MINT lernen
Start›Mathematik›Klasse 11›Ganzrationale Funktionen›Anzahl Nullstellen

Anzahl Nullstellen

Der Grad legt fest, wie viele Nullstellen höchstens möglich sind. Der Exponent des Linearfaktors entscheidet, ob der Graph die Achse schneidet oder berührt.

1

Der Satz

Wie viele Nullstellen möglich sind, verrät schon der Grad. Du musst dafür keine Gleichung lösen.

Merke

Anzahl der Nullstellen: Grad \(n\) ⇒ höchstens \(n\) Nullstellen; \(n\) ungerade ⇒ mindestens eine Nullstelle

  • Obergrenze:bei Grad 4 nie fünf Nullstellen, weniger sind immer möglich.
  • Ungerader Grad:die Äste laufen in entgegengesetzte Richtungen.
  • Folge:der Graph muss die \(x\)-Achse mindestens einmal kreuzen.
  • Gerader Grad:keine Garantie, z. B. hat \(x^{2}+1\) keine Nullstelle.
Ungerader Grad zwingt, gerader Grad nicht
Grad 3 — ungeradeÄste laufen in entgegengesetzte Richtungen−2−112mindestens eine Nullstelle — hier sind es dreiGrad 4 — geradebeide Äste laufen nach oben−2−112keine einzige Nullstelle — das ist erlaubt

Links ein Graph vom Grad 3: die Äste laufen auseinander, der Graph muss die Achse kreuzen. Rechts ein Graph vom Grad 4: beide Äste laufen nach oben, der Graph kann vollständig oberhalb der Achse bleiben.

2

Die Vielfachheit

Die Vielfachheit sagt, wie der Graph an einer Nullstelle aussieht. Sie ist der Exponent des zugehörigen Linearfaktors.

  • Vielfachheit:Exponent \(k\) von \((x-x_{0})^{k}\) im Term.
  • Vorzeichenwechsel:\(f(x)\) wechselt an der Nullstelle das Vorzeichen, kurz VZW.
  • Einfach:der Graph schneidet die Achse, mit VZW.
  • Doppelt:der Graph berührt die Achse, dort liegt ein Extrempunkt, kein VZW.
  • Dreifach:der Graph schneidet mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt), mit VZW.
Drei Vielfachheiten im Vergleich
einfach (k = 1)schneidet · mit Vorzeichenwechsel−11−+doppelt (k = 2)berührt · kein Vorzeichenwechsel−11++dreifach (k = 3)schneidet waagerecht · mit VZW−11−+gerade Vielfachheit → berühren · ungerade Vielfachheit → schneiden

Alle drei Kurven haben an derselben Stelle eine Nullstelle. Nur die Vielfachheit ist verschieden — und damit das Verhalten an der Achse. Die Zeichen „\(+\)“ und „\(-\)“ geben das Vorzeichen der Funktionswerte links und rechts der Nullstelle an.

Merke

Vielfachheit: gerade ⇒ Berühren ohne VZW; ungerade ⇒ Schneiden mit VZW

Die Nullstellen liegen fest bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Gib jeder eine Vielfachheit von 1 bis 3 und schalte das Vorzeichen von \(a\) um.

Vielfachheits-Werkstatt

Auf die Schaltflächen klicken oder das Koordinatensystem anwählen und mit der Tastatur arbeiten: ←/→ wählen die Nullstelle, ↑/↓ ändern ihre Vielfachheit, Enter dreht das Vorzeichen von \(a\) um.

y-Achse nicht maßstäblich
Term
 
Grad
6
Nullstellen
3

 

Halte fest: Die Nullstellen bleiben an ihrem Platz, nur die Form ändert sich. Der Grad ist die Summe der drei Vielfachheiten.

3

Am Term ablesen

Im Produktterm verrät die Klammer die Stelle, der Exponent die Vielfachheit.

  • Beispiel:\(f(x)=(x+1)^{2}\cdot(x-1)^{3}\cdot(x-2)\).
  • \(x_{1}=-1\):doppelt: der Graph berührt die Achse.
  • \(x_{2}=1\):dreifach: Sattelpunkt auf der Achse.
  • \(x_{3}=2\):einfach: der Graph schneidet die Achse.
  • Grad:\(2+3+1=6\), ohne Ausmultiplizieren.
  • \(x^{2}\):ist \((x-0)^{2}\), also eine doppelte Nullstelle bei 0.
Anatomie eines Produktterms
f(x) =(x + 1)2(x − 1)3(x − 2)··x₁ = −1doppelt (k = 2)berührt die Achsex₂ = 1dreifach (k = 3)schneidet, Sattelx₃ = 2einfach (k = 1)schneidet die Achse2 + 3 + 1 = 6 = Grad von f

Jeder Faktor liefert genau eine Nullstelle, jeder Exponent genau eine Vielfachheit. Die drei Exponenten zusammen ergeben den Grad der Funktion.

Merke

Grad: Summe aller Vielfachheiten, wenn der Term vollständig in Linearfaktoren zerlegt ist

4

Skizzieren in vier Schritten

Aus Globalverhalten und Vielfachheiten skizzierst du den Graphen ohne Wertetabelle.

  • Beispiel:\(f(x)=0{,}3\,(x+2)^{2}\cdot x\cdot(x-1)^{3}\).
  • 1. Globalverlauf:Grad \(2+1+3=6\) gerade und \(a>0\): beide Äste nach oben.
  • 2. \(x=-2\):doppelt: Berühren.
  • 3. \(x=0\):einfach: Schneiden.
  • 4. \(x=1\):dreifach: Schneiden mit waagerechter Tangente.
Die fertige Skizze
−2−112. berührt3. schneidet4. Sattel1. Grad 6, a > 0 → beide Äste nach obeny-Achse nicht maßstäblich

Das Ergebnis der vier Schritte für \(f(x)=0{,}3\left(x+2\right)^{2}\cdot x\cdot\left(x-1\right)^{3}\). Die \(y\)-Achse ist bewusst nicht maßstäblich gezeichnet — bei einer Skizze kommt es nur auf Nullstellen, Vielfachheiten und Globalverlauf an.

Rückwärts kommst du vom Graphen zum Term. Den Faktor \(a\) liefert ein weiterer Punkt.

  • Ablesen:\(-3\) einfach, \(0\) doppelt, \(2\) einfach, dazu der Punkt \((1\mid -1)\).
  • Ansatz:\(f(x)=a\,(x+3)(x-2)\,x^{2}\).
  • Punkt einsetzen:\(f(1)=a\cdot 4\cdot(-1)\cdot 1=-4a=-1\;\Rightarrow\;a=0{,}25\).

Die blaue Kurve ist vorgegeben. Stelle an den sechs Stellen die Vielfachheiten ein, bis deine orange Kurve passt.

Graph-Detektiv

Auf die Stellen klicken oder das Koordinatensystem anwählen: ←/→ wählen die Stelle, ↑/↓ ändern die Vielfachheit von 0 bis 3, Enter dreht das Vorzeichen von \(a\) um. Da nur die Form verglichen wird, ist der Betrag von \(a\) hier ohne Bedeutung.

y-Achse nicht maßstäblich
vorgegebener Graph Dein Ansatz
Dein Ansatz
 
Grad deines Ansatzes
0
Hinterlegter Term
verdeckt

 

Halte fest: Jede Nullstelle braucht die richtige Vielfachheit. Die Summe muss zum Randverhalten der blauen Kurve passen.

5

Allgemeine Hinweise

Höchstens ≠ genau

Grad \(n\) erlaubt bis zu \(n\) Nullstellen. Es können auch deutlich weniger sein.

Berühren ist kein Schneiden

Bei gerader Vielfachheit kehrt der Graph an der Achse um. Dort gibt es keinen Vorzeichenwechsel.

Probe mit einem Punkt

Setze nach dem Bestimmen von \(a\) den Punkt noch einmal ein. Stimmt der Funktionswert, passt dein Term.

Videos