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Übung — AFB II

Zehn Aufgaben zum Verknüpfen: normieren und pq-Formel, Substitution, Vielfachheiten, Steckbriefe — fünf interaktiv, fünf im Klausurformat.

Kapitel 4Zurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel, Übungen und Textaufgaben zu ganzrationalen Funktionen.
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Aufgabenblock — AFB II

AFB II

Zehn Aufgaben, die zwei oder drei Bausteine des Kapitels verbinden: normieren und die pq-Formel anwenden, ausklammern und substituieren, Symmetrie und Nullstellen zusammendenken, aus einem Steckbrief eine Funktion rekonstruieren. Auf dieser Stufe zählt der Zusammenhang — nicht mehr die einzelne Formel. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf sind Textaufgaben im Klausurformat.

1Vier Eigenschaften auf einen BlickAFB II

Kreuzen Sie in jeder Zeile alle Eigenschaften an, die auf die Funktion zutreffen. Es können mehrere pro Zeile sein — oder auch keine.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
\(f(x)\)achsensym. zur \(y\)-Achsepunktsym. zum Ursprungbeide Enden nach obenhat mind. eine Nullstelle
\(f(x)=x^{4}-4x^{2}\)
\(f(x)=x^{3}-x\)
\(f(x)=-x^{4}+1\)
\(f(x)=x^{2}+1\)
\(f(x)=x^{3}+x^{2}\)
\(x^{2}+1\) ist die einzige Funktion ohne Nullstelle: \(x^{2}=-1\) hat keine reelle Lösung. \(-x^{4}+1\) hat zwar nur gerade Exponenten, aber wegen \(a_{4}<0\) zeigen beide Enden nach unten. Und \(x^{3}+x^{2}\) mischt gerade und ungerade Exponenten — damit fällt jede Symmetrie weg.
2Erst normieren, dann pq-FormelAFB II

Gegeben sind \(f(x)=2x^{2}-10x+12\), \(g(x)=-3x^{2}+12x-9\) und \(h(x)=x^{2}-6x+11\).

  1. Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\).
  2. Berechnen Sie die Nullstellen von \(g\).
  3. Untersuchen Sie \(h\) auf Nullstellen und deuten Sie das Ergebnis am Graphen.
Hinweis 1 — Ansatz
Die pq-Formel gilt nur für die Normalform \(x^{2}+px+q=0\). Der erste Blick gehört deshalb dem Faktor vor \(x^{2}\) — steht dort nicht die 1, wird die ganze Gleichung durch diesen Faktor geteilt.
Hinweis 2 — Durchführung
Die Diskriminante \(D=\left(\tfrac{p}{2}\right)^{2}-q\) entscheidet vorab: \(D>0\) zwei Nullstellen, \(D=0\) genau eine, \(D<0\) keine reelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(0=2x^{2}-10x+12\;|:2\) → \(0=x^{2}-5x+6\), also \(p=-5\), \(q=6\).

\(D=\left(-2{,}5\right)^{2}-6=6{,}25-6=0{,}25\), also \(\sqrt{D}=0{,}5\).

\(x_{1,2}=2{,}5\pm 0{,}5\) → \(x_{1}=3\), \(x_{2}=2\).

Probe: \(2\cdot 9-30+12=0\) und \(2\cdot 4-20+12=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0=-3x^{2}+12x-9\;|:(-3)\) → \(0=x^{2}-4x+3\), also \(p=-4\), \(q=3\).

\(D=(-2)^{2}-3=4-3=1\), also \(\sqrt{D}=1\).

\(x_{1,2}=2\pm 1\) → \(x_{1}=3\), \(x_{2}=1\).

Das Teilen durch eine negative Zahl ändert die Lösungsmenge nicht, denn \(0:(-3)=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h\) ist bereits normiert: \(p=-6\), \(q=11\).

\(D=(-3)^{2}-11=9-11=-2<0\)

Aus einer negativen Zahl lässt sich keine reelle Wurzel ziehen — \(h\) hat keine Nullstelle.

Deutung: Der Leitkoeffizient ist positiv, die Parabel ist also nach oben geöffnet. Wegen \(h(3)=9-18+11=2\) liegt der tiefste Punkt bei \((3\mid 2)\), die Parabel verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.

3Substitution Schritt für SchrittAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}-13x^{2}+36\). Arbeiten Sie die Substitution \(z=x^{2}\) der Reihe nach ab. Erst wenn ein Schritt stimmt, geht es weiter.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Nach der Substitution lautet die Gleichung \(z^{2}+pz+q=0\). Wie groß ist \(p\)?
  2. Wie groß ist \(q\)?
  3. Berechnen Sie die Diskriminante \(D=\left(\tfrac{p}{2}\right)^{2}-q\).
  4. Wie groß ist der größere \(z\)-Wert?
  5. Wie groß ist der kleinere \(z\)-Wert?
  6. Welches ist die größte Nullstelle von \(f\)?
\(D=6{,}25\), also \(\sqrt{D}=2{,}5\) und \(z_{1,2}=6{,}5\pm 2{,}5\). Die Rücksubstitution \(x^{2}=9\) und \(x^{2}=4\) liefert vier Nullstellen: \(\mathbb{L}=\{-3;-2;2;3\}\). Beide \(z\)-Werte sind positiv — deshalb bleibt hier keine Lösung auf der Strecke.
4Faktorisieren, Vielfachheiten, VerlaufAFB II

Gegeben sind \(f(x)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}\) und \(g(x)=-(x-1)^{2}(x+2)\).

  1. Bestimmen Sie die Produktdarstellung von \(f\) sowie alle Nullstellen mit ihrer Vielfachheit.
  2. Entscheiden Sie bei \(f\) für jede Nullstelle, ob der Graph schneidet oder berührt, und geben Sie das Globalverhalten an.
  3. Skizzieren Sie den Graphen von \(g\) und begründen Sie Ihre Skizze mit Nullstellen, Vielfachheiten und Globalverhalten.
Hinweis 1 — Ansatz
Bei \(f\) steckt in jedem Summanden mindestens \(x^{2}\). Klammern Sie es aus; in der Restklammer bleibt eine quadratische Gleichung für die pq-Formel.
Hinweis 2 — Durchführung
Für die Skizze von \(g\) brauchen Sie drei Bausteine: die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit, den Wert \(g(0)\) und das Verhalten an beiden Rändern.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}=x^{2}\left(x^{2}-2x-3\right)\)

Restklammer: \(p=-2\), \(q=-3\), \(D=1+3=4\), \(\sqrt{D}=2\), also \(x=1\pm 2\) → \(3\) und \(-1\).

\(f(x)=x^{2}(x-3)(x+1)\)

Nullstellen: \(x=0\) mit \(k=2\), \(x=3\) mit \(k=1\), \(x=-1\) mit \(k=1\). Summe der Vielfachheiten: \(2+1+1=4=\) Grad.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x=0\): gerade Vielfachheit → der Graph berührt die \(x\)-Achse, kein Vorzeichenwechsel.

\(x=-1\) und \(x=3\): ungerade Vielfachheit → der Graph schneidet jeweils mit Vorzeichenwechsel.

Globalverhalten: Grad 4 (gerade), \(a_{4}=1>0\) → \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\), beide Enden zeigen nach oben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nullstellen von \(g\): \(x=1\) mit \(k=2\) (berühren) und \(x=-2\) mit \(k=1\) (schneiden).

Ausmultipliziert beginnt \(g\) mit \(-x^{3}\): ungerader Grad, \(a_{3}=-1<0\) → links oben, rechts unten.

\(g(0)=-(0-1)^{2}(0+2)=-1\cdot 2=-2\), der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(-2\).

Skizze: Der Graph kommt von links oben, schneidet bei \(x=-2\) die Achse nach unten, läuft durch \((0\mid -2)\), berührt bei \(x=1\) die \(x\)-Achse von unten (Hochpunkt auf der Achse) und fällt danach ins Unendliche.

5Fehlersuche in einer fremden RechnungAFB II

Ein Mitschüler bestimmt die Nullstellen von \(f(x)=3x^{2}+6x-24\). Prüfen Sie jede Zeile und markieren Sie genau die falschen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Beide Fehler wären mit einer Probe sofort aufgefallen: \(3\cdot 2^{2}+6\cdot 2-24=0\) und \(3\cdot(-4)^{2}+6\cdot(-4)-24=0\). Die Zeilen 3 bis 5 sind übrigens in sich korrekt — sie arbeiten nur mit der bereits richtig normierten Gleichung weiter.
6Steckbrief: Funktion aus Nullstellen und einem PunktAFB II

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat die Nullstellen \(-2\), \(1\) und \(3\) und verläuft durch den Punkt \(P(0\mid -12)\).

  1. Geben Sie den Funktionsterm in Produktform mit einem Parameter \(a\) an.
  2. Berechnen Sie \(a\) und notieren Sie \(f\) vollständig.
  3. Erläutern Sie, warum die drei Nullstellen allein die Funktion noch nicht festlegen.
Hinweis 1 — Ansatz
Zu jeder Nullstelle \(x_{i}\) gehört der Linearfaktor \((x-x_{i})\) — das Vorzeichen dreht sich dabei um. Der Grad 3 passt genau zu drei Linearfaktoren.
Hinweis 2 — Durchführung
Setzen Sie die Koordinaten von \(P\) ein: \(f(0)=-12\). Alle Klammern werden dabei zu Zahlen, \(a\) bleibt als einziger Unbekannter stehen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=a\,(x+2)(x-1)(x-3)\) mit \(a\neq 0\).

Der Grad stimmt: drei Linearfaktoren ergeben ausmultipliziert die höchste Potenz \(x^{3}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Punktprobe mit \(P(0\mid -12)\):

\(f(0)=a\cdot(0+2)(0-1)(0-3)=a\cdot 2\cdot(-1)\cdot(-3)=6a\)

\(6a=-12\;|:6\) → \(a=-2\)

\(f(x)=-2\,(x+2)(x-1)(x-3)\)

Kontrolle: \(f(0)=-2\cdot 6=-12\). ✓

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Jedes \(a\neq 0\) liefert dieselben Nullstellen, denn ein Zahlfaktor wird nie null. Die Funktionswerte dazwischen sind aber völlig verschieden — \(a\) streckt oder staucht den Graphen und spiegelt ihn bei negativem Vorzeichen an der \(x\)-Achse.

Erst eine zusätzliche Bedingung, hier der Punkt \(P\), macht \(a\) und damit \(f\) eindeutig.

7Von der Gleichung bis zu beiden NullstellenAFB II

Gegeben ist die Gleichung \(4x^{2}-4x-24=0\). Bestimmen Sie alle fünf Werte und prüfen Sie sie gemeinsam. Dezimalzahlen mit Komma.

Trage alle Werte ein und prüfe dann gemeinsam. Enter prüft.
\(4x^{2}-4x-24=0\;|:4\) ergibt \(x^{2}-x-6=0\), also \(p=-1\) und \(q=-6\). Dann ist \(D=(-0{,}5)^{2}+6=6{,}25\) und \(\sqrt{D}=2{,}5\), also \(x_{1,2}=0{,}5\pm 2{,}5\). Wer das Normieren vergisst, landet bei \(p=-4\) und \(q=-24\) — und damit bei falschen Nullstellen.
8Symmetrie nachweisen und dabei Nullstellen sparenAFB II

Gegeben sind \(f(x)=x^{5}-4x^{3}+3x\) und \(g(x)=x^{4}+2x^{2}-3\).

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
  2. Berechnen Sie die Nullstellen von \(g\).
  3. Erläutern Sie, welche Aussage die Symmetrie von \(g\) über die Lage der Nullstellen macht.
Hinweis 1 — Ansatz
Für die Punktsymmetrie ist \(f(-x)=-f(x)\) zu zeigen. Setzen Sie \(-x\) mit Klammern ein: \((-x)^{5}=-x^{5}\), \((-x)^{3}=-x^{3}\).
Hinweis 2 — Durchführung
\(g\) enthält nur \(x^{4}\), \(x^{2}\) und eine Zahl — das ist der typische Fall für die Substitution \(z=x^{2}\). Denken Sie an das Verwerfen negativer \(z\)-Werte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(-x)=(-x)^{5}-4(-x)^{3}+3(-x)=-x^{5}+4x^{3}-3x\)

\(-f(x)=-\left(x^{5}-4x^{3}+3x\right)=-x^{5}+4x^{3}-3x\)

Beide Terme stimmen für alle \(x\) überein, also gilt \(f(-x)=-f(x)\): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Passend dazu kommen im Term nur die ungeraden Exponenten 5, 3 und 1 vor.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Substitution \(z=x^{2}\): \(z^{2}+2z-3=0\), also \(p=2\), \(q=-3\).

\(D=1+3=4\), \(\sqrt{D}=2\), \(z_{1,2}=-1\pm 2\) → \(z_{1}=1\), \(z_{2}=-3\).

Rücksubstitution: \(x^{2}=1\) liefert \(x=\pm 1\). Der Wert \(z_{2}=-3\) wird ersatzlos gestrichen, denn \(x^{2}=-3\) hat keine reelle Lösung.

\(\mathbb{L}=\{-1;\,1\}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(g\) enthält nur gerade Exponenten (4, 2 und 0), ist also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Wegen \(g(-x)=g(x)\) gilt: Ist \(x_{0}\) eine Nullstelle, so ist auch \(-x_{0}\) eine.

Nullstellen treten deshalb immer paarweise als \(\pm x_{0}\) auf — es genügt, die positiven zu berechnen und dann zu spiegeln. Genau das passiert bei der Rücksubstitution \(x=\pm\sqrt{z}\).

9Rechenweg ordnen: ausklammern und substituierenAFB II

Die sieben Karten enthalten den vollständigen Weg zu den Nullstellen von \(f(x)=x^{5}-5x^{3}+4x\), allerdings durcheinander. Bringen Sie sie in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1\(x\) ausklammern: \(f(x)=x\left(x^{4}-5x^{2}+4\right)\)
2Satz vom Nullprodukt: \(x_{1}=0\) oder \(x^{4}-5x^{2}+4=0\)
3Substitution \(z=x^{2}\): \(z^{2}-5z+4=0\)
4pq-Formel mit \(p=-5\), \(q=4\): \(z_{1,2}=2{,}5\pm\sqrt{2{,}25}\)
5\(z_{1}=4\) und \(z_{2}=1\)
6Rücksubstitution: \(x^{2}=4\) und \(x^{2}=1\)
7\(\mathbb{L}=\{-2;\,-1;\,0;\,1;\,2\}\)
Die Reihenfolge ist bei fast allen Aufgaben dieselbe: erst ausklammern, dann das Nullprodukt nutzen, dann erst substituieren. Wer zuerst substituiert, verliert die Nullstelle \(x=0\) aus dem ausgeklammerten Faktor. Fünf Nullstellen bei Grad 5 — die Obergrenze ist hier ausgeschöpft.
10Wie viele Nullstellen sind möglich?AFB II

Gegeben sind \(f(x)=x^{4}-2x^{2}+1\), \(g(x)=x^{4}+4\) und \(h(x)=x^{3}-4x\).

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen von \(h\) und begründen Sie mit dem Grad, warum es nicht mehr sein können.
  2. Zeigen Sie, dass \(f\) genau zwei Nullstellen besitzt, und geben Sie deren Vielfachheit an.
  3. Begründen Sie, dass \(g\) keine Nullstelle hat.
Hinweis 1 — Ansatz
Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen. Bei \(f\) und \(g\) führt die Substitution \(z=x^{2}\) zum Ziel.
Hinweis 2 — Durchführung
Bei \(f\) ist die Diskriminante der \(z\)-Gleichung null — überlegen Sie, was das für die Faktorzerlegung bedeutet. Bei \(g\) hilft schon eine Abschätzung: Wie klein kann \(x^{4}\) werden?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h(x)=x^{3}-4x=x\left(x^{2}-4\right)=x(x-2)(x+2)\)

\(\mathbb{L}=\{-2;\,0;\,2\}\)

\(h\) hat den Grad 3 und damit höchstens drei Nullstellen. Mit genau drei ist die Obergrenze erreicht — eine vierte kann es nicht geben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Substitution \(z=x^{2}\): \(z^{2}-2z+1=0\) mit \(p=-2\), \(q=1\).

\(D=1-1=0\) → genau ein \(z\)-Wert: \(z=1\).

Rücksubstitution: \(x^{2}=1\) → \(x=\pm 1\).

In Faktorform: \(f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2}=(x-1)^{2}(x+1)^{2}\). Beide Nullstellen haben also die Vielfachheit 2; der Graph berührt die \(x\)-Achse an beiden Stellen.

Summe der Vielfachheiten: \(2+2=4=\) Grad.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz \(x^{4}+4=0\) bedeutet \(x^{4}=-4\). Eine vierte Potenz ist aber nie negativ, also gibt es keine reelle Lösung.

Kürzer: Für jedes reelle \(x\) gilt \(x^{4}\geq 0\), damit \(g(x)\geq 4>0\). Der Graph verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.

Das widerspricht dem Satz über die Anzahl der Nullstellen nicht: Er nennt nur eine Obergrenze. Eine Mindestanzahl garantiert er ausschließlich bei ungeradem Grad.