Aufgabenblock — AFB I
AFB IZehn gemischte Aufgaben quer durch das ganze Kapitel 4 — von der Definition über Symmetrie und Globalverhalten bis zu den Nullstellen. Auf dieser Stufe geht es ums Reproduzieren: Begriff kennen, Regel anwenden, sauber rechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf sind Textaufgaben im Klausurformat mit Hinweisen und Erwartungshorizont.
Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie zutrifft. Nach jeder Antwort erscheint eine kurze Begründung.
Gegeben sind \(f(x)=4-x^{3}+2x^{2}\), \(g(x)=5x^{2}-3x^{5}+x-8\) und \(h(x)=\sqrt{x}+x^{2}\).
- Geben Sie für \(f\) den Grad, den Leitkoeffizienten und das Absolutglied an.
- Bestimmen Sie für \(g\) alle Koeffizienten \(a_{5}\) bis \(a_{0}\).
- Begründen Sie, ob \(h\) ganzrational ist.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Sortiert lautet der Term \(f(x)=-x^{3}+2x^{2}+4\).
Grad: \(n=3\) — der größte Exponent.
Leitkoeffizient: \(a_{3}=-1\) — das Minuszeichen gehört dazu.
Absolutglied: \(a_{0}=4\), zugleich \(f(0)=4\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Sortiert: \(g(x)=-3x^{5}+0x^{4}+0x^{3}+5x^{2}+1x-8\).
\(a_{5}=-3\), \(a_{4}=0\), \(a_{3}=0\), \(a_{2}=5\), \(a_{1}=1\), \(a_{0}=-8\).
Der Grad ist 5, obwohl zwei Koeffizienten null sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(h(x)=\sqrt{x}+x^{2}=x^{\frac12}+x^{2}\).
Der Exponent \(\tfrac12\) ist keine natürliche Zahl. Damit ist \(h\) nicht ganzrational, sondern eine Wurzelfunktion mit einem quadratischen Anteil.
Bestimmen Sie für jede Funktion Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied. Dezimalzahlen mit Komma, negative Zahlen mit Minuszeichen.
| \(f(x)\) | Grad \(n\) | Leitkoeffizient \(a_{n}\) | Absolutglied \(a_{0}\) |
|---|---|---|---|
| \(3x^{4}-2x+7\) | |||
| \(-x^{3}+5x^{2}\) | |||
| \(6-2x\) | |||
| \(\tfrac{1}{2}x^{5}-4x^{3}+x-1\) | |||
| \(x^{2}\,(x-3)\) |
Gegeben sind \(f(x)=x^{4}-3x^{2}+1\), \(g(x)=2x^{5}-x^{3}\), \(h(x)=x^{3}+x^{2}\) und \(k(x)=2x^{5}-x^{3}+4\).
- Entscheiden Sie für jede der vier Funktionen anhand der Exponenten, welche Symmetrie vorliegt.
- Zeigen Sie die Symmetrie von \(f\) rechnerisch mit \(f(-x)\).
- Erläutern Sie, warum \(k\) nicht punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f\): Exponenten 4, 2 und 0 — alle gerade → achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
\(g\): Exponenten 5 und 3 — alle ungerade → punktsymmetrisch zum Ursprung.
\(h\): Exponenten 3 und 2 — gemischt → keine der beiden Symmetrien.
\(k\): 5 und 3 sind ungerade, aber die 4 ist \(4x^{0}\) mit dem geraden Exponenten 0 → keine Symmetrie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(-x)=(-x)^{4}-3\,(-x)^{2}+1\)
\((-x)^{4}=x^{4}\) und \((-x)^{2}=x^{2}\), also \(f(-x)=x^{4}-3x^{2}+1=f(x)\).
Damit ist die Bedingung \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\) erfüllt: Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(k(-x)=-2x^{5}+x^{3}+4\) und \(-k(x)=-2x^{5}+x^{3}-4\).
Die beiden Terme unterscheiden sich im Absolutglied, also gilt \(k(-x)\neq -k(x)\).
Gegenbeispiel: \(k(1)=5\), \(k(-1)=3\), aber \(-k(1)=-5\). Das Absolutglied verschiebt den Graphen nach oben, und dabei geht die Drehsymmetrie um den Ursprung verloren.
Jede Funktion zeigt weit draußen einen von vier Verläufen. Ordnen Sie die Terme dem passenden Globalverhalten zu.
Gegeben sind \(f(x)=-2x^{4}+5x^{3}-x\), \(g(x)=x^{5}-4x^{2}\) und \(h(x)=-x^{3}+2x^{2}-7\).
- Geben Sie zu jeder Funktion den Leitterm an.
- Bestimmen Sie das Globalverhalten und notieren Sie es in Grenzwertschreibweise.
- Erläutern Sie, warum die übrigen Summanden für das Globalverhalten keine Rolle spielen.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Leitterm von \(f\): \(-2x^{4}\) · von \(g\): \(x^{5}\) · von \(h\): \(-x^{3}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f\): gerader Grad, \(a_{4}=-2<0\) → \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).
\(g\): ungerader Grad, \(a_{5}=1>0\) → \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).
\(h\): ungerader Grad, \(a_{3}=-1<0\) → \(\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty\) und \(\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Klammert man den Leitterm aus, entsteht \(f(x)=a_{n}x^{n}\left(1+\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}x}+\dots+\dfrac{a_{0}}{a_{n}x^{n}}\right)\).
Jeder Bruch in der Klammer hat eine feste Zahl im Zähler und eine Potenz von \(x\) im Nenner. Für \(|x|\to\infty\) geht deshalb jeder Bruch gegen 0 und die Klammer gegen 1. Übrig bleibt \(a_{n}x^{n}\).
Die übrigen Summanden verschieben nur, ab wann der Leitterm dominiert — nicht, wohin es geht.
Manche Terme sehen zuerst nicht ganzrational aus. Markieren Sie alle Funktionen, die sich als ganzrational entpuppen.
Gegeben sind \(f(x)=x^{3}-9x\), \(g(x)=2x^{4}-8x^{2}\) und \(h(x)=x^{3}+4x^{2}\).
- Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\).
- Berechnen Sie die Nullstellen von \(g\).
- Bestimmen Sie die Nullstellen von \(h\) und geben Sie zu jeder die Vielfachheit an.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(x)=x^{3}-9x=x\left(x^{2}-9\right)=x\,(x-3)(x+3)\)
Satz vom Nullprodukt: \(x=0\) oder \(x-3=0\) oder \(x+3=0\).
\(x_{1}=0\), \(x_{2}=3\), \(x_{3}=-3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(g(x)=2x^{4}-8x^{2}=2x^{2}\left(x^{2}-4\right)=2x^{2}(x-2)(x+2)\)
\(x_{1}=0\) (doppelt, da \(x^{2}\) ausgeklammert wurde), \(x_{2}=2\), \(x_{3}=-2\).
Der Zahlfaktor 2 wird nie null und liefert daher keine Nullstelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(h(x)=x^{3}+4x^{2}=x^{2}(x+4)\)
\(x_{1}=0\) mit der Vielfachheit \(k=2\), \(x_{2}=-4\) mit der Vielfachheit \(k=1\).
Die Summe der Vielfachheiten ist \(2+1=3\) und stimmt mit dem Grad überein.
In der Produktdarstellung stehen die Nullstellen offen da. Verbinden Sie jede Funktion mit ihrer Nullstellenmenge.
Gegeben ist \(f(x)=0{,}5\,(x+2)^{2}(x-1)(x-4)^{3}\).
- Geben Sie alle Nullstellen mit ihrer Vielfachheit an.
- Entscheiden Sie für jede Nullstelle, ob der Graph die \(x\)-Achse schneidet oder berührt.
- Bestimmen Sie den Grad von \(f\) sowie \(f(0)\).
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(x_{1}=-2\) mit \(k=2\), \(x_{2}=1\) mit \(k=1\), \(x_{3}=4\) mit \(k=3\).
Achtung beim Vorzeichen: Aus \((x+2)^{2}\) folgt die Nullstelle \(-2\), nicht \(+2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(x=-2\): \(k=2\) ist gerade → der Graph berührt die \(x\)-Achse, kein Vorzeichenwechsel.
\(x=1\): \(k=1\) ist ungerade → der Graph schneidet die Achse.
\(x=4\): \(k=3\) ist ungerade → der Graph schneidet ebenfalls, verläuft dabei aber sehr flach (Sattelpunkt auf der Achse).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Grad: \(2+1+3=6\).
\(f(0)=0{,}5\cdot(0+2)^{2}\cdot(0-1)\cdot(0-4)^{3}=0{,}5\cdot 4\cdot(-1)\cdot(-64)\)
\(=2\cdot(-1)\cdot(-64)=128\)
Der Graph schneidet die \(y\)-Achse also bei \(y=128\).