Binomialverteilung im Abitur

Im Abitur steht vor jeder Rechnung die Modellfrage. Erst wenn die Bedingungen einer Bernoulli-Kette erfüllt sind, darf mit der Binomialverteilung gerechnet werden.

• Bernoulli-Kette:\(n\) unabhängige Durchführungen, jeweils Treffer oder Niete, Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt gleich.
• Modell:Ziehen ohne Zurücklegen aus einer sehr großen Menge darf näherungsweise binomial gerechnet werden — im Text begründen.
• Genau k:\(P(X=k)=\binom nk\,p^k\,(1-p)^{n-k}\).
• Höchstens, mindestens:\(P(X\le k)\) kumuliert; \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\).
• Mindestens einmal:\(P(X\ge1)=1-(1-p)^n\).
• Rechner:fx-CG50: MENU 2, F5 (DIST), F5 (BINOMIAL), F2 (Bcd) · TI-Nspire CAS: menu → 5 Wahrscheinlichkeit → 5 Verteilungen → Binomial Cdf, also \(\text{binomCdf}(n,p,a,b)\).

• Kenngrößen:\(\mu=n\cdot p\), \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).
• Sigma-Regeln:90 %: \(\mu\pm1{,}64\sigma\) · 95 %: \(\mu\pm1{,}96\sigma\) · 99 %: \(\mu\pm2{,}58\sigma\); brauchbar, wenn \(\sigma>3\).
• Deutung:In etwa 95 % aller Stichproben liegt die Trefferzahl im Intervall.
• Verträglich:Liegt eine beobachtete Trefferzahl außerhalb, spricht das gegen den vermuteten Wert von \(p\).

Etwa 30 % aller Kundinnen und Kunden zahlen bar. In welchem Bereich liegt bei 200 Zahlungen die Anzahl der Barzahlungen mit etwa 95 % Wahrscheinlichkeit?

Herleitung:

Stelle \(n\) und \(p\) ein und starte mit ▶. Jede Stichprobe liefert eine Trefferzahl; die Balken zeigen, wie oft jede Zahl vorkam. Grün hinterlegt ist das 95-%-Prognoseintervall, die Linien zeigen die Binomialverteilung.

Halte fest: Rund 95 % der Stichproben landen im Intervall \(\mu\pm1{,}96\sigma\). Eine einzelne Trefferzahl außerhalb ist möglich — nur selten.