Weit herauszoomen
Zoomst du weit heraus, verschwinden Hoch- und Tiefpunkte. Übrig bleiben zwei Äste nach links und nach rechts.
- Globalverlauf:Verlauf des Graphen, wenn du sehr weit herauszoomst.
- Globalverhalten:wohin \(f(x)\) strebt, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird.
- Schreibweise:\(\lim_{x\to\infty}f(x)\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\).
- Sprechweise:„\(x\) geht gegen unendlich“ heißt: \(x\) wächst über jede Schranke.
Von links nach rechts wird der dargestellte Bereich immer größer. Hoch- und Tiefpunkt schrumpfen dabei optisch zusammen, bis nur noch zwei Äste übrig bleiben.
- Beispiel:bei \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\) schrumpfen \(H(1\mid 4)\) und \(T(3\mid 0)\) beim Zoomen zu einer kleinen Delle.
Das Applet zeigt immer \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\). Zieh den Regler langsam nach rechts und beobachte Hoch- und Tiefpunkt.
Zoom-Applet
Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten steuern.
Nah dran: Hochpunkt und Tiefpunkt sind deutlich zu erkennen.
Halte fest: Die Funktion bleibt gleich, nur der Ausschnitt wächst. Am Ende bleiben zwei Äste: links nach unten, rechts nach oben.
Der Leitkoeffizient entscheidet
Weit draußen erdrückt der Summand mit der höchsten Potenz alle anderen. Er heißt Leitterm.
- Leitterm:\(a_{n}x^{n}\); \(a_{n}\) heißt Leitkoeffizient, \(n\) ist der Grad.
- Ausklammern:\(f(x)=a_{n}x^{n}\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}x}+\dots+\frac{a_{0}}{a_{n}x^{n}}\right)\).
- Für \(|x|\to\infty\):jeder Bruch in der Klammer geht gegen 0, die Klammer gegen 1.
- Folge:übrig bleibt \(a_{n}x^{n}\).
- Beispiel:bei \(x=1000\) ist \(x^{3}\) schon \(10\,000\)-mal so groß wie \(100x\).
Vergleich der Beträge von x³ und 100x an drei Stellen. Bei x = 1 führt noch 100x, bei x = 10 sind beide gleich, ab da zieht x³ unaufholbar davon. Die Balkenlängen sind logarithmisch skaliert, sonst wäre der letzte Balken meterlang.
Leitterm: für große \(|x|\) verhält sich \(f(x)\) wie \(a_{n}x^{n}\)
Die vier Verläufe
Nur zwei Angaben zählen: das Vorzeichen von \(a_{n}\) und ob \(n\) gerade oder ungerade ist. Das ergibt genau vier Fälle.
- Grad gerade:beide Äste zeigen in dieselbe Richtung, weil \((-x)^{n}=x^{n}\).
- Grad ungerade:die Äste zeigen in entgegengesetzte Richtungen, weil \((-x)^{n}=-x^{n}\).
- \(a_{n}>0\):der rechte Ast zeigt nach oben.
- \(a_{n}<0\):das ganze Bild ist an der \(x\)-Achse gespiegelt.
Spalten: Grad gerade oder ungerade. Zeilen: Leitkoeffizient positiv oder negativ. Jede Zelle zeigt eine typische Kurve und die beiden zugehörigen Grenzwerte.
| n gerade | n ungerade | |
|---|---|---|
| aₙ > 0 | x → +∞: f(x) → +∞ x → −∞: f(x) → +∞ | x → +∞: f(x) → +∞ x → −∞: f(x) → −∞ |
| aₙ < 0 | x → +∞: f(x) → −∞ x → −∞: f(x) → −∞ | x → +∞: f(x) → −∞ x → −∞: f(x) → +∞ |
Globalverhalten: bestimmt allein durch das Vorzeichen von \(a_{n}\) und die Parität von \(n\)
Dreh an den beiden Stellschrauben. Im Übungsmodus suchst du zum Term die passende Einstellung.
Vier-Verläufe-Trainer
Alle Schaltflächen lassen sich mit der Maus anklicken oder per Tabulator ansteuern und mit Enter beziehungsweise Leertaste auslösen.
Übungsmodus: Klicke auf „Neue Aufgabe“, stelle beide Schalter passend ein und prüfe deine Antwort.
Noch keine Aufgabe gestartet.
Halte fest: Es gibt genau vier Globalverläufe. Der Grad entscheidet über gleiche oder entgegengesetzte Richtung, \(a_{n}\) über oben oder unten.
Anwenden Schritt für Schritt
Drei kurze Schritte führen zu beiden Grenzwerten. Die übrigen Summanden brauchst du dafür nicht.
- Schritt 1:den Summanden mit der höchsten Potenz suchen, er steht nicht immer vorn.
- Schritt 2:Grad \(n\) ablesen: gerade oder ungerade?
- Schritt 3:Vorzeichen von \(a_{n}\) ablesen und beide Grenzwerte notieren.
- Beispiel:\(f(x)=-x^{3}-2x+7\): \(n=3\), \(a_{3}=-1\), also \(\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty\).
Zu jedem Term der schematische Verlauf. Nur der Leitterm bestimmt, in welche der vier Kategorien die Funktion fällt.
Allgemeine Hinweise
Nur weit draußen
Nahe dem Ursprung kann jeder Summand vorn liegen. Der Globalverlauf gilt nur für große \(|x|\).
Leitterm suchen
Die höchste Potenz steht nicht immer vorn. Ordne den Term oder suche gezielt den größten Exponenten.
Sicherheitscheck
Passt deine Skizze nicht zum Leitterm, steckt irgendwo ein Fehler. Über Null- oder Extremstellen sagt der Globalverlauf nichts.