Die Leitfrage
Nullstellen berechnen heißt: die Gleichung \(f(x)=0\) lösen. Welches Verfahren du nimmst, hängt vom Grad ab.
- Nullstelle:eine Zahl \(x_{0}\) mit \(f(x_{0})=0\).
- Schnittpunkt:am Graphen der Punkt \((x_{0}\mid 0)\) auf der \(x\)-Achse.
- Obergrenze:Grad \(n\) bedeutet höchstens \(n\) Nullstellen.
- Grad 1:\(0=2x-4\;\Rightarrow\;4=2x\;\Rightarrow\;x=2\), Schnittpunkt \((2\mid 0)\).
Die Gerade zu \(f(x)=2x-4\) kreuzt die \(x\)-Achse genau einmal. Die gestrichelte Linie markiert die Stelle \(x=2\).
Nullstelle: \(x_{0}\) mit \(f(x_{0})=0\)
Grad 2 und die pq-Formel
Die pq-Formel gilt nur für die Normalform \(x^{2}+px+q=0\). Teile also zuerst durch den Faktor vor \(x^{2}\).
- Normalform:\(0=2x^{2}-4x-8\ \ |:2\;\Rightarrow\;0=x^{2}-2x-4\).
- Ablesen:\(p=-2\) und \(q=-4\), jeweils mit Vorzeichen.
- Diskriminante:\(D=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=1+4=5\).
- Lösungen:\(x_{1,2}=1\pm\sqrt{5}\), also \(x_{1}\approx 3{,}236\) und \(x_{2}\approx -1{,}236\).
- Anzahl:\(D>0\): zwei, \(D=0\): eine, \(D<0\): keine Nullstelle.
- Scheitel:liegt bei \(x=-\frac{p}{2}\), genau zwischen den beiden Nullstellen.
pq-Formel: \(x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}-q}\)
Alle drei Parabeln haben \(p=-2\), sie unterscheiden sich nur im Wert von \(q\). Das Vorzeichen von \(D\) entscheidet über zwei, eine oder keine Nullstelle.
Schiebe \(q\) langsam nach oben. Beobachte, wie die grünen Punkte zusammenrücken und dann verschwinden.
pq-Navigator
Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten steuern. Das Koordinatensystem lässt sich anwählen: ←/→ ändern \( p \), ↑/↓ ändern \( q \), Enter springt durch drei Musterfälle.
D = 4 > 0: zwei verschiedene Nullstellen.
Halte fest: Das Vorzeichen von \(D=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q\) entscheidet über die Anzahl. Der Scheitel liegt immer bei \(x=-\frac{p}{2}\).
Zwei Sonderfälle
Fehlt in \(ax^{2}+bx+c\) ein Summand, geht es ohne pq-Formel schneller.
- \(b=0\):umstellen und Wurzel ziehen: \(1{,}5x^{2}-6=0\;\Rightarrow\;x^{2}=4\;\Rightarrow\;x=\pm 2\).
- Beide Vorzeichen:zu \(x^{2}=4\) gehören \(2\) und \(-2\); \(x^{2}=-4\) hat keine Lösung.
- \(c=0\):\(x\) ausklammern: \(2x^{2}-2x=x\cdot(2x-2)=0\).
- Nullprodukt:\(x_{1}=0\) oder \(2x-2=0\), also \(x_{2}=1\).
Links fehlt das lineare Glied, die Parabel liegt symmetrisch zur \(y\)-Achse. Rechts fehlt das Absolutglied, deshalb geht der Graph durch den Ursprung.
Satz vom Nullprodukt: \(u\cdot v=0\;\Leftrightarrow\;u=0\ \text{oder}\ v=0\)
Grad 3 und höher
Ab Grad 3 zerlegst du die Gleichung in bekannte lineare und quadratische Teile.
- Ausklammern:\(2x^{3}+x^{2}-7x=x\cdot(2x^{2}+x-7)=0\).
- Nullprodukt:\(x_{1}=0\); der Rest mit der pq-Formel ergibt \(x_{2}\approx 1{,}637\) und \(x_{3}\approx -2{,}137\).
- Polynomdivision:gibt es ein Absolutglied, rätst du eine Nullstelle und spaltest ihren Linearfaktor ab.
- Biquadratisch:Terme \(ax^{4}+bx^{2}+c\) mit nur geraden Exponenten.
- Substitution:mit \(z=x^{2}\) wird \(x^{4}-5x^{2}+4=0\) zu \(z^{2}-5z+4=0\), also \(z_{1}=4\), \(z_{2}=1\).
- Rücksubstitution:\(x^{2}=4\) und \(x^{2}=1\) ergeben \(x=\pm 2\) und \(x=\pm 1\).
Der Graph zu \(x^{4}-5x^{2}+4\) trifft die \(x\)-Achse viermal. Jeder der beiden positiven \(z\)-Werte liefert ein Paar aus Zahl und Gegenzahl.
Rücksubstitution: \(x^{2}=z\) hat für \(z>0\) zwei, für \(z=0\) eine und für \(z<0\) keine Lösung
| Bauform | Verfahren | Beispiel |
|---|---|---|
| Grad 1: \(ax+b\) | nach \(x\) umstellen | \(2x-4=0\Rightarrow x=2\) |
| Grad 2: \(ax^{2}+bx+c\) | durch \(a\) teilen, dann pq-Formel | \(x^{2}-2x-4=0\Rightarrow x=1\pm\sqrt{5}\) |
| Grad 2 mit \(b=0\) | nach \(x^{2}\) umstellen, Wurzel ziehen | \(1{,}5x^{2}-6=0\Rightarrow x=\pm 2\) |
| Grad 2 mit \(c=0\) | \(x\) ausklammern, Nullprodukt | \(2x^{2}-2x=0\Rightarrow x=0\) oder \(x=1\) |
| Grad 3 ohne Absolutglied | \(x\) ausklammern, dann pq-Formel | \(x\cdot\left(2x^{2}+x-7\right)=0\) |
| Grad 3 mit Absolutglied | Nullstelle raten, Polynomdivision | Linearfaktor abspalten, Rest quadratisch |
| biquadratisch: \(ax^{4}+bx^{2}+c\) | Substitution \(z=x^{2}\), pq-Formel, Rücksubstitution | \(x^{4}-5x^{2}+4=0\Rightarrow x=\pm 1;\ \pm 2\) |
Die Maschine geht den Umweg über \(z\) Schritt für Schritt. Achte darauf, welche Werte auf der unteren Zahlengeraden ankommen.
Substitutions-Maschine
Gleichung wählen, dann mit den Schaltflächen durch die Rechnung gehen. Mit der Tastatur: Feld anwählen, → ein Schritt vor, ← ein Schritt zurück, Enter wählt die nächste Gleichung.
Schritt 0 von 7 — noch nichts gerechnet.
Halte fest: Nur positive \(z\)-Werte liefern je zwei Lösungen. Negative \(z\)-Werte fallen weg, \(z=0\) liefert nur \(x=0\).
Allgemeine Hinweise
Erst normieren
Die pq-Formel gilt nur, wenn vor \(x^{2}\) eine 1 steht. Teile jeden Summanden durch diesen Faktor.
z ist nicht x
Die \(z\)-Werte sind noch keine Nullstellen. Erst die Rücksubstitution \(x^{2}=z\) liefert die Lösungen.
Probe durch Einsetzen
Setze jede Nullstelle in \(f\) ein. Kommt 0 heraus, stimmt dein Ergebnis.