MATHEMATIK · GRUNDKURS · KAPITEL 8
Zwölf Denk- und Rechenfehler aus Analysis, Geometrie und Stochastik erkennen und berichtigen.
Die Aussagen sind absichtlich falsch. Formuliere jeweils eine Verbesserung, bevor du die Auflösung öffnest. Übe den Gedanken danach im interaktiven Training mit anderen Zahlen.
Fehlerhafte Aussage: „Hochpunkt \(H(1\,|\,2)\)“ ergibt nur die Gleichung \(f'(1)=0\).
Richtig: Er ergibt zwei Gleichungen: \(f(1)=2\) und \(f'(1)=0\).
Merke: Ein Punkt mit Eigenschaft liefert Punktbedingung plus Ableitungsbedingung.
Fehlerhafte Aussage: Aus \(f'(x_0)=0\) folgt, dass bei \(x_0\) ein Extrempunkt liegt.
Richtig: Erst mit \(f''(x_0)\ne0\) oder einem Vorzeichenwechsel von \(f'\) ist es sicher.
Merke: Bei \(f(x)=x^3\) ist \(f'(0)=0\), aber dort liegt ein Sattelpunkt.
Fehlerhafte Aussage: \(\int_{-1}^{1}x^3\,dx=0\), also ist die Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse null.
Richtig: Die Fläche ist \(2\cdot\int_0^1x^3\,dx=0{,}5\).
Merke: Bei einem Vorzeichenwechsel an den Nullstellen trennen und Beträge addieren.
Fehlerhafte Aussage: „Wie viel Wasser ist nach 3 h im Becken?“ — Antwort: \(\int_0^3 r(t)\,dt\).
Richtig: \(B(3)=B(0)+\int_0^3 r(t)\,dt\).
Merke: Das Integral liefert nur die Änderung; der Anfangsbestand kommt dazu.
Fehlerhafte Aussage: \(3\cdot e^{2x}=12 \Rightarrow 2x=\ln 12-3\).
Richtig: Einfacher: erst durch 3 teilen, \(e^{2x}=4\), dann \(x=\tfrac12\ln4=\ln2\).
Merke: Erst die Potenz isolieren, dann logarithmieren.
Fehlerhafte Aussage: Bei \(f(t)=50-40e^{-0{,}1t}\) wird der Wert 50 nach 50 Zeiteinheiten erreicht.
Richtig: Der Wert 50 wird nie erreicht; \(f(t)\) nähert sich 50 nur an.
Merke: Grenzwerte sind Schranken, keine Zielwerte.
Fehlerhafte Aussage: \(\overrightarrow{AB}=A-B\).
Richtig: \(\overrightarrow{AB}=B-A\) — „Spitze minus Fuß“.
Merke: Das Vorzeichen entscheidet über die Richtung.
Fehlerhafte Aussage: Die Richtungsvektoren sind Vielfache, also sind die Geraden identisch.
Richtig: Erst die Punktprobe entscheidet zwischen „identisch“ und „echt parallel“.
Merke: Kollinearität ist nur der erste Schritt.
Fehlerhafte Aussage: Der Winkel zwischen zwei Geraden kann 120° betragen.
Richtig: Man gibt den spitzen Winkel an: hier 60°, deshalb Betrag im Zähler.
Merke: \(\cos\alpha=\dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert}{\lvert\vec u\rvert\lvert\vec v\rvert}\) liefert Winkel bis 90°.
Fehlerhafte Aussage: 95 % der Spam-Mails werden markiert, also ist eine markierte Mail zu 95 % Spam.
Richtig: \(P_S(M)=0{,}95\) ist nicht \(P_M(S)\); das hängt vom Spam-Anteil ab.
Merke: Welches Ereignis ist die Bedingung? Dann Baum umkehren.
Fehlerhafte Aussage: „Weniger als 5 Treffer“: \(P(X\le5)\).
Richtig: „Weniger als 5“ heißt \(P(X\le4)\).
Merke: Grenzen in Worten immer in eine Ungleichung übersetzen.
Fehlerhafte Aussage: Liegt eine Trefferzahl außerhalb des 95-%-Intervalls, ist die Vermutung über \(p\) bewiesen falsch.
Richtig: Sie ist nur unwahrscheinlich; in etwa 5 % der Fälle liegt man auch bei richtigem \(p\) außerhalb.
Merke: Aussagen über Stichproben sind Wahrscheinlichkeitsaussagen.