Die Knotenregel
Von jedem Verzweigungspunkt gehen Äste aus, von denen genau einer eintritt. Ihre Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich deshalb zu 1.
- Knotenregel:Summe aller Äste an einem Verzweigungspunkt \(=1\).
- Gegenereignis:\(P(A)=0{,}6\;\Rightarrow\;P(\overline{A})=1-0{,}6=0{,}4\).
- 2. Stufe:Die Äste hinter \(A\) heißen \(P_A(B)\) und \(P_A(\overline{B})\) — gelesen „B, wenn A schon eingetreten ist“.
- Jeder Knoten für sich:Hinter \(A\) und hinter \(\overline{A}\) dürfen verschiedene Werte stehen.
Gegenwahrscheinlichkeit: \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
Ziehe die drei Punkte am Quadrat: Die Breite links ist \(P(A)\), die Höhe des oberen Rechtecks in jeder Spalte die Wahrscheinlichkeit für \(B\). Der Baum ergänzt die übrigen Äste.
Halte fest: Jeder Ast bekommt, was seinem Nachbarast zu 1 fehlt. Jede Pfadwahrscheinlichkeit ist die Fläche eines Rechtecks — Breite mal Höhe.
Vom Pfad zurück auf den Ast
Manchmal ist statt eines Astes nur eine Pfadwahrscheinlichkeit bekannt. Dann rechnet man die Produktregel rückwärts.
- Bekannt:\(P(A)=0{,}6\) und \(P(A\text{ und }B)=0{,}24\).
- Gesucht:der Ast \(P_A(B)\) zwischen \(A\) und \(B\).
Herleitung:
Ast aus Pfad: \(P_A(B)=\dfrac{P(A\text{ und }B)}{P(A)}\)
Allgemeine Hinweise
Nur am selben Knoten
Die Äste hinter \(A\) ergänzen sich zu 1, die hinter \(\overline{A}\) auch — aber nicht alle vier Äste der 2. Stufe zusammen.
Probe mit den Pfaden
Alle Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1: \(0{,}24+0{,}36+0{,}3+0{,}1=1\).
Richtig herum teilen
Pfad durch ersten Ast teilen, nicht umgekehrt — ein Ast liegt immer zwischen 0 und 1.