Aufgabenblock — AFB III
AFB IIIZehn Aufgaben, bei denen es nicht mehr um ein einzelnes Ergebnis geht, sondern um Verallgemeinern, Begründen und Beurteilen: Scharen mit Parameter, allgemeine Symmetriebeweise, die Frage nach dem Gültigkeitsbereich eines Modells und die Prüfung fremder Aussagen. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf sind anspruchsvolle Textaufgaben im Klausurformat.
Gegeben ist \(f(x)=2x^{5}-16x^{3}+32x\). Beantworten Sie die Fragen des Entscheidungsbaums für diese Funktion, bis Sie beim passenden Verfahren ankommen.
Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k}(x)=x^{3}-kx\) mit \(k\in\mathbb{R}\).
- Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(k\) alle Nullstellen von \(f_{k}\).
- Untersuchen Sie, für welche \(k\) die Funktion genau eine und für welche sie genau drei verschiedene Nullstellen besitzt.
- Beurteilen Sie die Aussage: „Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat immer drei Nullstellen.“
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f_{k}(x)=x^{3}-kx=x\left(x^{2}-k\right)\)
Satz vom Nullprodukt: \(x_{1}=0\) oder \(x^{2}=k\).
Für \(k>0\): \(x_{2,3}=\pm\sqrt{k}\).
Für \(k=0\): \(x^{2}=0\) liefert erneut \(x=0\) — keine neue Stelle.
Für \(k<0\): \(x^{2}=k\) hat keine reelle Lösung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Genau drei verschiedene Nullstellen für \(k>0\): \(-\sqrt{k}\), \(0\) und \(\sqrt{k}\).
Genau eine Nullstelle für \(k\leq 0\): Bei \(k<0\) bleibt nur \(x=0\); bei \(k=0\) ist \(f_{0}(x)=x^{3}\) mit der dreifachen Nullstelle \(x=0\) — als Stelle ebenfalls nur eine.
Zwei verschiedene Nullstellen kommen in dieser Schar nicht vor.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(k=-1\) liefert \(f_{-1}(x)=x^{3}+x=x\left(x^{2}+1\right)\) mit der einzigen Nullstelle \(x=0\), denn \(x^{2}+1>0\) für alle \(x\).
Richtig ist: Der Grad 3 gibt nur eine Obergrenze an — höchstens drei. Weil der Grad ungerade ist, gibt es zugleich mindestens eine Nullstelle. Zwischen eins und drei ist alles möglich.
Zählt man Vielfachheiten mit und lässt auch nicht-reelle Lösungen zu, sind es stets genau drei — das ist aber eine andere Aussage als die im Zitat.
Über eine ganzrationale Funktion sind nur der Grad und der Leitkoeffizient bekannt. Ordnen Sie jede Frage danach ein, welche Information zu ihrer Beantwortung reicht.
\(f\) und \(g\) seien ganzrationale Funktionen.
- Zeigen Sie allgemein: Ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung, so gilt \(f(0)=0\).
- Zeigen Sie: Sind die Graphen von \(f\) und \(g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, so ist es auch der Graph von \(f+g\).
- Beurteilen Sie die Aussage: „Das Produkt zweier punktsymmetrischer Funktionen ist wieder punktsymmetrisch.“
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus der Punktsymmetrie folgt \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\), insbesondere für \(x=0\):
\(f(0)=f(-0)=-f(0)\)
\(f(0)+f(0)=0\) → \(2\,f(0)=0\) → \(f(0)=0\).
Der Graph geht also zwingend durch den Ursprung. Genau deshalb zerstört ein Absolutglied \(a_{0}\neq 0\) die Punktsymmetrie sofort.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Voraussetzung: \(f(-x)=f(x)\) und \(g(-x)=g(x)\) für alle \(x\).
\((f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)\)
Damit erfüllt \(f+g\) dieselbe Bedingung, ist also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Am Term liest man dasselbe ab: Zwei Summen aus lauter geraden Exponenten ergeben zusammen wieder eine Summe aus lauter geraden Exponenten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch.
\((f\cdot g)(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=\left(-f(x)\right)\cdot\left(-g(x)\right)=f(x)\cdot g(x)=(f\cdot g)(x)\)
Das Produkt ist also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, nicht punktsymmetrisch.
Beispiel: \(f(x)=x\) und \(g(x)=x^{3}\) sind beide punktsymmetrisch, \(f(x)\cdot g(x)=x^{4}\) ist achsensymmetrisch.
Merkregel über die Exponenten: ungerade plus ungerade ergibt gerade — beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert.
Markieren Sie alle Aussagen, die für jede ganzrationale Funktion zutreffen.
Der Satz über die Anzahl der Nullstellen sagt: Ist der Grad \(n\) ungerade, so hat \(f\) mindestens eine Nullstelle.
- Begründen Sie diese Aussage mithilfe des Globalverhaltens.
- Erläutern Sie, warum dieselbe Begründung bei geradem Grad scheitert, und geben Sie ein Gegenbeispiel an.
- Beurteilen Sie die Argumentation: „Weil \(f(-1)=-3\) und \(f(2)=5\) gilt, muss \(f\) zwischen \(-1\) und \(2\) eine Nullstelle haben.“
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Bei ungeradem Grad gilt \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) (für \(a_{n}>0\); bei \(a_{n}<0\) genau umgekehrt).
Es gibt also eine Stelle \(u\) mit \(f(u)<0\) und eine Stelle \(v\) mit \(f(v)>0\).
Der Graph einer ganzrationalen Funktion verläuft lückenlos — er lässt sich ohne Absetzen zeichnen. Um von einem negativen zu einem positiven Wert zu gelangen, muss er die \(x\)-Achse also mindestens einmal treffen.
Damit besitzt \(f\) zwischen \(u\) und \(v\) mindestens eine Nullstelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bei geradem Grad zeigen beide Enden in dieselbe Richtung. Der Graph kann daher vollständig oberhalb (oder vollständig unterhalb) der \(x\)-Achse verlaufen — ein Vorzeichenwechsel ist nicht erzwungen.
Gegenbeispiel: \(f(x)=x^{2}+1\). Für alle \(x\) gilt \(f(x)\geq 1>0\), also gibt es keine Nullstelle. Ebenso \(f(x)=x^{4}+4\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Ergebnis ist richtig, die Begründung aber unvollständig.
Aus \(f(-1)<0\) und \(f(2)>0\) folgt eine Nullstelle nur deshalb, weil ganzrationale Funktionen lückenlos verlaufen. Für eine Funktion mit einer Sprungstelle wäre derselbe Schluss falsch.
Außerdem sagt das Argument nichts über die Anzahl: Es kann eine Nullstelle im Intervall geben, aber auch drei oder fünf. Und es schließt Nullstellen außerhalb von \([-1;2]\) nicht aus.
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, hat die doppelten Nullstellen \(-3\) und \(3\) und den Leitkoeffizienten \(1\). Geben Sie \(f(x)\) in ausmultiplizierter Form ein.
/, Potenzen mit ^, Klammern wie üblich. Enter prüft.Das Höhenprofil eines Geländes neben einer Straße wird für \(0\leq x\leq 5\) durch \(f(x)=0{,}25x^{3}-1{,}5x^{2}+2x\) beschrieben. Dabei ist \(x\) die Entfernung von der Straße in Metern und \(f(x)\) die Höhe über dem Straßenniveau in Metern.
- Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\) und deuten Sie sie im Sachzusammenhang.
- Bestimmen Sie, in welchen Abschnitten das Gelände über und in welchen es unter dem Straßenniveau liegt.
- Beurteilen Sie, ob sich das Modell auf \(x=10\) übertragen lässt.
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(x)=0{,}25x^{3}-1{,}5x^{2}+2x=x\left(0{,}25x^{2}-1{,}5x+2\right)\)
Erste Nullstelle: \(x_{1}=0\).
Restklammer: \(0=0{,}25x^{2}-1{,}5x+2\;|:0{,}25\) → \(0=x^{2}-6x+8\), also \(p=-6\), \(q=8\).
\(D=(-3)^{2}-8=1\), \(x_{2,3}=3\pm 1\) → \(x_{2}=2\), \(x_{3}=4\).
Deutung: In \(0\,\mathrm{m}\), \(2\,\mathrm{m}\) und \(4\,\mathrm{m}\) Entfernung von der Straße liegt das Gelände genau auf Straßenniveau.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Produktform: \(f(x)=0{,}25\,x\,(x-2)(x-4)\).
Für \(0
Für \(2
Für \(4
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(10)=0{,}25\cdot 1000-1{,}5\cdot 100+2\cdot 10=250-150+20=120\)
Das Modell sagt für \(10\,\mathrm{m}\) Entfernung eine Höhe von \(120\,\mathrm{m}\) voraus — das ist offensichtlich unsinnig.
Ursache ist das Globalverhalten: Der Grad ist ungerade und \(a_{3}=0{,}25>0\), also wächst \(f\) für große \(x\) über alle Grenzen. Ein reales Gelände tut das nicht.
Fazit: Der angegebene Definitionsbereich \(0\leq x\leq 5\) ist Teil des Modells. Außerhalb dieses Gültigkeitsbereichs darf man die Funktion nicht auswerten.
Ordnen Sie jede Aussage danach ein, ob sie für ganzrationale Funktionen immer, nur manchmal oder nie zutrifft.
Über eine ganzrationale Funktion \(f\) ist bekannt: Sie hat den Grad 4, ihr Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, ihre einzigen Nullstellen sind \(-2\) und \(2\) (beide einfach), und es gilt \(f(0)=8\).
- Bestimmen Sie eine mögliche Funktionsgleichung von \(f\).
- Zeigen Sie, dass Ihre Funktion tatsächlich achsensymmetrisch ist und genau die geforderten Nullstellen hat.
- Beurteilen Sie die Aussage: „Mit diesen Angaben ist \(f\) eindeutig festgelegt.“
Hinweis 1 — Ansatz
Hinweis 2 — Durchführung
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c\).
\(f(0)=c=8\).
\(f(2)=16a+4b+8=0\;|:4\) → \(4a+b=-2\), also \(b=-2-4a\).
Wahl \(a=-2\): \(b=-2+8=6\). Damit ist \(f(x)=-2x^{4}+6x^{2}+8\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Symmetrie: \(f(-x)=-2(-x)^{4}+6(-x)^{2}+8=-2x^{4}+6x^{2}+8=f(x)\). ✓
Nullstellen: \(0=-2x^{4}+6x^{2}+8\;|:(-2)\) → \(0=x^{4}-3x^{2}-4\).
Substitution \(z=x^{2}\): \(z^{2}-3z-4=0\), \(D=2{,}25+4=6{,}25\), \(z_{1,2}=1{,}5\pm 2{,}5\) → \(z_{1}=4\), \(z_{2}=-1\).
\(z_{2}=-1\) wird verworfen; \(x^{2}=4\) liefert \(x=\pm 2\), beide einfach. Zusammen mit \(f(0)=8\) sind alle Bedingungen erfüllt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch. Aus den Angaben folgt nur die eine Gleichung \(b=-2-4a\) — ein Parameter bleibt frei.
Damit die Nullstellen \(\pm 2\) die einzigen bleiben, muss der zweite \(z\)-Wert negativ sein. Das Produkt der beiden \(z\)-Lösungen ist \(\tfrac{8}{a}\); wegen \(z_{1}=4>0\) ist \(z_{2}=\tfrac{2}{a}\). Für \(a<0\) ist \(z_{2}<0\) und wird verworfen — genau dann passt alles.
Jedes \(a<0\) mit \(b=-2-4a\) und \(c=8\) erfüllt also sämtliche Angaben, zum Beispiel auch \(a=-1\), \(b=2\): \(f(x)=-x^{4}+2x^{2}+8\).
Eindeutig würde \(f\) erst durch eine weitere Bedingung, etwa einen zusätzlichen Punkt wie \(f(1)=12\).