Kapitel 4Zurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel, Übungen und Textaufgaben zu ganzrationalen Funktionen.
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1
Begriff, Grad und Koeffizienten
8 Karten
Potenzfunktion
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\(f(x)=a\cdot x^{n}\)
Feste reelle Zahl \(a\neq 0\), Exponent \(n\in\mathbb{N}\). Die Variable steht in der Basis, nicht im Exponenten.
Ganzrationale Funktion
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\(f(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}\)
Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, \(a_{n}\neq 0\). Auch Polynomfunktion genannt.
Grad \(n\)
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Der größte vorkommende Exponent — erst nach fallenden Exponenten ordnen, dann ablesen.
Leitkoeffizient \(a_{n}\)
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Der Koeffizient vor der höchsten Potenz, mit Vorzeichen. Entscheidet zusammen mit dem Grad über das Globalverhalten.
Absolutglied \(a_{0}\)
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\(a_{0}=f(0)\)
Der konstante Summand; er ist zugleich der \(y\)-Achsenabschnitt, denn \(a_{0}=a_{0}\cdot x^{0}\).
Fehlende Potenzen
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Fehlt eine Potenz, ist ihr Koeffizient null. Bei \(x^{5}-x^{2}+2\) gilt \(a_{4}=a_{3}=a_{1}=0\) — der Grad bleibt 5.
Nicht ganzrational
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Variable im Nenner (\(\tfrac1x\)), unter der Wurzel (\(\sqrt{x}\)) oder im Exponenten (\(2^{x}\)). Zahlen dürfen dort dagegen stehen.
Erst umformen
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Klammern ausmultiplizieren, bevor man urteilt: \(x^{2}(x-3)=x^{3}-3x^{2}\) hat den Grad 3, nicht 2.
2
Symmetrie
6 Karten
Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse
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\(f(-x)=f(x)\)
Spiegeln an der \(y\)-Achse ändert nichts. Termmerkmal: nur gerade Exponenten.
Punktsymmetrie zum Ursprung
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\(f(-x)=-f(x)\)
Drehen um 180° um den Ursprung ändert nichts. Termmerkmal: nur ungerade Exponenten.
Das Absolutglied
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\(a_{0}=a_{0}\cdot x^{0}\) hat den geraden Exponenten 0. Bei Achsensymmetrie darf es bleiben, Punktsymmetrie zerstört es sofort.
Vorzeichen beim Einsetzen
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\((-x)^{n}\)
Gerade \(n\): \((-x)^{n}=x^{n}\). Ungerade \(n\): \((-x)^{n}=-x^{n}\). Immer Klammern setzen!
Punktsymmetrisch \(\Rightarrow\) Ursprung
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\(f(0)=0\)
Aus \(f(0)=-f(0)\) folgt \(2f(0)=0\). Jeder punktsymmetrische Graph geht durch \((0\mid 0)\).
Gemischte Exponenten
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Kommen gerade und ungerade Exponenten vor, liegt keine der beiden Symmetrien vor — z. B. bei \(x^{3}+x^{2}\).
3
Globalverhalten
6 Karten
Globalverhalten
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\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)\)
Wohin die Funktionswerte streben, wenn \(x\) sehr groß bzw. sehr klein wird.
Der Leitterm gewinnt
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\(f(x)\approx a_{n}x^{n}\)
Für große \(|x|\) verhält sich jede ganzrationale Funktion wie ihr Leitterm. Klammert man ihn aus, geht die Restklammer gegen 1.
Zwei Fragen genügen
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Ist \(n\) gerade oder ungerade? Ist \(a_{n}\) positiv oder negativ? Mehr braucht es nicht.
Gerader Grad
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Beide Enden zeigen in dieselbe Richtung: bei \(a_{n}>0\) nach oben, bei \(a_{n}<0\) nach unten.
Ungerader Grad
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Die Enden zeigen in entgegengesetzte Richtungen: bei \(a_{n}>0\) von links unten nach rechts oben, bei \(a_{n}<0\) umgekehrt.
Große Koeffizienten
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Sie ändern die Richtung nicht, sondern nur, ab wann der Leitterm dominiert — auch bei \(x^{3}+1000x^{2}\).
4
Nullstellen, Linearfaktoren und Vielfachheit
12 Karten
Nullstelle
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\(f(x_{0})=0\)
Zugehöriger Punkt auf dem Graphen: \(\left(x_{0}\mid 0\right)\) auf der \(x\)-Achse.
Satz vom Nullprodukt
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Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist. Deshalb jeden Faktor einzeln null setzen — nie durch \(x\) teilen.
Linearfaktor
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\((x-x_{i})\)
Faktor vom Grad 1. Achtung beim Vorzeichen: \((x+2)\) gehört zur Nullstelle \(-2\). Auch \(x=(x-0)\) ist einer.
Produktdarstellung
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\(f(x)=a\,(x-x_{1})\cdots(x-x_{n})\)
Aus ihr liest man alle Nullstellen direkt ab. Der Zahlfaktor \(a\neq 0\) liefert keine Nullstelle, darf aber nicht wegfallen.
Normalform
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\(x^{2}+px+q=0\)
Voraussetzung für die pq-Formel. Steht vor \(x^{2}\) nicht die 1, wird die ganze Gleichung durch diesen Faktor geteilt.
pq-Formel
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\(x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}-q}\)
\(p\) und \(q\) mit ihrem Vorzeichen einsetzen.
Diskriminante
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\(D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}-q\)
\(D>0\): zwei Nullstellen. \(D=0\): genau eine. \(D<0\): keine reelle.
Substitution
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\(z=x^{2}\)
Für Gleichungen mit \(x^{4}\), \(x^{2}\) und einer Zahl. Danach Rücksubstitution \(x=\pm\sqrt{z}\); negative \(z\) werden verworfen, \(z=0\) liefert nur \(x=0\).
Anzahl der Nullstellen
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Grad \(n\) → höchstens \(n\) Nullstellen. Ist \(n\) ungerade, gibt es mindestens eine.
Vielfachheit \(k\)
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Der Exponent des Linearfaktors \((x-x_{0})^{k}\). Die Vielfachheiten summieren sich höchstens zum Grad.
Schneiden oder berühren
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\(k\) ungerade → der Graph schneidet mit Vorzeichenwechsel. \(k\) gerade → er berührt, ohne Vorzeichenwechsel.
Steckbrief mit Parameter
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\(f(x)=a\,(x-x_{1})(x-x_{2})\dots\)
Nullstellen legen die Funktion nur bis auf \(a\) fest. Erst ein zusätzlicher Punkt macht \(a\) — und damit \(f\) — eindeutig.