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Maße und Lagen im Abitur

Treffen sich zwei Flugbahnen, laufen sie nebeneinander her oder gehen sie im Raum aneinander vorbei?

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Lage zweier Geraden

Flugbahnen, Seile, Kanten eines Körpers: Im Abitur wird oft gefragt, ob sich zwei Geraden treffen. Ein festes Prüfschema führt immer zur Antwort.

  • Schritt 1:Richtungsvektoren vergleichen — sind sie Vielfache voneinander (kollinear)?
  • Kollinear:Stützpunkt von \(h\) in \(g\) einsetzen: liegt er darauf → identisch, sonst echt parallel.
  • Nicht kollinear:Gleichungen gleichsetzen, zwei Zeilen nach \(r\) und \(s\) lösen, dritte Zeile prüfen.
  • Dritte Zeile stimmt:die Geraden schneiden sich; Parameter einsetzen liefert den Schnittpunkt.
  • Widerspruch:die Geraden sind windschief — im Raum möglich, in der Ebene nicht.

Schau dir die beiden Geradengleichungen an und tippe die Lage, bevor du prüfst. Nach „Prüfen“ erscheinen die Rechnung und das räumliche Bild.

Wie liegen g und h?

Halte fest: Erst die Richtungsvektoren, dann Punktprobe oder Gleichsetzen. Ob sich Geraden schneiden, entscheidet immer die dritte Zeile.

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Abstände und Winkel

  • Abstand:\(d(A,B)=\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\) — Wurzel aus der Summe der quadrierten Koordinatendifferenzen.
  • Skalarprodukt:\(\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\); Null heißt: \(\vec u\perp\vec v\).
  • Fläche:Dreieck \(A=\tfrac12\cdot g\cdot h\) — rechte Winkel im Körper vorher mit dem Skalarprodukt nachweisen.
  • Volumen:Pyramide \(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\), die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche.

Welchen Winkel schließen die Richtungsvektoren \(\vec u=(1\,|\,2\,|\,2)\) und \(\vec v=(2\,|\,-1\,|\,2)\) ein?

Herleitung:

\(\vec u\cdot\vec v=2-2+4=4\)
| Skalarprodukt
Komponentenweise multiplizieren und addieren.
\(\lvert\vec u\rvert=\sqrt{9}=3,\ \lvert\vec v\rvert=\sqrt{9}=3\)
| Beträge
\(1+4+4=9\) und \(4+1+4=9\).
\(\cos\alpha=\dfrac{4}{3\cdot3}=\dfrac49\)
| einsetzen
In die Winkelformel einsetzen.
\(\alpha\approx63{,}6^\circ\)
Ergebnis
Mit \(\cos^{-1}\) am Rechner.
Merke

Winkel zwischen Vektoren: \(\cos\alpha=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec v\rvert}\)

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Allgemeine Hinweise

Parallel ist nicht identisch

Kollineare Richtungsvektoren reichen nicht. Erst die Punktprobe entscheidet zwischen „identisch“ und „echt parallel“.

Winkel zwischen Geraden

Er liegt zwischen 0° und 90°. Deshalb im Zähler den Betrag \(\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert\) nehmen, sonst entsteht der stumpfe Nebenwinkel.

Zwei Parameter, zwei Buchstaben

Beim Gleichsetzen \(r\) und \(s\) verwenden. Wer beide Geraden mit \(r\) schreibt, erzwingt fälschlich denselben Parameter.

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