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Kurvenanpassung im Abitur

Eine Rampe, eine Brücke, eine Straße: Aus ein paar Sätzen Text wird eine Funktion — wenn jede Bedingung sitzt.

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Vom Steckbrief zu den Bedingungen

Typische Abituraufgabe: Ein Profil — Rampe, Brücke, Straße — soll durch eine ganzrationale Funktion beschrieben werden. Jede Aussage im Text wird zu einer Gleichung für die unbekannten Koeffizienten.

  • Ansatz:Grad \(n\) → \(n+1\) Koeffizienten → \(n+1\) unabhängige Bedingungen.
  • Punkt:„geht durch \(P(2\,|\,3)\)“ → \(f(2)=3\).
  • Extrempunkt:„Hochpunkt \(H(1\,|\,2)\)“ → \(f(1)=2\) und \(f'(1)=0\).
  • Wendepunkt:\(f''(x_W)=0\), dazu \(f(x_W)=y_W\), wenn die Höhe bekannt ist.
  • Steigung:„Steigung \(-1{,}5\) bei \(x=2\)“ → \(f'(2)=-1{,}5\); „waagerecht“ heißt \(f'=0\).
  • Symmetrie:zur \(y\)-Achse → nur gerade Exponenten, zum Ursprung → nur ungerade.

Lies den Steckbrief oben im Applet und setze genau so viele Bausteine ins LGS, wie der Ansatz Unbekannte hat. Ein Klick auf eine Gleichung im LGS nimmt sie wieder heraus. Dann „LGS lösen“ — der Graph zeigt, ob alle Vorgaben erfüllt sind.

Bedingungen bauen

Bausteine — anklicken, um sie ins LGS zu setzen:

Mein LGS

    Halte fest: Jede Aussage im Text wird zu einer Gleichung. Fehlt eine, ist die Lösung nicht eindeutig; ist eine falsch übersetzt, verfehlt der Graph die Vorgabe.

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    LGS lösen und prüfen

    Das LGS löst im Prüfungsteil B der Rechner. Hilfsmittelfrei kommen nur kleine Systeme vor — oft hilft dort die Symmetrie.

    Herleitung:

    \(f(x)=ax^3+cx\)
    | Ansatz
    Grad 3, punktsymmetrisch zum Ursprung: nur ungerade Exponenten. Gegeben ist der Hochpunkt \(H(1\,|\,2)\).
    \(\text{I: }a+c=2\qquad\text{II: }3a+c=0\)
    | Bedingungen
    I aus \(f(1)=2\), II aus \(f'(1)=0\) mit \(f'(x)=3ax^2+c\).
    \(2a=-2\)
    | II − I
    Die Differenz der Gleichungen lässt \(c\) verschwinden.
    \(a=-1,\;c=3\)
    | einsetzen
    In I: \(-1+c=2\).
    \(f(x)=-x^3+3x\)
    Ergebnis
    Probe: \(f''(1)=-6<0\) — bei \(x=1\) liegt wirklich ein Hochpunkt.
    • fx-CG50:MENU A (Gleichung), F1 (SIMUL), Anzahl der Unbekannten mit F2 (3) oder F3 (4), Koeffizienten je mit EXE, dann F1 (SOLVE).
    • TI-Nspire CAS:menu → 3 Algebra → 7 Gleichungssysteme lösen, oder direkt \(\text{solve}(\ldots\text{ and }\ldots,\{a,b,c,d\})\).
    • Probe:alle Eigenschaften aus dem Text kontrollieren — auch die, die nicht im LGS stehen (Art des Extrempunkts, Lage im Intervall).
    Merke

    Kurvenanpassung: Grad \(n\) \(\Rightarrow\) \(n+1\) Bedingungen \(\Rightarrow\) LGS lösen \(\Rightarrow\) Probe

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    Allgemeine Hinweise

    Extrempunkt heißt zwei Gleichungen

    \(H(1\,|\,2)\) liefert \(f(1)=2\) und \(f'(1)=0\). Wer nur eine davon notiert, hat eine Gleichung zu wenig.

    Notwendig ist nicht hinreichend

    \(f'(x_0)=0\) allein macht noch keinen Hochpunkt. In der Probe \(f''(x_0)<0\) oder den Vorzeichenwechsel von \(f'\) prüfen.

    Symmetrie zuerst nutzen

    Symmetrie streicht Koeffizienten, bevor gerechnet wird. Bedingungen wie \(f(-4)=0\) bringen dann nichts Neues — sie machen das LGS nicht mehr eindeutig lösbar.

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