere Blickrichtung.
T T Summe A A Summe 180 20 200 210 90 300 390 110 500
Anzahlen aus 500 Prüfungen
A8
Kronkorken werfen — wie genau ist die Schätzung?
AFB II

Eine Klasse wirft einen Kronkorken 400-mal. Er landet 232-mal mit der Zacken-Seite nach oben. Die unbekannte Wahrscheinlichkeit dafür heißt p.

a) Berechne die relative Häufigkeit h. b) Berechne die Schwankungsbreite der Faustregel |h − p| < 1/√n. c) Gib den kleinsten Wert für p an, der nach der Faustregel noch gut zu den Daten passt, und beurteile damit die Behauptung „p = 0,5, wie bei einer Münze“.

Ansatz: h = Anzahl : Gesamtzahl. Die Faustregel sagt: p liegt meistens im Bereich h − 1/√n bis h + 1/√n. Liegt 0,5 außerhalb, passt die Behauptung schlecht zu den Daten.
Rechenweg: h = 232 : 400 = 0,58. √400 = 20 → 1/20 = 0,05. Bereich: 0,58 − 0,05 = 0,53 bis 0,58 + 0,05 = 0,63.
Lösung: a) 0,58. b) 0,05. c) 0,53 — der Wert 0,5 liegt unterhalb des Bereichs, „wie eine Münze“ ist daher unwahrscheinlich.
Vollständige Lösung
h = 232/400 = 0,58. Faustregel: 1/√400 = 1/20 = 0,05. Plausibler Bereich für p: 0,53 < p < 0,63. Der Wert 0,5 liegt außerhalb → Die Daten sprechen gegen „p = 0,5“. Aber: Die Faustregel gilt nur „meistens“ — ein endgültiger Beweis ist das nicht. Mit mehr Würfen (z. B. n = 1600 → 1/√n = 0,025) würde der Bereich halb so breit und die Schätzung genauer.
0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 h = 0,58 p = 0,5? Bereich h ± 1/√n n = 400 Würfe
Faustregel am Zahlenstrahl
A9
Spam-Filter — Rückschluss mit natürlichen Häufigkeiten
AFB II

20 % aller E-Mails an eine Schuladresse sind Spam (S). Der Filter markiert 95 % der Spam-Mails als „verdächtig“ (V), aber auch 5 % der normalen Mails.

a) Berechne P(V), also den Anteil aller Mails, die markiert werden. b) Bestimme, wie viele von 1000 Mails fälschlich markiert werden (normal, aber verdächtig). c) Eine Mail wurde markiert. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie wirklich Spam ist. Gib Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl (auf zwei Stellen gerundet) oder als Bruch ein.

Mails
Ansatz: Denke in 1000 Mails (natürliche Häufigkeiten): Wie viele sind Spam, wie viele davon markiert? Wie viele normale Mails werden markiert? Für c) gilt: PV(S) = P(S und V) : P(V) — im Nenner stehen alle Pfade, die in V enden.
Rechenweg: 1000 Mails: 200 Spam, davon 190 markiert; 800 normal, davon 40 markiert. Markiert insgesamt 230 → P(V) = 0,23. PV(S) = 190/230 = 19/23 ≈ 0,83.
Lösung: a) 0,23. b) 40 Mails. c) 19/23 ≈ 0,83.
Vollständige Lösung
Natürliche Häufigkeiten bei 1000 Mails: 200 Spam → 0,95 · 200 = 190 markiert; 800 normal → 0,05 · 800 = 40 markiert (Fehlalarme). a) P(V) = (190 + 40)/1000 = 0,23. b) 40. c) PV(S) = 190/230 = 19/23 ≈ 0,83. Deutung: Etwa jede sechste markierte Mail ist harmlos — obwohl der Filter nur 5 % der normalen Mails erwischt. Grund: Es gibt viermal so viele normale Mails wie Spam, deshalb fallen die 5 % stark ins Gewicht.
S S V V V V 0,2 0,8 0,95 0,05 0,05 0,95 190 10 40 760
Pfade als Anzahlen von 1000
A10
Freibad-Statistik — Zusammenhang oder Ursache?
AFB II

Ein Bademeister notiert an 80 Sommertagen, ob das Eis am Kiosk ausverkauft war (E) und ob er mehr als fünf Sonnenbrände behandeln musste (B). Die Anzahlen stehen in der Tafel rechts.

a) Berechne PE(B) und b) PE(B). c) Berechne P(B). Beurteile anschließend die Aussage des Kioskbesitzers: „Wenn mein Eis ausverkauft ist, bekommen die Leute Sonnenbrand — Eis ist also schuld.“

Ansatz: Innerhalb der Zeile E (bzw. E) teilst du das Feld „B“ durch die Zeilensumme. Merkmale sind unabhängig genau dann, wenn PE(B) = PE(B). Denk bei der Beurteilung an ein mögliches Drittmerkmal.
Rechenweg: Zeile E: 24 + 8 = 32 → 24/32 = 0,75. Zeile E: 12 + 36 = 48 → 12/48 = 0,25. P(B) = (24 + 12)/80 = 36/80 = 0,45.
Lösung: a) 0,75. b) 0,25. c) 0,45 — die Merkmale sind abhängig, aber Eis verursacht keinen Sonnenbrand.
Vollständige Lösung — und die Falle darin
a) PE(B) = 24/32 = 0,75. b) PE(B) = 12/48 = 0,25. c) P(B) = 36/80 = 0,45. Da 0,75 ≠ 0,25, sind E und B abhängig: An Eis-ausverkauft-Tagen gibt es deutlich häufiger viele Sonnenbrände. Beurteilung: Ein Zusammenhang ist aber keine Ursache. Beide Merkmale werden von einem Drittmerkmal beeinflusst — heißes, sonniges Wetter: Dann kaufen viele Leute Eis und viele bekommen Sonnenbrand. Die Aussage des Kioskbesitzers ist daher nicht haltbar.
B B Summe E E Summe 24 8 32 12 36 48 36 44 80
Anzahlen an 80 Tagen

Reflexion — bevor du weitergehst

Drei Fragen zum Nachdenken — antworte für dich selbst.

  • 1. Ast oder Pfad?In A4 und A9 stand eine Pfadwahrscheinlichkeit im Text, gefragt war aber ein Ast (oder umgekehrt). Woran erkennst du im Aufgabentext, welche der beiden gemeint ist?
  • 2. Worauf bezogen?0,18 oder 0,3, 0,78 oder 0,46 — viele Aufgaben hatten zwei ähnlich klingende Anteile. Formuliere für eine Aufgabe in einem Satz, auf welche Gesamtheit sich jeder der beiden Werte bezieht.
  • 3. Rechnen und deuten:Bei A8 und A10 reichte die Zahl allein nicht — du musstest eine Behauptung beurteilen. Was hat dir dabei geholfen: die Faustregel, der Vergleich zweier Äste oder das Suchen nach einem Drittmerkmal?