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Definition

Eine Summe von Potenzfunktionen — mehr steckt hinter dem Begriff nicht. Hier lernen Sie, Koeffizienten, Variable und Grad sicher zu benennen und ganzrationale Funktionen von allen anderen zu unterscheiden.

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Von der Potenzfunktion zur Summe

Baustein jeder ganzrationalen Funktion ist die Potenzfunktion. Addierst du mehrere davon, entsteht eine ganzrationale Funktion.

  • Potenzfunktion:\(f(x)=a\cdot x^{n}\) mit \(a\in\mathbb{R}\), \(a\neq 0\) und \(n\in\mathbb{N}\).
  • Gemeinsame Punkte:jede Funktion \(f(x)=x^{n}\) mit \(n\geq 1\) läuft durch \((0\mid 0)\) und \((1\mid 1)\).
  • Gerader Exponent:beide Äste zeigen nach oben, der Graph liegt nie unter der \(x\)-Achse.
  • Ungerader Exponent:ein Ast läuft nach unten, der andere nach oben.
  • Faktor \(a\):größeres \(|a|\) macht den Graphen steiler, negatives \(a\) spiegelt ihn an der \(x\)-Achse.
Die vier einfachsten Potenzfunktionen im Vergleich
xy−2−112−4−224(1 | 1)n = 1: f(x) = xn = 2: f(x) = x²n = 3: f(x) = x³n = 4: f(x) = x⁴Jede Potenzfunktion f(x) = xⁿ geht durch (0 | 0) und (1 | 1)

Je größer der Exponent, desto flacher verläuft die Kurve zwischen −1 und 1 und desto steiler außerhalb. Der Punkt (1 | 1) gehört zu allen vier Graphen.

  • Summe:\(2x^{3}+10x^{2}-7x+3\) besteht aus vier Potenzfunktionen.
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Die Definition in Standardform

Du sortierst die Summanden nach fallenden Exponenten. Diese Schreibweise heißt Standardform.

Merke

Ganzrationale Funktion: \(f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\) mit \(a_{n}\neq 0\) und \(n\in\mathbb{N}\)

Anatomie einer Funktionsgleichung
f(x) =2x+10x−7x+332Exponenten: 3, 2, 1, 0 — jeweils um 1 kleinerDer größte Exponent ist der Grad: hier 3Koeffizienten: a₃ = 2, a₂ = 10, a₁ = −7, a₀ = 3Der Koeffizient vor der höchsten Potenz heißt Leitkoeffizient.Variable: xIn jedem Summanden steht dieselbeVariable — immer in der Basis.Absolutglied a₀ = 3Es gehört zum Summanden mit x⁰ = 1und ist der y-Achsenabschnitt,denn f(0) = 3.Summe von Potenzfunktionen — jeder Summand hat die Form a · x hoch n

Dieselbe Gleichung, dreifach zerlegt: blau die Koeffizienten, grün die Variable, orange die Exponenten. Der größte Exponent ist der Grad, der Summand ganz rechts das Absolutglied.

  • Koeffizienten:die festen Zahlen \(a_{n},\dots,a_{0}\) vor den Potenzen, z. B. steht \(a_{3}\) vor \(x^{3}\).
  • Grad:der höchste Exponent mit einem Koeffizienten ungleich null.
  • Leitkoeffizient:\(a_{n}\) vor der höchsten Potenz, er ist nie null.
  • Absolutglied:\(a_{0}\) ohne \(x\); wegen \(f(0)=a_{0}\) ist es der \(y\)-Achsenabschnitt.
  • Kurzschreibweise:wegen \(x^{1}=x\) und \(x^{0}=1\) schreibst du \(a_{1}x\) und \(a_{0}\).
  • Fehlende Potenzen:sind erlaubt, ihr Koeffizient ist null: \(x^{5}-x^{2}+2\) hat Grad 5.

Stelle die vier Koeffizienten ein. Beobachte, wie sich Term, Grad und Graph gleichzeitig ändern.

Polynom-Baukasten

xy−3−2−1123−10−5510
Funktionsterm
 
Grad
3
y-Achsenabschnitt
 

Halte fest: Steht \(a_{3}\) auf 0, sinkt der Grad auf 2. Der Punkt auf der \(y\)-Achse folgt immer \(a_{0}\).

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Grad, Namen und Sonderfälle

Der Grad bestimmt den Namen und die grobe Form des Graphen. Du liest ihn in der Standardform ganz links ab.

  • Grad 0:konstante Funktion, z. B. \(f(x)=5=5x^{0}\): waagerechte Gerade.
  • Grad 1:lineare Funktion, z. B. \(f(x)=6x+1\): Gerade.
  • Grad 2:quadratische Funktion, z. B. \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+4x-7\): Parabel.
  • Grad 3:kubische Funktion: typischer S-Schwung.
  • Grad 4:Funktion vierten Grades: W- oder U-Form.
  • Nullfunktion:\(f(x)=0\) hat keinen Koeffizienten ungleich null, ihr Grad ist nicht festgelegt.
  • Beispiel:\(4-x^{3}+2x^{2}=-x^{3}+2x^{2}+4\): Grad 3, Leitkoeffizient \(-1\), Absolutglied 4.
Merke

Grad: höchster Exponent der Standardform – eine Funktion vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen

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Was nicht dazugehört

Alle Exponenten von \(x\) müssen natürliche Zahlen sein. Bring den Term deshalb zuerst in die Standardform.

Entscheidungsdiagramm: ganzrational oder nicht?
Funktionsterm in Standardform bringen1. Steht die Variable xim Exponenten?nicht ganzrational —z. B. die Exponentialfunktion 2 hoch xja2. Steht x unter einer Wurzeloder in einem Nenner?nicht ganzrational —z. B. Wurzel aus x oder Kehrwert von xja3. Sind alle Exponenten von xnatürliche Zahlen?nicht ganzrational —z. B. Exponent ein halb oder minus 1neinneinneinjaganzrational — und der größte auftretende Exponent ist der Grad

Drei Fragen genügen. Erst wenn alle drei bestanden sind, liegt eine ganzrationale Funktion vor — und dann ist der größte Exponent der Grad.

  • Wurzel:\(2\sqrt{x}=2x^{\frac{1}{2}}\): der Exponent ist keine natürliche Zahl.
  • \(x\) im Nenner:\(\frac{1}{x}=x^{-1}\): negativer Exponent, gebrochenrationale Funktion.
  • \(x\) im Exponenten:\(2^{x}\) ist eine Exponentialfunktion.
  • Zahl im Nenner:\(\frac{x^{2}}{4}+3=\frac{1}{4}x^{2}+3\) ist ganzrational vom Grad 2.
  • Produkt:\((2x-1)(x^{2}+3)=2x^{3}-x^{2}+6x-3\) ist ganzrational vom Grad 3.

Ordne acht Terme ein. Der Grad-Detektiv zeigt dir nach jeder Antwort deine Trefferquote.

Grad-Detektiv

Welchen Grad hat dieser Term — oder ist er gar nicht ganzrational? acht Terme — ein Punkt pro Aufgabe
bearbeitet
0 / 8
Treffer
0
Trefferquote
—

Wähle für den angezeigten Term den passenden Grad.

Halte fest: Wurzel, negativer Exponent und \(x\) im Exponenten sind die typischen Stolperstellen.

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Allgemeine Hinweise

Erst ordnen

Der Grad steht nur in der Standardform ganz links. Sortiere die Summanden deshalb zuerst nach Exponenten.

Koeffizient ≠ Exponent

Koeffizienten dürfen beliebige reelle Zahlen sein, etwa \(\pi\). Nur die Exponenten müssen natürliche Zahlen sein.

Absolutglied = f(0)

Setzt du \(x=0\) ein, bleibt nur \(a_{0}\) übrig. So findest du den \(y\)-Achsenabschnitt sofort.

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