Kapitel 4Zurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel, Übungen und Textaufgaben zu ganzrationalen Funktionen.
Dein Fortschritt:
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Das ganze Kapitel 4 auf einer Seite: erst der Überblick über die sechs Unterkapitel, dann die Formelsammlung, dann eine ehrliche Checkliste. Klappe jeden Punkt der Checkliste auf, den du sicher beherrschst — die Fortschrittsleiste zeigt, wie weit du bist.
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Kompaktüberblick
Sechs Unterkapitel, ein roter Faden: Zuerst beschreibt man eine ganzrationale Funktion (Grad, Symmetrie, Globalverhalten), danach sucht man ihre Nullstellen und deutet sie.
- 4.1.1 DefinitionGanzrational heißt: Summe von Potenzen mit natürlichen Exponenten. Grad = größter Exponent, Leitkoeffizient \(a_{n}\neq 0\), Absolutglied \(a_{0}=f(0)\). Erst ordnen, dann ablesen.
- 4.1.2 SymmetrieNur gerade Exponenten → achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse \(\left(f(-x)=f(x)\right)\). Nur ungerade → punktsymmetrisch zum Ursprung \(\left(f(-x)=-f(x)\right)\). Ein Absolutglied zählt als gerader Exponent 0.
- 4.1.3 GlobalverhaltenDer Leitterm \(a_{n}x^{n}\) bestimmt alles. Gerader Grad → beide Enden gleich; ungerader Grad → entgegengesetzt. Das Vorzeichen von \(a_{n}\) legt die Richtung fest.
- 4.2.1 LinearfaktorenProduktdarstellung \(f(x)=a\,(x-x_{1})\cdots(x-x_{n})\). Satz vom Nullprodukt: jeden Faktor einzeln null setzen. Der Zahlfaktor \(a\) liefert keine Nullstelle, verändert aber alle Funktionswerte.
- 4.2.2 NullstellenDrei Wege: ausklammern (Nullprodukt), pq-Formel nach dem Normieren, Substitution \(z=x^{2}\) bei biquadratischen Gleichungen. Negative \(z\)-Werte werden verworfen.
- 4.2.3 AnzahlHöchstens \(n\) Nullstellen; bei ungeradem Grad mindestens eine. Die Vielfachheit \(k\) entscheidet: ungerade → schneiden, gerade → berühren.
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Formelsammlung
| Thema | Formel / Regel | Kurz erklärt |
|---|---|---|
| Ganzrationale Funktion | \(f(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0}\) | Exponenten aus \(\mathbb{N}\), \(a_{n}\neq 0\) |
| Grad und Leitkoeffizient | \(n\), \(a_{n}\) | größter Exponent, Koeffizient davor (mit Vorzeichen) |
| Absolutglied | \(a_{0}=f(0)\) | \(y\)-Achsenabschnitt |
| Achsensymmetrie | \(f(-x)=f(x)\) | nur gerade Exponenten |
| Punktsymmetrie | \(f(-x)=-f(x)\) | nur ungerade Exponenten; \(f(0)=0\) |
| Vorzeichenregel | \((-x)^{n}=\pm x^{n}\) | gerade \(n\): Plus · ungerade \(n\): Minus |
| Globalverhalten | \(f(x)\approx a_{n}x^{n}\) für \(|x|\to\infty\) | Leitterm ausklammern, Restklammer \(\to 1\) |
| Vier Grundverläufe | \(n\) gerade / ungerade × \(a_{n}>0\) / \(a_{n}<0\) | gerade: beide Enden gleich; ungerade: entgegengesetzt |
| Satz vom Nullprodukt | \(u\cdot v=0\Leftrightarrow u=0\ \text{oder}\ v=0\) | nie durch \(x\) teilen — ausklammern |
| Normalform | \(x^{2}+px+q=0\) | Voraussetzung für die pq-Formel |
| pq-Formel | \(x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}-q}\) | \(p\), \(q\) mit Vorzeichen einsetzen |
| Diskriminante | \(D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}-q\) | \(D>0\): zwei · \(D=0\): eine · \(D<0\): keine |
| Substitution | \(z=x^{2}\) | Rücksubstitution \(x=\pm\sqrt{z}\); \(z<0\) verwerfen |
| Linearfaktor | \((x-x_{0})\) | \((x+2)\) gehört zur Nullstelle \(-2\) |
| Anzahl der Nullstellen | höchstens \(n\) | bei ungeradem \(n\) mindestens eine |
| Vielfachheit | \((x-x_{0})^{k}\) | \(k\) ungerade: schneiden · \(k\) gerade: berühren |
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Checkliste — wo stehe ich?
Geh die Punkte ehrlich durch. Klappe jeweils auf, um die Kurzfassung zu sehen und bei Bedarf ins passende Unterkapitel zu springen.
?Ich erkenne ganzrationale Funktionen und bestimme Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied.
Selbstcheck & Wiederholung
Erst nach fallenden Exponenten ordnen, dann ablesen; Vorzeichen gehört zum Koeffizienten. → Kapitel 4.1.1
?Ich entscheide am Term über Achsen- und Punktsymmetrie und weise sie mit \(f(-x)\) nach.
Selbstcheck & Wiederholung
Nur gerade → achsensymmetrisch; nur ungerade → punktsymmetrisch; gemischt → keine. → Kapitel 4.1.2
?Ich gebe das Globalverhalten in Grenzwertschreibweise an.
Selbstcheck & Wiederholung
Zwei Fragen: Grad gerade oder ungerade? \(a_{n}\) positiv oder negativ? → Kapitel 4.1.3
?Ich stelle eine Funktion mit vorgegebenen Nullstellen in Produktform auf und bestimme \(a\).
Selbstcheck & Wiederholung
\(f(x)=a\,(x-x_{1})(x-x_{2})\dots\), danach Punktprobe. → Kapitel 4.2.1
?Ich löse Gleichungen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt.
Selbstcheck & Wiederholung
Höchste gemeinsame Potenz ausklammern — niemals durch \(x\) teilen. → Kapitel 4.2.2
?Ich normiere eine quadratische Gleichung und wende die pq-Formel sicher an.
Selbstcheck & Wiederholung
Jeden Summanden teilen; \(D\) vorab berechnen. → Kapitel 4.2.2
?Ich löse biquadratische Gleichungen mit der Substitution \(z=x^{2}\).
Selbstcheck & Wiederholung
Rücksubstitution nicht vergessen; negative \(z\)-Werte verwerfen. → Kapitel 4.2.2
?Ich begründe die mögliche Anzahl der Nullstellen aus dem Grad.
Selbstcheck & Wiederholung
Höchstens \(n\); bei ungeradem \(n\) mindestens eine. → Kapitel 4.2.3
?Ich unterscheide Schneiden und Berühren über die Vielfachheit.
Selbstcheck & Wiederholung
Ungerade → Vorzeichenwechsel, gerade → kein Vorzeichenwechsel. → Kapitel 4.2.3
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Weiter üben — Klausurvorbereitung
Jetzt anwenden: gestufte Übungen, typische Fehler, Selbsttest, Lernkarten und zum Abschluss die Probeklausur.
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