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Begriff, Grad und Koeffizienten Frage 1–6
1 Welcher der vier Terme gehört zu einer ganzrationalen Funktion?
\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}+x\)Die Variable steht im Nenner — das ist gebrochenrational.
\(f(x)=3x^{4}-2x+1\)Richtig — nur natürliche Exponenten an der Variablen.
\(f(x)=\sqrt{x}+2\)\(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) — der Exponent ist keine natürliche Zahl.
\(f(x)=2^{x}\)Hier steht die Variable im Exponenten: Exponentialfunktion.
2 Welchen Grad hat \(f(x)=5-2x^{3}+x^{4}\)?
3Das ist nur der Exponent des zweiten Summanden.
4Richtig — der größte vorkommende Exponent zählt.
5Die 5 ist das Absolutglied, kein Exponent.
2Ein Exponent 2 kommt gar nicht vor.
3 Wie groß ist der Leitkoeffizient von \(f(x)=7-x^{5}\)?
\(7\)Die 7 ist das Absolutglied.
\(1\)Das Vorzeichen gehört zum Koeffizienten dazu.
\(-1\)Richtig — \(f(x)=-x^{5}+7\), also \(a_{5}=-1\).
\(5\)Die 5 ist der Exponent, nicht der Koeffizient.
4 Wie groß ist das Absolutglied von \(f(x)=x^{3}-4x\)?
\(-4\)\(-4\) ist der Koeffizient \(a_{1}\) vor \(x\).
\(0\)Richtig — es gibt keinen konstanten Summanden, also \(a_{0}=0\) und \(f(0)=0\).
\(1\)\(1\) ist der Leitkoeffizient \(a_{3}\).
\(3\)Die 3 ist der Grad.
5 Welchen Grad hat \(f(x)=x^{2}\,(x-3)\)?
2Erst ausmultiplizieren, dann urteilen.
3Richtig — \(x^{2}(x-3)=x^{3}-3x^{2}\).
1Die Klammer allein hat Grad 1, das Produkt aber nicht.
6Beim Multiplizieren werden Exponenten addiert, nicht multipliziert.
6 Welche Aussage über das Absolutglied \(a_{0}\) ist richtig?
Es ist immer positiv.Es kann jedes Vorzeichen haben — oder null sein.
Es gibt den Grad an.Der Grad ist der größte Exponent.
Es ist der Funktionswert an der Stelle 0.Richtig — alle anderen Summanden enthalten \(x\) und werden für \(x=0\) null.
Es ist immer der letzte Summand im Term.Nur in der geordneten Schreibweise — und auch dann kann es fehlen.
7 Was bedeutet die Bedingung \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\)?
Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.Richtig — Spiegeln an der \(y\)-Achse ändert nichts.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.Dafür müsste \(f(-x)=-f(x)\) gelten.
Die Funktion hat nur ungerade Exponenten.Umgekehrt: nur gerade Exponenten.
Die Funktion ist konstant.\(f(x)=x^{2}\) erfüllt die Bedingung und ist nicht konstant.
8 Welche Symmetrie hat der Graph von \(f(x)=x^{4}-x^{2}+7\)?
punktsymmetrisch zum UrsprungDafür dürften nur ungerade Exponenten vorkommen.
achsensymmetrisch zur \(y\)-AchseRichtig — die Exponenten 4, 2 und 0 sind alle gerade.
beide SymmetrienBeides zugleich gilt nur für \(f(x)=0\).
keine der beidenDas Absolutglied stört hier nicht: \(7=7x^{0}\) hat den geraden Exponenten 0.
9 Welche Symmetrie hat der Graph von \(f(x)=x^{5}-2x^{3}\)?
achsensymmetrisch zur \(y\)-AchseDafür dürften nur gerade Exponenten vorkommen.
punktsymmetrisch zum UrsprungRichtig — die Exponenten 5 und 3 sind beide ungerade.
keine der beidenAlle Exponenten sind ungerade, also liegt Punktsymmetrie vor.
achsensymmetrisch zur \(x\)-AchseDas wäre gar kein Funktionsgraph mehr.
10 Welche Symmetrie hat der Graph von \(f(x)=x^{3}+1\)?
punktsymmetrisch zum UrsprungDas Absolutglied 1 hat den geraden Exponenten 0 und zerstört sie.
achsensymmetrisch zur \(y\)-AchseDafür dürfte \(x^{3}\) nicht vorkommen.
keine der beidenRichtig — gerade und ungerade Exponenten gemischt.
beideSchon eine der beiden liegt nicht vor.
11 Wie lautet \((-x)^{3}\)?
\(x^{3}\)Nur gerade Potenzen schlucken das Minuszeichen.
\(-x^{3}\)Richtig — ungerade Potenzen behalten das Vorzeichen.
\(-3x\)Hier werden Exponent und Faktor verwechselt.
\(3x\)Der Exponent ist kein Faktor.
12 Welcher Punkt liegt sicher auf dem Graphen jeder punktsymmetrischen Funktion?
\((1\mid 1)\)Das hängt von der Funktion ab.
\((0\mid 0)\)Richtig — aus \(f(0)=-f(0)\) folgt \(f(0)=0\).
\((0\mid 1)\)Ein Absolutglied ungleich null schließt Punktsymmetrie gerade aus.
\((-1\mid 1)\)Nicht allgemein — das gilt nur für einzelne Funktionen.
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Globalverhalten Frage 13–17
13 Wovon hängt das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion ab?
von allen KoeffizientenDie übrigen Koeffizienten verschieben nur, ab wann der Leitterm dominiert.
nur vom GradDer Grad allein legt nur fest, ob die Enden gleich oder entgegengesetzt laufen.
vom Grad und vom LeitkoeffizientenRichtig — zwei Fragen genügen.
von den NullstellenDie Nullstellen spielen weit draußen keine Rolle.
14 Wohin strebt \(f(x)=-2x^{4}+5x^{3}-x\) für \(x\to+\infty\)?
\(+\infty\)Der Leitkoeffizient ist negativ.
\(-\infty\)Richtig — der Leitterm \(-2x^{4}\) wird beliebig klein.
gegen 0Ganzrationale Funktionen mit Grad ≥ 1 haben keinen endlichen Grenzwert.
gegen \(-2\)Der Leitkoeffizient ist kein Grenzwert.
15 Wohin strebt \(f(x)=x^{3}-100x^{2}\) für \(x\to+\infty\)?
\(-\infty\), weil \(100x^{2}\) größer istFür sehr große \(x\) überholt \(x^{3}\) jeden quadratischen Summanden.
\(+\infty\)Richtig — der Leitterm \(x^{3}\) gewinnt, egal wie groß der andere Koeffizient ist.
gegen 0Das wäre nur bei gebrochenrationalen Funktionen denkbar.
gegen \(-100\)Koeffizienten sind keine Grenzwerte.
16 Eine Funktion hat ungeraden Grad und \(a_{n}>0\). Wohin läuft das linke Ende?
nach obenDas gilt für das rechte Ende.
nach untenRichtig — bei ungeradem Grad laufen die Enden entgegengesetzt.
waagerechtWaagerechte Enden gibt es hier nicht.
Das lässt sich nicht entscheiden.Grad und Leitkoeffizient reichen dafür aus.
17 Welcher Teil des Terms bestimmt das Globalverhalten?
das Absolutglied \(a_{0}\)Es verschiebt den Graphen nur nach oben oder unten.
der Leitterm \(a_{n}x^{n}\)Richtig — alle übrigen Summanden verlieren weit draußen an Bedeutung.
der Summand mit dem größten KoeffizientenNicht der Koeffizient entscheidet, sondern der Exponent.
der lineare Summand \(a_{1}x\)Er wächst am langsamsten von allen.
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Nullstellen, Vielfachheit und Anzahl Frage 18–24
18 Wie lauten die Nullstellen von \(f(x)=x^{2}-9\)?
\(x=9\)Erst die Wurzel ziehen.
\(x=3\) und \(x=-3\)Richtig — \(x^{2}=9\) hat zwei Lösungen.
nur \(x=3\)Die negative Lösung fehlt.
keine\(x^{2}=9\) ist lösbar.
19 Was ist der sinnvollste erste Schritt bei \(3x^{2}+6x=0\)?
durch \(x\) teilenDabei geht die Lösung \(x=0\) verloren.
\(3x\) ausklammernRichtig — dann liefert der Satz vom Nullprodukt beide Lösungen.
pq-Formel ohne UmformungDie Gleichung ist nicht normiert.
substituieren mit \(z=x^{2}\)Substitution lohnt erst bei rein biquadratischen Gleichungen.
20 Für welche Gleichungsform gilt die pq-Formel?
\(ax^{2}+bx+c=0\)Erst durch \(a\) teilen.
\(x^{2}+px+q=0\)Richtig — die Normalform mit Leitkoeffizient 1.
für jede quadratische Gleichung ohne UmformungNur nach dem Normieren.
\(x^{3}+px+q=0\)Die pq-Formel ist für den Grad 2 gemacht.
21 Was bedeutet \(D=\left(\tfrac{p}{2}\right)^{2}-q<0\)?
zwei NullstellenDas gilt für \(D>0\).
genau eine NullstelleDas gilt für \(D=0\).
keine reelle NullstelleRichtig — aus einer negativen Zahl lässt sich keine reelle Wurzel ziehen.
unendlich viele NullstellenDas kommt bei quadratischen Gleichungen nicht vor.
22 Bei der Substitution \(z=x^{2}\) ergibt sich \(z=-4\). Was folgt daraus?
\(x=-2\)\((-2)^{2}=4\), nicht \(-4\).
\(x=\pm 2\)Das wären die Lösungen von \(x^{2}=4\).
Der Wert wird ersatzlos verworfen.Richtig — \(x^{2}=-4\) hat keine reelle Lösung.
\(x=-4\)Die Rücksubstitution verlangt das Wurzelziehen.
23 Was passiert bei \(f(x)=(x-2)^{3}(x+1)\) an der Stelle \(x=2\)?
Der Graph berührt die \(x\)-Achse.Berühren gehört zu gerader Vielfachheit.
Der Graph schneidet die \(x\)-Achse.Richtig — die Vielfachheit 3 ist ungerade, es gibt einen Vorzeichenwechsel.
Der Graph hat dort eine Lücke.Ganzrationale Funktionen sind überall definiert.
Der Graph hat dort drei Nullstellen.Es ist eine Stelle — dreifach gezählt.
24 Wie viele Nullstellen kann eine ganzrationale Funktion vierten Grades höchstens haben?
2Der Grad erlaubt mehr.
3Die Obergrenze ist der Grad selbst.
4Richtig — höchstens so viele wie der Grad angibt.
beliebig vieleNur die Nullfunktion hat unendlich viele Nullstellen.
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