Integralrechnung im Abitur

In vielen Abituraufgaben ist nicht der Bestand gegeben, sondern seine momentane Änderungsrate: Zufluss in m³ pro Stunde, Besucher pro Stunde, Wachstum pro Tag.

• Zunahme:zwischen \(a\) und \(b\) ändert sich der Bestand um \(\int_a^b r(t)\,dt\) — negativ heißt Abnahme.
• Bestand:zur Änderung kommt der Anfangsbestand \(B(0)\) dazu.
• Maximum:\(B\) ist am größten, wo \(r\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt.
• Stärkste Zunahme:dort, wo \(r\) maximal ist — nicht dort, wo \(B\) maximal ist.
• Einheit:Einheit von \(r\) mal Einheit von \(t\): Personen pro Stunde · Stunden = Personen.

Ein Freizeitpark öffnet um 9 Uhr, 200 Beschäftigte sind schon da. Oben siehst du, wie viele Personen pro Stunde hinzukommen (positiv) oder gehen (negativ). Ziehe die Zeitmarke \(t\) — mit der Maus oder mit den Pfeiltasten — und beobachte die Besucherzahl unten.

Halte fest: Die Besucherzahl ist Anfangsbestand plus orientierte Fläche. Sie wächst, solange die Rate positiv ist, und ist am größten, wenn die Rate von positiv nach negativ wechselt.

Ein Wasserbecken enthält anfangs 200 m³, der Zufluss beträgt \(r(t)=60t-15t^2\) in m³ pro Stunde. Wie viel Wasser ist nach 3 Stunden im Becken?

Herleitung:

• Flächeninhalt:an den Nullstellen aufteilen und die Beträge der Teilintegrale addieren.
• Zwischen Graphen:\(A=\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx\), \(a\) und \(b\) meist Schnittstellen.
• Mittelwert:mittlere Rate \(\bar r=\frac{1}{b-a}\int_a^b r(t)\,dt\).
• fx-CG50:Graph zeichnen, SHIFT F5 (G-Solv), F6 (▷), F3 (∫dx), F1, untere und obere Grenze je mit EXE.
• TI-Nspire CAS:menu → 4 Analysis → 3 Integral, z. B. \(\int_0^3(60t-15t^2)\,dt\) → \(135\).