A1a · AFB I · 2 BE
Gib die Nullstellen von \(f\) an.
Eigenes Probeabitur · 80 BE · 285 Minuten
Neu verfasste Übung für den Grundkurs — keine amtliche Abiturprüfung, keine Themenprognose. Aufbau wie in Niedersachsen: Teil A mit fünf Aufgaben zu je 5 BE ohne Hilfsmittel (spätestens nach 100 Minuten abgeben), Teil B mit je einer Aufgabe aus Analysis (25 BE), Stochastik (15 BE) und Geometrie (15 BE) mit GTR oder CAS und Formelsammlung. In der echten Prüfung gibt es in Teil A und B zusätzlich Wahlmöglichkeiten.
AFB I: 26 BE · AFB II: 42 BE · AFB III: 12 BE. Hinweise und Lösungen erst nach einem eigenen Versuch öffnen. Für einen vollständigen Durchlauf zunächst nur die Aufgaben drucken.
Arbeitszeit
Der Timer ist freiwillig. Deine schriftlichen Lösungen entstehen auf Papier; die Zeitmessung läuft nur auf dieser geöffneten Seite. Nach höchstens 100 Minuten Teil A zur Seite legen.
Bereit.
A1 Teil A · Analysis (Gruppe 1) · 5 BE
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-3x\).
A1b · AFB II · 3 BE
Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt mit \(x=1\).
Hinweise
A1a · Denkimpuls
Ausklammern: \(x(x^2-3)\).
A1b · Denkimpuls
\(f(1)\) und \(f'(1)\) berechnen.
Erwartungshorizont
A1a · Lösung und 2 BE
\(x(x^2-3)=0\) (1 BE): \(x_1=0,\ x_{2,3}=\pm\sqrt3\) (1 BE).
A1b · Lösung und 3 BE
\(f(1)=-2\) (1 BE), \(f'(x)=3x^2-3\), \(f'(1)=0\) (1 BE); Tangente \(y=-2\) (1 BE).
A2 Teil A · Stochastik (Gruppe 1) · 5 BE
60 % der Jugendlichen einer Schule fahren mit dem Rad (R) zur Schule. 45 % aller Jugendlichen fahren Rad und tragen dabei einen Helm (H); 5 % aller Jugendlichen tragen einen Helm, fahren aber nicht Rad (etwa mit dem Roller).
A2a · AFB I · 3 BE
Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.
A2b · AFB II · 2 BE
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Radfahrerin oder ein Radfahrer einen Helm trägt.
Hinweise
A2a · Denkimpuls
Innen stehen die Schnittwahrscheinlichkeiten, außen die Summen.
A2b · Denkimpuls
Gesucht ist \(P_R(H)\).
Erwartungshorizont
A2a · Lösung und 3 BE
Innen: 0,45 · 0,15 · 0,05 · 0,35; Ränder: \(P(R)=0{,}6\), \(P(\bar R)=0{,}4\), \(P(H)=0{,}5\), \(P(\bar H)=0{,}5\) (je vollständige Zeile/Spalte 1 BE).
A2b · Lösung und 2 BE
\(P_R(H)=\frac{0{,}45}{0{,}6}=0{,}75\) (Ansatz 1 BE, Ergebnis 1 BE).
A3 Teil A · Geometrie (Gruppe 1) · 5 BE
Gegeben sind \(A(0\,|\,0\,|\,0)\), \(B(2\,|\,1\,|\,2)\) und \(C(2\,|\,-2\,|\,1)\).
A3a · AFB II · 2 BE
Zeige , dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.
A3b · AFB II · 3 BE
Bestimme die Koordinaten eines Punktes \(D\), sodass \(ABDC\) eine Raute ist.
Hinweise
A3a · Denkimpuls
Längen \(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\) und \(\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\) vergleichen.
A3b · Denkimpuls
In einer Raute gilt \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\).
Erwartungshorizont
A3a · Lösung und 2 BE
\(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{4+1+4}=3\), \(\lvert\overrightarrow{AC}\rvert=\sqrt{4+4+1}=3\) (je 1 BE).
A3b · Lösung und 3 BE
\(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AC}\) (1 BE) \(=(4\,|\,-1\,|\,3)\) (1 BE); Parallelogramm mit gleich langen Nachbarseiten, also Raute (1 BE).
A4 Teil A · Analysis (Gruppe 1, Wahl) · 5 BE
Gegeben ist \(f(x)=2\,e^{2x}\).
A4a · AFB I · 2 BE
Gib eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) an.
A4b · AFB II · 3 BE
Berechne \(\int_0^{\ln 2} f(x)\,dx\).
Hinweise
A4a · Denkimpuls
Rückwärts ableiten: Die innere Ableitung ist 2.
A4b · Denkimpuls
\(e^{2\ln2}=\left(e^{\ln2}\right)^2\).
Erwartungshorizont
A4a · Lösung und 2 BE
\(F(x)=e^{2x}\) (2 BE; jede Stammfunktion \(e^{2x}+c\) ist richtig).
A4b · Lösung und 3 BE
\(F(\ln2)-F(0)=e^{2\ln2}-1\) (1 BE) \(=4-1\) (1 BE) \(=3\) (1 BE).
A5 Teil A · Stochastik (Gruppe 2) · 5 BE
In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
A5a · AFB II · 2 BE
Berechne die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln derselben Farbe zu ziehen.
A5b · AFB III · 3 BE
Ermittle , wie viele blaue Kugeln statt der 2 in der Urne liegen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln genau \(\frac15\) beträgt.
Hinweise
A5a · Denkimpuls
Zwei Pfade: rot-rot und blau-blau.
A5b · Denkimpuls
Mit \(b\) blauen Kugeln: \(\frac{3}{3+b}\cdot\frac{2}{2+b}\).
Erwartungshorizont
A5a · Lösung und 2 BE
\(\frac35\cdot\frac24+\frac25\cdot\frac14=\frac{8}{20}=0{,}4\) (Ansatz 1 BE, Ergebnis 1 BE).
A5b · Lösung und 3 BE
\(\frac{6}{(3+b)(2+b)}=\frac15\) (1 BE), \(b^2+5b-24=0\) (1 BE), \(b=3\), denn \(b=-8\) entfällt (1 BE).
B1 Teil B · Analysis: Medikament im Blut · 25 BE
Die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut wird modellhaft durch \(c(t)=20t\cdot e^{-0{,}5t}\) beschrieben (\(t\) in Stunden nach der Einnahme, \(c(t)\) in mg pro Liter). Es gilt \(c'(t)=20\,e^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)\).
B1a · AFB I · 5 BE
Bestimme den Zeitpunkt der höchsten Konzentration und diese Konzentration.
B1b · AFB II · 5 BE
Ermittle den Zeitraum, in dem die Konzentration mindestens 8 mg pro Liter beträgt, und gib seine Dauer an.
B1c · AFB II · 5 BE
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt, und die Abnahmerate zu diesem Zeitpunkt.
B1d · AFB II · 4 BE
Berechne die mittlere Konzentration in den ersten sechs Stunden.
B1e · AFB III · 6 BE
Beurteile die Aussage: „Nimmt man nach 6 Stunden dieselbe Dosis noch einmal, steigt die Konzentration über 20 mg pro Liter.“ Nimm dazu an, dass sich die Wirkungen beider Dosen addieren.
Hinweise
B1a · Denkimpuls
Notwendige Bedingung \(c'(t)=0\); \(e^{-0{,}5t}\) wird nie null.
B1b · Denkimpuls
Gleichung \(c(t)=8\) mit dem Rechner lösen — zwei Lösungen.
B1c · Denkimpuls
Gesucht ist das Minimum von \(c'\), also \(c''(t)=0\).
B1d · Denkimpuls
Mittelwert: \(\frac1{6}\int_0^6c(t)\,dt\).
B1e · Denkimpuls
Für \(t\ge6\): \(c_2(t)=c(t)+c(t-6)\). Maximum mit dem Rechner suchen.
Erwartungshorizont
B1a · Lösung und 5 BE
\(c'(t)=0\Leftrightarrow1-0{,}5t=0\) (2 BE), \(t=2\) (1 BE); Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) oder \(c''(2)<0\) (1 BE); \(c(2)=40e^{-1}\approx14{,}7\) mg/l (1 BE).
B1b · Lösung und 5 BE
\(c(t)=8\) (1 BE); Rechner: \(t_1\approx0{,}52\), \(t_2\approx5{,}09\) (2 BE); Zeitraum etwa 0,5 h bis 5,1 h nach Einnahme (1 BE), Dauer rund 4,6 h (1 BE).
B1c · Lösung und 5 BE
\(c''(t)=20e^{-0{,}5t}(0{,}25t-1)\) (2 BE); \(c''(t)=0\Rightarrow t=4\) (1 BE); \(c'(4)=-20e^{-2}\approx-2{,}71\) (1 BE): Die Konzentration sinkt um etwa 2,7 mg/l pro Stunde (1 BE).
B1d · Lösung und 4 BE
Ansatz \(\bar c=\frac16\int_0^6c(t)\,dt\) (2 BE); Integral \(\approx64{,}07\) (1 BE); \(\bar c\approx10{,}7\) mg/l (1 BE).
B1e · Lösung und 6 BE
Modell \(c_2(t)=c(t)+c(t-6)\) für \(t\ge6\) (2 BE); Maximum bei \(t\approx7{,}7\) (2 BE) mit \(c_2\approx17{,}8\) mg/l (1 BE); Aussage falsch, 20 mg/l werden nicht erreicht (1 BE).
B2 Teil B · Stochastik: Rücksendungen · 15 BE
Ein Online-Händler weiß: 8 % aller Bestellungen werden zurückgeschickt. Betrachtet werden 400 zufällig ausgewählte Bestellungen einer Woche; \(X\) ist die Anzahl der Rücksendungen.
B2a · AFB I · 2 BE
Begründe , dass \(X\) näherungsweise binomialverteilt ist, und nenne eine Voraussetzung, die dabei angenommen wird.
B2b · AFB I · 6 BE
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: genau 32 Rücksendungen; höchstens 25 Rücksendungen; mehr als 40 Rücksendungen.
B2c · AFB II · 4 BE
Bestimme das 95-%-Prognoseintervall für \(X\).
B2d · AFB III · 3 BE
Beurteile die Vermutung, dass sich der Anteil der Rücksendungen erhöht hat, wenn in einer Woche 45 Rücksendungen gezählt werden.
Hinweise
B2a · Denkimpuls
Zwei Ausgänge, gleiche Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit.
B2b · Denkimpuls
„mehr als 40“ heißt \(1-P(X\le40)\).
B2c · Denkimpuls
\(\mu=np\), \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\), Laplace-Bedingung prüfen.
B2d · Denkimpuls
Liegt 45 im Intervall aus c?
Erwartungshorizont
B2a · Lösung und 2 BE
Jede Bestellung: zurück oder nicht, \(p=0{,}08\) konstant (1 BE); Unabhängigkeit der Bestellungen angenommen (1 BE).
B2b · Lösung und 6 BE
\(P(X=32)\approx0{,}073\); \(P(X\le25)\approx0{,}113\); \(P(X>40)=1-P(X\le40)\approx0{,}062\) (je Ansatz 1 BE, je Ergebnis 1 BE).
B2c · Lösung und 4 BE
\(\mu=32\), \(\sigma=\sqrt{29{,}44}\approx5{,}43>3\) (2 BE); \(32\pm1{,}96\cdot5{,}43\) (1 BE); \(22\le X\le42\) (1 BE).
B2d · Lösung und 3 BE
45 liegt außerhalb des Intervalls (1 BE); das spricht für eine Veränderung (1 BE), ist aber kein Beweis — auch bei \(p=0{,}08\) tritt so ein Wert selten auf (1 BE).
B3 Teil B · Geometrie: Zeltdach · 15 BE
Ein Zeltdach wird modellhaft durch die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A(0\,|\,0\,|\,0)\), \(B(6\,|\,0\,|\,0)\), \(C(6\,|\,6\,|\,0)\), \(D(0\,|\,6\,|\,0)\) und der Spitze \(S(3\,|\,3\,|\,4)\) beschrieben (1 LE = 1 m).
B3a · AFB I · 3 BE
Zeige , dass die Kanten \(\overline{AS}\) und \(\overline{CS}\) gleich lang sind, und gib ihre Länge an.
B3b · AFB II · 4 BE
Berechne den Winkel zwischen der Kante \(\overline{AS}\) und der Diagonalen \(\overline{AC}\).
B3c · AFB I · 3 BE
Berechne das Volumen des Zeltinnenraums.
B3d · AFB II · 5 BE
Untersuche , ob eine Stange auf der Geraden \(h:\ \vec x=(3\,|\,0\,|\,0{,}5)+s\cdot(-1\,|\,1\,|\,1)\) die Kante \(\overline{AS}\) trifft, und gib gegebenenfalls den Treffpunkt an.
Hinweise
B3a · Denkimpuls
Beide Verbindungsvektoren aufstellen.
B3b · Denkimpuls
\(\overrightarrow{AC}=(6\,|\,6\,|\,0)\), Winkelformel.
B3c · Denkimpuls
\(V=\frac13 G h\), Höhe = \(x_3\)-Koordinate der Spitze.
B3d · Denkimpuls
Gerade durch \(A\) und \(S\): \(\vec x=r\cdot(3\,|\,3\,|\,4)\); gleichsetzen, \(0\le r\le1\) prüfen.
Erwartungshorizont
B3a · Lösung und 3 BE
\(\overrightarrow{AS}=(3\,|\,3\,|\,4)\), \(\overrightarrow{CS}=(-3\,|\,-3\,|\,4)\) (1 BE); beide \(\sqrt{34}\approx5{,}83\) m (2 BE).
B3b · Lösung und 4 BE
\(\cos\alpha=\frac{36}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{72}}\) (2 BE); \(\alpha\approx43{,}3^\circ\) (2 BE).
B3c · Lösung und 3 BE
\(G=36\) m² (1 BE), \(h=4\) m (1 BE), \(V=48\) m³ (1 BE).
B3d · Lösung und 5 BE
Ansatz (1 BE); aus I und II \(s=1{,}5\), \(r=0{,}5\) (2 BE); III: \(2=2\) ✓ (1 BE); \(0\le r\le1\), Treffpunkt \(P(1{,}5\,|\,1{,}5\,|\,2)\), die Mitte der Kante (1 BE).
Eigene Auswertung
Vergleiche deinen Ansatz mit dem Erwartungshorizont und trage die erreichten BE ein. Gleichwertige Lösungswege zählen ebenfalls; ein Folgefehler soll nicht dieselbe Leistung mehrfach entwerten. Dies ist eine Selbsteinschätzung ohne automatische Benotung. Die Eingaben werden nur in diesem Browser gespeichert.