Wahrscheinlichkeiten ermitteln

Die umgekehrte Frage

Eine Firma hat zwei Maschinen. \(A\) stellt 60 % der Teile her, davon sind 5 % defekt. \(B\) stellt 40 % her, davon sind 10 % defekt.

Baum:natürliche Reihenfolge — erst die Maschine, dann der Befund \(D\) (defekt).
Frage:Ein Teil ist defekt. Wie wahrscheinlich stammt es von \(A\)?
Rückschluss:von der 2. Stufe (Befund) zurück auf die 1. Stufe (Maschine).
Trick:mit Anzahlen statt Anteilen denken, z. B. mit 100 Teilen.

Lege die 100 Teile um: erst nach Maschine ordnen, dann nach dem Befund. Lies ab, woher die defekten Teile stammen.

Halte fest: Von den 7 defekten Teilen stammen nur 3 von \(A\) — also \(P_D(A)=\frac{3}{7}\approx0{,}43\), obwohl \(A\) mehr Teile herstellt.

Im umgekehrten Baum steht \(D\) auf der ersten Stufe. Die Produktregel gilt dort genauso.

\(P(D)\cdot P_D(A)=P(A\text{ und }D)\)

| \(:P(D)\)

Produktregel im umgekehrten Baum: erst \(D\), dann \(A\).

\(P_D(A)=\dfrac{P(A\text{ und }D)}{P(D)}\)

| einsetzen

\(P(D)\) ist die Summe der beiden Pfade, die in \(D\) enden.

\(P_D(A)=\dfrac{0{,}6\cdot0{,}05}{0{,}6\cdot0{,}05+0{,}4\cdot0{,}1}=\dfrac{0{,}03}{0{,}07}\approx0{,}43\)

Ergebnis

Derselbe Wert wie beim Umlegen: 3 von 7.

Merke

Rückschluss: \(P_D(A)=\dfrac{P(A\text{ und }D)}{P(D)}\)

\(P_A(D)=0{,}05\): A liefert ein defektes Teil. \(P_D(A)\approx0{,}43\): ein defektes Teil kommt von A. Zwei verschiedene Fragen.

\(P(D)\) sammelt alle Pfade, die mit \(D\) enden — nicht nur den Pfad über \(A\).

Werden die Anzahlen krumm, einfach mit 1000 oder 10 000 Teilen rechnen.