Kapitel 4Zurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel, Übungen und Textaufgaben zu ganzrationalen Funktionen.
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Diese Fehler stehen jedes Jahr in den Klausuren — fast immer, weil eine Regel ein Stück zu weit verallgemeinert wurde. Lies die falsche Aussage, überlege selbst, warum sie nicht stimmt, und klappe erst dann die Richtigstellung auf. Jede aufgedeckte Karte zählt in der Fortschrittsleiste mit.
1
Begriff, Grad und Koeffizienten
Was schon beim Ablesen schiefgeht
1„Der Grad ist der Exponent, der vorne steht.“
Bei \(f(x)=4-x^{3}+2x^{2}\) sei der Grad 0, weil vorne die Zahl 4 steht.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Der Grad ist der größte vorkommende Exponent — unabhängig von der Reihenfolge der Summanden. Sortiert man um zu \(f(x)=-x^{3}+2x^{2}+4\), liest man sofort ab: Grad 3, Leitkoeffizient \(-1\), Absolutglied 4.
Merksatz: Erst nach fallenden Exponenten ordnen, dann ablesen.
2„\(x\) im Nenner ist doch auch nur eine Potenz.“
\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}\) sei ganzrational, weil man es als Potenz schreiben kann.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Ganzrational heißt: nur natürliche Exponenten an der Variablen. \(-2\) ist keine natürliche Zahl, also ist \(f\) gebrochenrational. Dasselbe gilt für \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) und für \(2^{x}\), wo die Variable sogar im Exponenten steht.
Merksatz: Variable in der Basis, Exponent aus \(\mathbb{N}\) — sonst nicht ganzrational.
3„Fehlende Potenzen ändern den Grad.“
Bei \(f(x)=x^{5}-x^{2}+2\) sei der Grad nicht 5, weil \(x^{4}\), \(x^{3}\) und \(x^{1}\) fehlen.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Fehlende Potenzen bedeuten nur \(a_{4}=a_{3}=a_{1}=0\). Der Grad richtet sich allein nach der höchsten Potenz mit einem Koeffizienten ungleich null — hier bleibt er 5.
4„Der Leitkoeffizient ist die Zahl ohne Vorzeichen.“
Bei \(f(x)=-x^{3}+2x^{2}\) sei \(a_{3}=1\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Das Vorzeichen gehört zum Koeffizienten: \(a_{3}=-1\). Dieser Fehler kostet doppelt, denn das Vorzeichen von \(a_{n}\) entscheidet über das gesamte Globalverhalten.
2
Symmetrie
Wo Klammern und Absolutglieder Fallen stellen
5„\(f(-x)\) bedeutet: Minus vor die ganze Funktion.“
\(f(-x)\) sei dasselbe wie \(-f(x)\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
\(f(-x)\) heißt: \(-x\) in den Term einsetzen. \(-f(x)\) heißt: den fertigen Term mit \(-1\) multiplizieren. Ob beides übereinstimmt, ist genau die Frage, die man untersucht — nicht die Voraussetzung.
Merksatz: \(f(-x)=f(x)\) → achsensymmetrisch. \(f(-x)=-f(x)\) → punktsymmetrisch.
6„\((-x)^{4}=-x^{4}\)“
Beim Einsetzen wird das Minuszeichen einfach nach vorn gezogen.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Ohne Klammer geht das schief. Richtig ist \((-x)^{4}=x^{4}\) und \((-x)^{3}=-x^{3}\): Gerade Potenzen schlucken das Minus, ungerade behalten es. Genau darauf beruht das ganze Symmetriekriterium.
7„Ein Absolutglied stört die Symmetrie nicht.“
\(f(x)=x^{3}+5\) sei punktsymmetrisch zum Ursprung, weil \(x^{3}\) es ist.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Das Absolutglied ist \(a_{0}\cdot x^{0}\) und hat damit den geraden Exponenten 0. In einer Summe aus lauter ungeraden Exponenten ist es ein Fremdkörper und zerstört die Punktsymmetrie sofort. Probe: \(f(1)=6\), \(f(-1)=4\), aber \(-f(1)=-6\).
Merksatz: Punktsymmetrische Funktionen gehen immer durch den Ursprung: \(f(0)=0\).
8„Gemischte Exponenten heißen: irgendeine Symmetrie wird es schon geben.“
\(f(x)=x^{3}+x^{2}\) sei wenigstens zu irgendeiner Achse symmetrisch.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Kommen gerade und ungerade Exponenten vor, liegt keine der beiden Symmetrien vor. Andere Symmetrien — etwa zu einer verschobenen Achse — erfasst das Kriterium ohnehin nicht; es macht nur Aussagen über die \(y\)-Achse und den Ursprung.
3
Globalverhalten
Der Leitterm und nichts anderes
9„Der größte Koeffizient gewinnt.“
Bei \(f(x)=x^{3}+1000x^{2}\) bestimme der Summand \(1000x^{2}\) das Verhalten für große \(|x|\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Der Leitterm gewinnt immer, hier also \(x^{3}\). Ein großer Koeffizient verschiebt nur, ab wann der Leitterm dominiert — bei \(x=2000\) ist \(x^{3}\) bereits doppelt so groß wie \(1000x^{2}\). An der Richtung ändert er nichts.
10„Gerader Grad heißt: beide Enden nach oben.“
\(f(x)=-3x^{4}+x^{2}\) laufe an beiden Enden nach oben, weil der Grad gerade ist.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Gerader Grad heißt nur: beide Enden zeigen in dieselbe Richtung. Welche das ist, entscheidet der Leitkoeffizient. Wegen \(a_{4}=-3<0\) zeigen hier beide Enden nach unten.
Merksatz: Zwei Fragen genügen: Grad gerade oder ungerade? \(a_{n}\) positiv oder negativ?
11„Links passiert dasselbe wie rechts.“
Wenn \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) gilt, dann auch für \(x\to-\infty\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Das gilt nur bei geradem Grad. Bei ungeradem Grad laufen die Enden entgegengesetzt: \(x^{3}\) geht rechts nach \(+\infty\) und links nach \(-\infty\). Das rechte Ende hängt allein am Vorzeichen von \(a_{n}\), das linke zusätzlich an der Parität des Grades.
4
Nullstellen berechnen
Normieren, ausklammern, substituieren
12„Die pq-Formel geht immer sofort.“
Aus \(2x^{2}-10x+12=0\) folge \(p=-10\) und \(q=12\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Die pq-Formel gilt nur für die Normalform \(x^{2}+px+q=0\). Erst dividieren: \(|:2\) ergibt \(x^{2}-5x+6=0\), also \(p=-5\) und \(q=6\) — und damit \(x_{1}=3\), \(x_{2}=2\).
Merksatz: Der erste Blick gehört immer dem Faktor vor \(x^{2}\).
13„Beim Normieren reicht der erste Summand.“
Aus \(3x^{2}+6x-24=0\) werde \(x^{2}+6x-24=0\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Geteilt wird die ganze Gleichung, also jeder Summand einzeln: \(x^{2}+2x-8=0\). Daraus folgt \(x_{1}=2\), \(x_{2}=-4\). Die Probe entlarvt den Fehler sofort.
14„Nach dem Ausklammern darf man durch \(x\) teilen.“
Aus \(x^{3}-9x=0\) folge \(x\left(x^{2}-9\right)=0\), also nach Division durch \(x\): \(x=\pm 3\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Beim Dividieren durch \(x\) geht die Lösung \(x=0\) verloren — und man teilt außerdem möglicherweise durch null. Richtig ist der Satz vom Nullprodukt: Jeder Faktor wird einzeln null gesetzt. Damit ist \(\mathbb{L}=\{-3;\,0;\,3\}\).
Merksatz: Ausklammern statt kürzen — sonst verschwindet die Null.
15„Die \(z\)-Werte sind schon die Nullstellen.“
Bei \(x^{4}-13x^{2}+36=0\) liefere \(z_{1}=9\) direkt die Nullstelle \(x=9\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
\(z\) steht für \(x^{2}\). Nach dem Lösen der \(z\)-Gleichung folgt die Rücksubstitution \(x^{2}=z\): aus \(z=9\) wird \(x=\pm 3\), aus \(z=4\) wird \(x=\pm 2\).
16„Negative \(z\)-Werte liefern eben negative Nullstellen.“
Aus \(z=-3\) folge \(x=-\sqrt{3}\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
\(x^{2}=-3\) hat keine reelle Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ. Ein negativer \(z\)-Wert wird ersatzlos gestrichen. Ist \(z=0\), entsteht genau eine Stelle, nämlich \(x=0\); ist \(z>0\), entstehen zwei.
5
Anzahl und Vielfachheit
Was der Grad verspricht — und was nicht
17„Grad \(n\) heißt genau \(n\) Nullstellen.“
Eine Funktion dritten Grades habe immer drei Nullstellen.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Der Satz nennt nur eine Obergrenze: höchstens \(n\). Gegenbeispiel: \(f(x)=x^{3}+x=x\left(x^{2}+1\right)\) hat Grad 3 und nur die eine Nullstelle \(x=0\). Garantiert ist lediglich: Bei ungeradem Grad gibt es mindestens eine Nullstelle.
Merksatz: Höchstens \(n\) — und bei ungeradem \(n\) mindestens eine.
18„\((x+2)\) gehört zur Nullstelle \(+2\).“
\(f(x)=(x+2)(x-5)\) habe die Nullstellen 2 und \(-5\).
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Ein Linearfaktor hat die Form \((x-x_{0})\) — das Vorzeichen dreht sich also um. Aus \((x+2)\) folgt \(x_{0}=-2\), aus \((x-5)\) folgt \(x_{0}=5\). Die Probe \(f(-2)=0\) klärt den Fall in fünf Sekunden.
19„Eine doppelte Nullstelle sind zwei Schnittpunkte.“
Bei \(f(x)=(x-3)^{2}\) schneide der Graph die \(x\)-Achse zweimal bei 3.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Gerade Vielfachheit bedeutet berühren, nicht schneiden: Es gibt keinen Vorzeichenwechsel, der Graph kehrt auf derselben Seite um. Ungerade Vielfachheit bedeutet schneiden — bei \(k=3\) allerdings sehr flach, mit einem Sattelpunkt auf der Achse.
Merksatz: Nur gerade oder ungerade zählt, nicht die Größe von \(k\).
20„Der Zahlfaktor liefert auch eine Nullstelle.“
Aus \(f(x)=2x(x-4)(x+1)\) folge neben 0, 4 und \(-1\) noch eine Nullstelle aus der 2.
Warum ist das falsch? — Richtigstellung
Ein Zahlfaktor \(a\neq 0\) wird nie null und liefert deshalb keine Nullstelle. Weglassen darf man ihn trotzdem nicht: Er verändert alle übrigen Funktionswerte und damit die ganze Funktion.