1
Ableitung ohne Rechner
AFB IBestimme \(f'(0)\) für \(f(x)=x\cdot e^{2x}\).
Hilfe 1
Produktregel: \((u\cdot v)'=u'v+uv'\).
Hilfe 2
\(f'(x)=e^{2x}+2x\,e^{2x}\); dann \(x=0\) einsetzen.
Lösung und Erklärung
\(f'(x)=e^{2x}(1+2x)\), also \(f'(0)=1\).
Gemischtes Training
Die Themen des Grundkurses wechseln bewusst: rechnen, deuten, prüfen und urteilen.
Eigene Lernaufgaben, keine amtlichen Prüfungsaufgaben. Etwa 45–60 Minuten; rechne zusätzlich auf Papier. AFB I: Grundlagen · AFB II: Zusammenhänge · AFB III: Urteilen. Die Hilfen öffnen sich einzeln.
„Bearbeitet“ heißt: geprüft oder den Erwartungshorizont geöffnet. „Sicher“ ist deine eigene Einschätzung nach einem Versuch ohne Hilfe. Beides bleibt nur in diesem Browser gespeichert.
Gemischte Aufgaben
Hilfsmittelfreier Teil wiederholen →
2
Ansatz mit Symmetrie
AFB IIStelle den Ansatz für eine Funktion 4. Grades auf, deren Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist.
Hilfe 1
Achsensymmetrie heißt \(f(-x)=f(x)\).
Hilfe 2
Nur gerade Exponenten bleiben stehen — auch der Exponent 0.
Lösung und Erklärung
Nur gerade Potenzen: \(x^4\), \(x^2\), \(x^0\). Drei Unbekannte.
3
Bestimmtes Integral
AFB IBerechne \(\int_1^3(2x+1)\,dx\).
Hilfe 1
Stammfunktion: \(x^2+x\).
Hilfe 2
\(F(3)-F(1)=12-2\).
Lösung und Erklärung
\(\left[x^2+x\right]_1^3=12-2=10\).
4
Halbwertszeit
AFB IIErmittle die Halbwertszeit von \(f(t)=80\cdot e^{-0{,}2t}\) (\(t\) in Stunden) auf eine Nachkommastelle.
Hilfe 1
Ansatz: \(e^{-0{,}2T}=0{,}5\).
Hilfe 2
\(T=\dfrac{\ln2}{0{,}2}\).
Lösung und Erklärung
\(T=\ln2:0{,}2\approx3{,}47\), also etwa 3,5 Stunden.
5
Länge einer Strecke
AFB IBerechne die Länge der Strecke \(\overline{AB}\) mit \(A(1\,|\,0\,|\,2)\) und \(B(3\,|\,4\,|\,6)\).
Hilfe 1
\(\overrightarrow{AB}=(2\,|\,4\,|\,4)\).
Hilfe 2
\(\sqrt{4+16+16}\).
Lösung und Erklärung
\(\sqrt{36}=6\) LE.
6
Bedingte Wahrscheinlichkeit
AFB IIBerechne \(P_A(B)\) für \(P(A\cap B)=0{,}12\) und \(P(A)=0{,}3\).
Hilfe 1
\(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\).
Hilfe 2
\(0{,}12:0{,}3\).
Lösung und Erklärung
\(0{,}12:0{,}3=0{,}4\).
7
Genau zwei Treffer
AFB IBerechne \(P(X=2)\) für \(n=4\) und \(p=0{,}5\).
Hilfe 1
\(\binom42=6\) Pfade.
Hilfe 2
\(6\cdot0{,}5^4\).
Lösung und Erklärung
\(6\cdot\tfrac1{16}=0{,}375\).
8
Geraden im Raum
AFB IIUntersuche die Lage von \(g:\vec x=(1|0|0)+r(0|1|1)\) und \(h:\vec x=(0|0|2)+s(1|1|0)\).
Hilfe 1
Richtungsvektoren sind keine Vielfachen.
Hilfe 2
Aus der ersten Zeile \(s=1\), aus der zweiten \(r=1\) — passt die dritte?
Lösung und Erklärung
\(s=1\), \(r=1\), aber dritte Zeile: \(1\ne2\). Kein gemeinsamer Punkt: windschief.
9
Fläche zwischen Graphen
AFB IIBestimme den Inhalt der Fläche zwischen \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=2x\) auf drei Nachkommastellen.
Hilfe 1
Schnittstellen: \(x^2=2x\) liefert \(0\) und \(2\).
Hilfe 2
\(\int_0^2(2x-x^2)\,dx\).
Lösung und Erklärung
\(\left[x^2-\tfrac13x^3\right]_0^2=4-\tfrac83=\tfrac43\approx1{,}333\).
10
Aussage zum Grenzwert
AFB IIIBeurteile die Aussage „Nach genügend langer Zeit hat das Wasser genau 100 °C“ für \(T(t)=100-80\cdot e^{-0{,}05t}\).
Hilfe 1
\(80\cdot e^{-0{,}05t}\) ist für jedes \(t\) positiv.
Hilfe 2
Was bedeutet das für \(T(t)\)?
Lösung und Erklärung
\(T(t)<100\) für alle \(t\); 100 °C ist die Grenze, die nie erreicht wird.
11
Koeffizient bestimmen
AFB IIErmittle \(a\) für \(f(x)=ax^3+bx^2\), wenn der Graph bei \(x=2\) eine Wendestelle hat und \(f(1)=-4\) gilt.
Hilfe 1
\(f''(2)=12a+2b=0\), also \(b=-6a\).
Hilfe 2
\(f(1)=a+b=-5a=-4\).
Lösung und Erklärung
\(b=-6a\) und \(-5a=-4\): \(a=0{,}8\), \(b=-4{,}8\).
12
Befehl am CAS
AFB INenne den Befehl für \(P(X\le12)\) bei \(n=40\), \(p=0{,}25\) am TI-Nspire CAS.
Hilfe 1
Cdf kumuliert, Pdf nicht.
Hilfe 2
Reihenfolge: n, p, untere Grenze, obere Grenze.
Lösung und Erklärung
binomCdf(40, 0.25, 0, 12) ≈ 0,732 — die kumulierte Wahrscheinlichkeit.
13
Unabhängigkeit
AFB IIÜberprüfe für \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\) und \(P(A\cap B)=0{,}2\), ob \(A\) und \(B\) unabhängig sind.
Hilfe 1
Kriterium: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
Hilfe 2
\(0{,}5\cdot0{,}4\) ausrechnen.
Lösung und Erklärung
\(0{,}5\cdot0{,}4=0{,}2=P(A\cap B)\): unabhängig.
14
Mindestens ein Treffer
AFB IIBerechne \(P(X\ge1)\) für \(n=5\) und \(p=0{,}1\) auf drei Nachkommastellen.
Hilfe 1
Gegenereignis: kein Treffer.
Hilfe 2
\(1-0{,}9^5\).
Lösung und Erklärung
\(1-0{,}9^5\approx1-0{,}590=0{,}410\).
15
Winkel zwischen Vektoren
AFB IIBerechne den Winkel zwischen \(\vec u=(1\,|\,0\,|\,0)\) und \(\vec v=(1\,|\,1\,|\,0)\) in Grad.
Hilfe 1
\(\vec u\cdot\vec v=1\), \(\lvert\vec v\rvert=\sqrt2\).
Hilfe 2
\(\cos\alpha=\tfrac1{\sqrt2}\).
Lösung und Erklärung
\(\cos\alpha=\tfrac{1}{1\cdot\sqrt2}\), also \(\alpha=45^\circ\).
16
Zeit für Teil B
AFB IIBestimme die Zeit in Minuten, die für Teil B bleibt, wenn Teil A nach 70 Minuten abgegeben wird (Gesamtzeit gA 285 Minuten).
Hilfe 1
Gesamtzeit minus Zeit für Teil A.
Hilfe 2
\(285-70\).
Lösung und Erklärung
\(285-70=215\) Minuten, also knapp 4 Minuten je BE im Teil B.
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Diese kurze Auswahl ersetzt keine vollständige Prüfung und ergibt keine Abiturnote.
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