Eine vollständige Klausur zu Kapitel 4 im Format der schriftlichen Abiturprüfung: drei Aufgaben, 60 Bewertungseinheiten, 90 Minuten. Aufgabe 1 ist hilfsmittelfrei, bei Aufgabe 2 und 3 sind wissenschaftlicher Taschenrechner und Formelsammlung erlaubt. Bearbeite alles zuerst auf Papier — Hinweise gibt es hier bewusst keine. Danach klappst du die Erwartungshorizonte auf, vergleichst und trägst deine Punkte ein.
Aufgabe 1 — Terme, Symmetrie und Globalverhalten
16 BEHilfsmittelfreier Teil · ohne Taschenrechner und Formelsammlung
Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit $$f(x)=-0{,}5\,x^{4}+2\,x^{2}\qquad\text{und}\qquad g(x)=x^{3}-4\,x .$$
- 3 BEGeben Sie für \(f\) den Grad, den Leitkoeffizienten und das Absolutglied an. Entscheiden Sie ohne Rechnung, ob der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
- 3 BEZeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
- 4 BEBerechnen Sie alle Nullstellen von \(f\) und geben Sie deren Vielfachheit an.
- 3 BEBeschreiben Sie das Globalverhalten von \(f\) und von \(g\) mit Hilfe der Limes-Schreibweise.
- 3 BEGegeben ist außerdem \(k(x)=x^{3}\,(x-2)-\left(x^{2}-1\right)^{2}\). Entscheiden Sie, ob \(k\) eine ganzrationale Funktion ist, und geben Sie gegebenenfalls Grad und Leitkoeffizienten an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 3 BE
Grad \(n=4\), Leitkoeffizient \(a_{4}=-0{,}5\), Absolutglied \(a_{0}=0\).
Im Term kommen nur gerade Exponenten vor (\(x^{4}\), \(x^{2}\)) \(\Rightarrow\) der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 3 BE
Es ist \(g(-x)=(-x)^{3}-4\,(-x)=-x^{3}+4x=-\left(x^{3}-4x\right)=-g(x)\) für alle \(x\in\mathbb R\).
Damit gilt \(g(-x)=-g(x)\), also ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung. (Alternativ: Es treten nur ungerade Exponenten auf.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) 4 BE
Ausklammern: \(f(x)=-0{,}5\,x^{2}\left(x^{2}-4\right)=-0{,}5\,x^{2}\,(x-2)(x+2)\).
Satz vom Nullprodukt: \(x^{2}=0\) oder \(x-2=0\) oder \(x+2=0\).
Nullstellen: \(x_{1}=0\) mit Vielfachheit \(2\) (Berührstelle), \(x_{2}=2\) und \(x_{3}=-2\) jeweils mit Vielfachheit \(1\) (Schnittstellen). Probe: \(2+1+1=4\) = Grad.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) 3 BE
\(f\): Grad \(4\) gerade, Leitkoeffizient negativ \(\Rightarrow\) beide Äste nach unten: \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty\).
\(g\): Grad \(3\) ungerade, Leitkoeffizient \(1>0\) \(\Rightarrow\) von links unten nach rechts oben: \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\infty\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe e) 3 BE
Ausmultiplizieren: \(x^{3}(x-2)=x^{4}-2x^{3}\) und \(\left(x^{2}-1\right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1\).
\(k(x)=x^{4}-2x^{3}-x^{4}+2x^{2}-1=-2x^{3}+2x^{2}-1\).
\(k\) ist ganzrational (Summe von Potenzen mit natürlichen Exponenten). Die \(x^{4}\)-Terme heben sich auf: Grad \(n=3\), Leitkoeffizient \(a_{3}=-2\).
Aufgabe 2 — Ebbe und Flut
22 BEModellieren mit einer Funktion dritten Grades · Taschenrechner und Formelsammlung erlaubt
Im Hafen einer Nordseeinsel wird der Wasserstand relativ zum mittleren Wasserstand gemessen. Für einen Gezeitenzyklus von zwölf Stunden wird der Wasserstand durch die Funktion \(W\) mit $$W(t)=0{,}02\,t^{3}-0{,}36\,t^{2}+1{,}44\,t,\qquad 0\le t\le 12,$$ modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden nach Beginn der Messung um \(0\) Uhr und \(W(t)\) der Wasserstand in Metern; positive Werte bedeuten Wasser über dem mittleren Wasserstand.
- 3 BEZeigen Sie, dass \(W(t)=0{,}02\,t\,(t-6)\,(t-12)\) gilt, und geben Sie Grad und Leitkoeffizienten von \(W\) an.
- 4 BEBestimmen Sie alle Zeitpunkte, zu denen der Wasserstand genau dem mittleren Wasserstand entspricht, und deuten Sie mit Hilfe der Vielfachheiten, ob das Wasser dort jeweils steigt oder fällt.
- 3 BEBerechnen Sie den Wasserstand um \(3\) Uhr und um \(9\) Uhr und deuten Sie die beiden Werte im Sachzusammenhang.
- 4 BEWeisen Sie nach, dass der Graph von \(W\) punktsymmetrisch zum Punkt \(Z(6\,|\,0)\) ist.
- 3 BEBeschreiben Sie das Globalverhalten von \(W\) und begründen Sie damit, warum die Funktion außerhalb des Intervalls \([0\,;\,12]\) als Modell ungeeignet ist.
- 5 BEEin Pegelsensor löst Alarm aus, solange der Wasserstand mindestens \(1{,}60\,\mathrm{m}\) über dem mittleren Wasserstand liegt. Bestimmen Sie rechnerisch, in welchem Zeitraum der Alarm aktiv ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 3 BE
Ausmultiplizieren der Produktform: \((t-6)(t-12)=t^{2}-18t+72\), also \(0{,}02\,t\left(t^{2}-18t+72\right)=0{,}02\,t^{3}-0{,}36\,t^{2}+1{,}44\,t=W(t)\).
Grad \(n=3\), Leitkoeffizient \(a_{3}=0{,}02\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 4 BE
Mittlerer Wasserstand bedeutet \(W(t)=0\). Aus der Produktform folgt mit dem Satz vom Nullprodukt: \(t_{1}=0\), \(t_{2}=6\), \(t_{3}=12\) — also um \(0\) Uhr, \(6\) Uhr und \(12\) Uhr.
Alle drei Nullstellen sind einfach (ungerade Vielfachheit) \(\Rightarrow\) an jeder Stelle wechselt das Vorzeichen: Das Wasser durchläuft den mittleren Wasserstand, es berührt ihn nicht nur.
Wegen \(a_{3}>0\) verläuft der Graph für kleine \(t\) von unten nach oben: Um \(0\) Uhr steigt das Wasser, um \(6\) Uhr fällt es (Vorzeichenwechsel von + nach −), um \(12\) Uhr steigt es wieder.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) 3 BE
\(W(3)=0{,}02\cdot3\cdot(-3)\cdot(-9)=1{,}62\) und \(W(9)=0{,}02\cdot9\cdot3\cdot(-3)=-1{,}62\).
Um \(3\) Uhr liegt das Wasser \(1{,}62\,\mathrm{m}\) über, um \(9\) Uhr \(1{,}62\,\mathrm{m}\) unter dem mittleren Wasserstand — das entspricht Hochwasser und Niedrigwasser; der Tidenhub beträgt \(3{,}24\,\mathrm{m}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) 4 BE
Verschiebt man den Graphen um \(6\) nach links, muss die neue Funktion \(v\) mit \(v(t)=W(t+6)\) punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
\(v(t)=0{,}02\,(t+6)\,t\,(t-6)=0{,}02\,t\left(t^{2}-36\right)=0{,}02\,t^{3}-0{,}72\,t\).
\(v\) enthält nur ungerade Exponenten, also \(v(-t)=-v(t)\). Damit ist der Graph von \(v\) punktsymmetrisch zum Ursprung und der Graph von \(W\) punktsymmetrisch zu \(Z(6\,|\,0)\). (Gleichwertig: Nachweis von \(W(6-h)=-W(6+h)\) für alle \(h\).)
Erwartungshorizont zu Aufgabe e) 3 BE
Grad \(3\) ungerade, Leitkoeffizient positiv: \(\lim\limits_{t\to-\infty}W(t)=-\infty\) und \(\lim\limits_{t\to\infty}W(t)=\infty\).
Für \(t>12\) würde der Wasserstand unbegrenzt weiter steigen, für \(t<0\) unbegrenzt fallen — ein Gezeitenverlauf ist aber periodisch und bleibt zwischen Hoch- und Niedrigwasser beschränkt. Das Modell gilt nur für einen Zyklus \([0\,;\,12]\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe f) 5 BE
Ansatz: \(W(t)=1{,}6\) \(\Leftrightarrow\) \(0{,}02\,t^{3}-0{,}36\,t^{2}+1{,}44\,t-1{,}6=0\) \(\;|\;:0{,}02\) \(\Leftrightarrow\) \(t^{3}-18\,t^{2}+72\,t-80=0\).
Probieren liefert \(t=2\): \(8-72+144-80=0\) ✓. Polynomdivision: \(\left(t^{3}-18t^{2}+72t-80\right):(t-2)=t^{2}-16t+40\).
\(t^{2}-16t+40=0\) \(\Rightarrow\) \(t=8\pm\sqrt{64-40}=8\pm\sqrt{24}\), also \(t\approx3{,}10\) oder \(t\approx12{,}90\) (außerhalb des Intervalls).
Zwischen \(t=2\) und \(t\approx3{,}10\) liegt das Hochwasser (\(W(3)=1{,}62>1{,}6\)), dort ist \(W(t)\ge1{,}6\). Der Alarm ist also von \(2\) Uhr bis etwa \(3{:}06\) Uhr aktiv — rund \(66\) Minuten lang.
Aufgabe 3 — Höhenprofil einer Mountainbike-Strecke
22 BEVom Graphen zum Term, Funktionenschar und Argumentieren · Taschenrechner und Formelsammlung erlaubt
Für eine neue Mountainbike-Strecke wird das Höhenprofil eines Geländeabschnitts vermessen. Die Höhe über dem Niveau des Startplatzes wird durch eine ganzrationale Funktion \(h\) beschrieben; \(x\) ist die horizontale Entfernung in \(100\,\mathrm{m}\), \(h(x)\) die Höhe in Metern. Das Material zeigt den Graphen von \(h\). Der Graph verläuft durch den Punkt \(P(-2\,|\,-2)\).
- 4 BEBegründen Sie anhand des Graphen, dass \(h\) mindestens den Grad \(4\) haben muss, und geben Sie einen passenden Ansatz für \(h(x)\) in Linearfaktorform mit einem noch unbekannten Faktor \(a\) an.
- 3 BEBestimmen Sie den Wert von \(a\) und damit den Funktionsterm von \(h\).
- 3 BEBerechnen Sie die Höhe des Geländes an der Stelle \(x=2\) und deuten Sie das Vorzeichen des Ergebnisses.
- 3 BEUntersuchen Sie \(h\) rechnerisch auf Symmetrie. Verwenden Sie dazu die Standardform \(h(x)=0{,}2\,x^{4}+0{,}6\,x^{3}-1{,}8\,x^{2}-4{,}6\,x-2{,}4\).
- 4 BEDie Planer variieren den östlichen Streckenrand und betrachten die Funktionenschar \(g_{k}\) mit \(g_{k}(x)=0{,}2\,(x+4)\,(x+1)^{2}\,(x-k)\), \(k\in\mathbb R\). Bestimmen Sie alle Werte von \(k\), für die \(g_{k}\) genau zwei verschiedene Nullstellen besitzt, und beschreiben Sie für diese Fälle das Verhalten des Graphen an den Nullstellen.
- 5 BEBeurteilen Sie die folgenden drei Aussagen. Begründen Sie jeweils oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
(1) Jede ganzrationale Funktion vierten Grades mit positivem Leitkoeffizienten hat mindestens eine Nullstelle.
(2) Jede ganzrationale Funktion fünften Grades hat mindestens eine und höchstens fünf Nullstellen.
(3) Ist der Graph einer ganzrationalen Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung, so ist \(x=0\) eine Nullstelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 4 BE
Der Graph hat die Nullstellen \(x=-4\) und \(x=3\) (Schnittstellen, Vorzeichenwechsel) sowie \(x=-1\) (Berührstelle, kein Vorzeichenwechsel).
Eine Berührstelle hat mindestens die Vielfachheit \(2\). Zählt man die Vielfachheiten, ergibt sich \(1+2+1=4\); da eine Funktion vom Grad \(n\) höchstens \(n\) Nullstellen mit Vielfachheit besitzt, ist \(n\ge4\). Zusätzlich passt das Globalverhalten (beide Äste nach oben) zu einem geraden Grad.
Ansatz: \(h(x)=a\,(x+4)\,(x+1)^{2}\,(x-3)\) mit \(a>0\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 3 BE
Punktprobe mit \(P(-2\,|\,-2)\): \(h(-2)=a\cdot(-2+4)\cdot(-2+1)^{2}\cdot(-2-3)=a\cdot2\cdot1\cdot(-5)=-10a\).
\(-10a=-2\) \(\Rightarrow\) \(a=0{,}2\). Also \(h(x)=0{,}2\,(x+4)\,(x+1)^{2}\,(x-3)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) 3 BE
\(h(2)=0{,}2\cdot6\cdot9\cdot(-1)=-10{,}8\).
\(200\,\mathrm{m}\) östlich des Startplatzes liegt das Gelände \(10{,}8\,\mathrm{m}\) unterhalb des Startniveaus — das negative Vorzeichen bedeutet eine Senke.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) 3 BE
In der Standardform treten gerade Exponenten (\(x^{4}\), \(x^{2}\), \(x^{0}\)) und ungerade Exponenten (\(x^{3}\), \(x^{1}\)) auf.
Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse erfordert ausschließlich gerade, Punktsymmetrie zum Ursprung ausschließlich ungerade Exponenten. Beides ist verletzt, z.\,B. \(h(1)=-8\), \(h(-1)=0\): weder \(h(-1)=h(1)\) noch \(h(-1)=-h(1)\). Der Graph von \(h\) ist also weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe e) 4 BE
Die Nullstellen von \(g_{k}\) sind \(-4\), \(-1\) und \(k\). Genau zwei verschiedene Nullstellen entstehen, wenn \(k\) mit einer der beiden festen Nullstellen zusammenfällt: \(k=-4\) oder \(k=-1\).
\(k=-4\): \(g_{-4}(x)=0{,}2\,(x+4)^{2}(x+1)^{2}\) — beide Nullstellen doppelt, der Graph berührt die \(x\)-Achse an beiden Stellen und bleibt oberhalb der Achse.
\(k=-1\): \(g_{-1}(x)=0{,}2\,(x+4)\,(x+1)^{3}\) — bei \(-4\) einfache Nullstelle (Schnittstelle), bei \(-1\) dreifache Nullstelle: Der Graph schneidet die Achse dort mit Vorzeichenwechsel, verläuft aber sattelartig flach durch die Nullstelle. Für alle anderen \(k\) gibt es drei verschiedene Nullstellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe f) 5 BE
(1) Falsch. Gegenbeispiel: \(f(x)=x^{4}+1\). Wegen \(x^{4}\ge0\) ist \(f(x)\ge1>0\) für alle \(x\), also gibt es keine Nullstelle. Ein gerader Grad garantiert keine Nullstelle.
(2) Wahr. Wegen des ungeraden Grades laufen die Äste in verschiedene Richtungen (\(-\infty\) und \(+\infty\)); da der Graph keine Sprünge hat, muss er die \(x\)-Achse mindestens einmal schneiden. Nach dem Nullstellensatz hat eine Funktion vom Grad \(5\) höchstens fünf Nullstellen.
(3) Wahr. Punktsymmetrie bedeutet \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\). Für \(x=0\) folgt \(f(0)=-f(0)\), also \(2f(0)=0\) und damit \(f(0)=0\). (Alternativ: Nur ungerade Exponenten, also kein Absolutglied.)
Auswertung
Trage in jedem Erwartungshorizont deine Punkte ein — hier siehst du live dein Ergebnis nach dem Notenschlüssel der gymnasialen Oberstufe.
Notenschlüssel (Prozent → Notenpunkte)
| ab % | 95 | 90 | 85 | 80 | 75 | 70 | 65 | 60 | 55 | 50 | 45 | 40 | 33 | 27 | 20 | <20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| NP | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Bewertet wird nicht nur das Ergebnis: Ansatz, nachvollziehbarer Rechenweg, korrekte Fachsprache und Antwortsätze im Sachzusammenhang zählen mit. Prüfe dich also ehrlich gegen den Erwartungshorizont.