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Raumanschauung im Abitur

Im Schrägbild sieht die Tiefe kürzer aus, als sie ist. Wer richtig abliest, läuft an den Achsen entlang.

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Punkte im Schrägbild

Fast jede Geometrieaufgabe beginnt mit einer Abbildung: Dach, Zelt, Pyramide. Wer fehlende Koordinaten sicher abliest, hat die ersten Bewertungseinheiten.

  • Achsen:\(x_1\) schräg nach vorn (eine Einheit als halbe Kästchendiagonale), \(x_2\) nach rechts, \(x_3\) nach oben.
  • Ablesen:nie quer durchs Bild messen, sondern vom Ursprung aus parallel zu den Achsen laufen.
  • Lage:\(x_3=0\): Punkt liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene, also „auf dem Boden“.
  • Mittelpunkt:\(M=\tfrac12(A+B)\) — koordinatenweise den Mittelwert bilden.
  • Symmetrie:Ein Dachfirst über der Hausmitte hat die mittlere \(x_1\)-Koordinate.

Ziehe den orangen Messpunkt auf eine Ecke, eine Kantenmitte oder einen Firstpunkt — oder wähle den Punkt unten mit den Knöpfen. Der Kantenzug läuft vom Ursprung erst in \(x_1\)-, dann in \(x_2\)- und zuletzt in \(x_3\)-Richtung.

Koordinaten mit dem Kantenzug messen

Halte fest: Jede Koordinate ist die Länge eines Wegstücks parallel zu einer Achse. In \(x_1\)-Richtung ist das Bild verkürzt — dort zählt man Einheiten, statt mit dem Lineal zu messen.

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Vektoren und Geraden

  • Verbindungsvektor:\(\overrightarrow{AB}=B-A\) — „Spitze minus Fuß“, koordinatenweise.
  • Länge:\(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).
  • Gerade:durch \(A\) und \(B\): Stützvektor \(\overrightarrow{OA}\), Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}\).
  • Punktprobe:Punkt einsetzen; alle drei Zeilen müssen denselben Parameter liefern.

Liegt \(P(5\,|\,0\,|\,6)\) auf der Geraden \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\)?

Herleitung:

\(\text{I: }1+2r=5\quad\text{II: }2-r=0\quad\text{III: }3r=6\)
| zeilenweise
Den Ortsvektor von \(P\) mit der Geradengleichung gleichsetzen.
\(r=2\quad r=2\quad r=2\)
| jede Zeile lösen
Alle drei Gleichungen liefern denselben Wert.
\(P\in g\ \ (r=2)\)
Ergebnis
Probe: \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\6\end{pmatrix}\).
Merke

Gerade durch A und B: \(g:\ \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB},\ r\in\mathbb R\)

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Allgemeine Hinweise

Die x1-Achse ist verkürzt

Eine Einheit in \(x_1\)-Richtung ist im Bild nur etwa 0,7 cm lang. Mit dem Lineal gemessene Längen stimmen dort nicht.

Spitze minus Fuß

\(\overrightarrow{AB}=B-A\), nicht \(A-B\). Der falsche Vektor zeigt in die Gegenrichtung — beim Betrag fällt das nicht auf, bei Geraden schon.

Skizze beschriften

Gegebene Koordinaten direkt an die Ecken schreiben. Fehlende Ecken folgen dann oft aus Symmetrie oder Parallelität.

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