Produktregel entlang eines Pfades
Lea wirft zwei Freiwürfe. Der erste trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,7. Nach einem Treffer ist sie sicherer (0,8), nach einem Fehlwurf unsicherer (0,6).
- Pfad:ein Weg durch den Baum = ein Ergebnis, z. B. (T, N): erst Treffer, dann Fehlwurf.
- Produktregel:Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.
- Beispiel:\(P(T,N)=0{,}7\cdot 0{,}2=0{,}14\).
- Abhängig:Der zweite Wurf hängt vom ersten ab — hinter T und hinter N stehen verschiedene Äste.
Summenregel für Ereignisse
Ein Ereignis umfasst oft mehrere Ergebnisse — also mehrere Pfade.
- Ereignis:„genau ein Treffer“ \(=\{(T,N),(N,T)\}\).
- Summenregel:die Wahrscheinlichkeiten der passenden Pfade addieren.
- Gegenereignis:„mindestens ein Treffer“ ist alles außer \((N,N)\): \(1-0{,}12=0{,}88\).
Wähle unten ein Ereignis und markiere im Baum alle Pfade, die dazu gehören — anklicken oder mit Tab und Enter. Die Summe läuft mit.
Halte fest: Entlang eines Pfades wird multipliziert, über mehrere Pfade eines Ereignisses addiert.
Produktregel: \(P(\text{Pfad})=\) Produkt der Astwahrscheinlichkeiten
Summenregel: \(P(E)=\) Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten von \(E\)
Allgemeine Hinweise
Entlang nie addieren
Auf einem Pfad wird multipliziert: \(0{,}7+0{,}2\) ist keine Wahrscheinlichkeit für \((T,N)\).
„Mindestens“ über das Gegenteil
Bei „mindestens einer“ ist das Gegenereignis „keiner“ oft nur ein Pfad — das spart Rechnung.
Probe: alle Pfade
Alle Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1: \(0{,}56+0{,}14+0{,}18+0{,}12=1\).