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Wahrscheinlichkeit im Abitur

Der Filter meldet Spam — wie sicher ist das wirklich? Dieselben Zahlen, einmal von vorn und einmal von hinten gelesen.

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Vierfeldertafel und Baumdiagramm

Typisch für das Abitur: Zwei Merkmale, ein paar Prozentangaben — und die Frage, wie wahrscheinlich das eine ist, wenn man das andere schon weiß.

  • Vierfeldertafel:innen die Schnittwahrscheinlichkeiten wie \(P(A\cap B)\), am Rand die Summen.
  • Baum, 1. Stufe:Randwahrscheinlichkeiten \(P(A)\), \(P(\bar A)\).
  • Baum, 2. Stufe:bedingte Wahrscheinlichkeiten \(P_A(B)\) — „unter der Bedingung \(A\)“.
  • Pfadregel:\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)\).
  • Umgekehrter Baum:dieselben Schnittwahrscheinlichkeiten, nur zuerst nach \(B\) aufgeteilt.
  • Unabhängig:genau dann, wenn \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).

Ein Filter erkennt 95 % der Spam-Mails (S) und markiert (M) irrtümlich 3 % der normalen Mails. Klicke ein Feld der Vierfeldertafel an: Dieselbe Wahrscheinlichkeit leuchtet in beiden Bäumen auf. Verändere dann den Spam-Anteil.

Tafel und zwei Bäume

Halte fest: Der Baum „erst S“ und der umgekehrte Baum „erst M“ enthalten dieselben vier Schnittwahrscheinlichkeiten. Wie verlässlich eine Markierung ist, hängt stark vom Spam-Anteil ab.

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Zufallsgrößen und Erwartungswert

  • Zufallsgröße:\(X\) ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu, etwa den Gewinn.
  • Erwartungswert:\(E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)\) — der Mittelwert auf lange Sicht.
  • Faires Spiel:erwarteter Gewinn \(E(G)=0\).
  • Streuung:\(\sigma=\sqrt{\sum (x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}\).

Glücksrad: Einsatz 2 €. Mit Wahrscheinlichkeit 0,1 gibt es 10 € zurück, mit 0,2 genau 3 €, sonst nichts. Ist das Spiel fair?

Herleitung:

\(G\in\{8;\ 1;\ -2\}\)
| Gewinn
Auszahlung minus Einsatz: \(10-2\), \(3-2\), \(0-2\).
\(E(G)=8\cdot0{,}1+1\cdot0{,}2+(-2)\cdot0{,}7\)
| einsetzen
Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1.
\(E(G)=0{,}8+0{,}2-1{,}4\)
| ausrechnen
\(E(G)=-0{,}40\)
Ergebnis
Nicht fair: Pro Spiel verliert man im Mittel 40 Cent.
Merke

Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

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Allgemeine Hinweise

P_A(B) ist nicht P_B(A)

„Spam, der markiert wird“ (95 %) ist etwas anderes als „markiert und wirklich Spam“. Welches Ereignis ist die Bedingung? Das steht nach „unter“, „von den“, „falls“.

Anteil wovon?

„3 % aller Mails“ ist eine Schnittwahrscheinlichkeit, „3 % der normalen Mails“ eine bedingte. Die Formulierung entscheidet über Tafelinneres oder Baumast.

Mit 1000 Fällen denken

Bei unübersichtlichen Angaben zuerst die Tafel mit absoluten Anzahlen von 1000 füllen — Summen und Quotienten werden dann greifbar.

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