Was muss ich für die Klassenarbeit können und wissen? Alle Formeln, Begriffe und Verfahren aus Kapitel 2 auf einen Blick.
1 Grundlagen
Zusammenfassung — Was muss ich für die Klassenarbeit können und wissen?
Diese Seite fasst das gesamte Kapitel 2 — Dynamik zusammen. Sie folgt genau der Gliederung aus dem Hefter: erst die Grundlagen, dann die Kräfte als Vektoren, dann das Trägheitsprinzip und das Wechselwirkungsprinzip. Alles, was hier steht, ist bereits in einem der elf Unterkapitel ausführlich erklärt — die Links dorthin stehen ganz unten.
Block 1 · Das musst du aus den Grundlagen können
Die Definition der Kraft und die drei Kraftwirkungen nennen.
Formelzeichen \( F \) bzw. \( \vec{F} \) und die Einheit N sicher verwenden.
Einheiten umrechnen für Masse und Kraft.
Mit \( F = m \cdot a \) und \( F_G = m \cdot g \) rechnen, mit \( g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} \).
Die Formeln für beschleunigte Bewegungen anwenden: \( s = \tfrac{1}{2} a t^2 \) und \( v = a \cdot t \).
Definition, Formelzeichen, Einheit
In der Physik versteht man unter Kraft eine Einwirkung auf einen Körper, die ihn verformt, seine Richtung ändert oder ihn beschleunigt. Man sieht eine Kraft nie selbst — man sieht immer nur, was sie anrichtet. Mindestens eine dieser drei Wirkungen tritt immer auf.
Grundgleichung der Mechanik
\( F = m \cdot a \)
m = Masse in kg · a = Beschleunigung in m/s² · F = Kraft in N. Einheit: \( 1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \) — Newton ist eine abgeleitete Einheit.
Gewichtskraft
\( F_G = m \cdot g_E \)
\( g_E = 9{,}81\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \) ist die Erdbeschleunigung — die Beschleunigung, mit der man beim freien Fall zur Erde gezogen wird.
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
\( v = a \cdot t \) · \( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \)
Aus der Kinematik. Diese beiden Formeln sind oft nötig, um zuerst die Beschleunigung zu berechnen.
Die große Formelübersicht
Alles, was im Kapitel gerechnet wurde, steht in dieser Tabelle. Die letzte Spalte sagt, wo es hergeleitet und erklärt ist.
Der Lehrer nennt das ausdrücklich als Prüfungsanforderung. In \( F = m \cdot a \) und \( F_G = m \cdot g \) gehören Kilogramm, Meter und Sekunden hinein — wer Tonnen oder Gramm stehen lässt, rechnet um den Faktor 1000 daneben.
Masse und Kraft: jeder Schritt ist ein Faktor 1000
Die Treppe. mg → g → kg → t und mN → N → kN → MN: Jeder Schritt nach rechts ist ein Teilen durch 1000, jeder Schritt nach links ein Mal 1000. Und noch eine Umrechnung gehört dazu: \( 36\,\mathrm{km/h} = 10\,\mathrm{m/s} \) — km/h durch 3,6 ergibt m/s.
Gewichtskraft und Ortsfaktor
Wirkt eine Kraft in Richtung Erdmittelpunkt, so spricht man von der Gewichtskraft \( F_G \). Sie ist der Spezialfall von \( F = m \cdot a \), bei dem die Beschleunigung der Ortsfaktor ist.
Derselbe Körper von 80 kg an drei Orten
Ort
Ortsfaktor g
Masse m
Gewichtskraft FG
Erde
9,81 m/s²
80 kg
784,8 N
Mars
3,69 m/s²
80 kg
295,2 N
Mond
1,62 m/s²
80 kg
129,6 N
Deshalb der Name Ortsfaktor. Der Faktor \(g\) in \(F_G = m \cdot g\) hängt vom Ort ab — vom Himmelskörper und, feiner, sogar von der Stelle auf diesem Himmelskörper. Die Masse ist dagegen nicht ortsabhängig und überall im Universum gleich.
Standardweg 1 · Kraft aus Bewegungsdaten
Die Aufgabe aus 2.1.3: Eine U-Bahn beschleunigt innerhalb von 8 s auf eine Geschwindigkeit von 36 km/h. Berechne die dafür notwendige Kraft, wenn die U-Bahn eine Masse von 200 t hat.
\( v = 36\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \), \( t = 8\,\mathrm{s} \), \( m = 200\,\mathrm{t} = 200\,000\,\mathrm{kg} \)umrechnen
\( F = m \cdot a \) — \( a \) fehlt nochAnsatz
\( a = \dfrac{v}{t} = \dfrac{10\,\mathrm{m/s}}{8\,\mathrm{s}} = 1{,}25\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)aus \( v = a \cdot t \)
Merksatz. Die Beschleunigung steht fast nie direkt in der Aufgabe. Man holt sie sich über \( v = a \cdot t \) oder über \( s = \tfrac{1}{2} a t^2 \) — und beide Formeln setzen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung voraus.
2 Kräfte als Vektoren
Darstellen, zusammensetzen, rechnen
Eine Kraft ist eine gerichtete Größe: Nicht nur die Stärke der Kraft ist wichtig, sondern auch die Richtung, wohin die Kraft wirkt. Dieser Block ist der rechenintensivste Teil der Arbeit — hier stehen die fünf Verfahren aus den Kapiteln 2.2.1 bis 2.2.5.
Block 2 · Das musst du mit Vektoren können
Kräfte als Vektoren darstellen — mit Angriffspunkt, Richtung, Betrag, Wirkungslinie und Maßstab.
Die Wirkung mehrerer Kräfte bestimmen: gleiche, entgegengesetzte oder beliebige Richtungen (Kräfteparallelogramm).
Vektoren im Koordinatensystem zeichnen und ablesen.
Vektoren addieren und subtrahieren — komponentenweise.
Den Betrag eines Vektors berechnen.
Vektoren aufstellen mit sin, cos und tan.
Kräfte als Vektoren darstellen
Die vier Bestandteile eines Kraftpfeils
Angriffspunkt — der Punkt, an dem der Pfeil beginnt. Richtung — wohin die Pfeilspitze zeigt. Betrag bzw. die Länge des Vektors — wie stark die Kraft ist. Wirkungslinie — die gestrichelt gezeichnete Gerade, auf der der Pfeil liegt und die über ihn hinaus verlängert wird.
Maßstab
1 cm ≙ 2 N
Vor dem Zeichnen wird ein Maßstab vereinbart. Er sagt, wie viele Newton ein Zentimeter Pfeillänge bedeutet — und gehört zu jeder Zeichnung dazu.
Mehrere Kräfte zusammensetzen — drei Fälle, mehr gibt es nicht
Wirken auf einen Körper mehrere Kräfte, so lassen sie sich stets zu einer Kraft zusammenfassen, die genau dieselbe Wirkung hat: der resultierenden Kraft \( \vec{F}_R \).
Die drei Fälle auf einen Blick
Fall
Richtungen
Konstruktion
Rechnung
1
gleiche Richtung (\(\alpha = 0^\circ\))
Pfeile hintereinandersetzen
\(F = F_1 + F_2\)
2
entgegengesetzt (\(\alpha = 180^\circ\))
Pfeile gegeneinandersetzen
\(F = F_2 - F_1\)
3
beliebiger Winkel \(\alpha\)
Parallelogramm, Diagonale
\(F_R = \sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_2F_1\cos\alpha}\)
Zu Fall 2: Die kleinere Kraft wird von der größeren Kraft abgezogen; \(F_2\) ist die größere der beiden. Sind beide Kräfte gleich groß, so ist die resultierende Kraft gleich Null.
So wird konstruiert: (1) Beide Kraftpfeile maßstabsgetreu vom gemeinsamen Angriffspunkt aus zeichnen. (2) Vom Ende von \(\vec{F}_1\) eine gestrichelte Parallele zu \(\vec{F}_2\) ziehen. (3) Vom Ende von \(\vec{F}_2\) eine gestrichelte Parallele zu \(\vec{F}_1\) ziehen. (4) Die beiden Parallelen schneiden sich — die Diagonale vom Angriffspunkt bis zu diesem Schnittpunkt ist die resultierende Kraft \(\vec{F}_R\).
Vektoren im Koordinatensystem, Betrag und Zerlegung
Die beiden Zahlen stehen untereinander in einer Klammer — das nennt man die Spaltenschreibweise. Beim Addieren gilt: oben zu oben, unten zu unten. Die \(x\)-Zeile und die \(y\)-Zeile werden nie miteinander vermischt.
Betrag eines Vektors
\( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
Der Betrag ist die Länge der Strecke vom Angriffspunkt bis zur Spitze des Pfeils — berechnet über den Satz des Pythagoras. Er ist niemals negativ.
Zerlegung eines Vektors
\( x = \sin(\alpha) \cdot |\vec{F}| \) · \( y = \cos(\alpha) \cdot |\vec{F}| \)
Gilt so, wenn \( \alpha \) von der Senkrechten aus gemessen wird. Dann ist \(x\) die Gegenkathete und \(y\) die Ankathete. Den Winkel des Ergebnisvektors liefert der Tangens: \( \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \).
Die wichtigste Regel aus 2.2.5. Wird der Winkel von der Nordrichtung aus gemessen — so wie bei Kursangaben von der Form O35°N oder N65°O —, dann ist die waagerechte Koordinate die Gegenkathete (also \( \sin \)) und die senkrechte Koordinate die Ankathete (also \( \cos \)). Liegt der Winkel dagegen an der waagerechten Achse, tauschen Sinus und Cosinus ihre Rollen. Deshalb gilt: erst zeichnen, dann rechnen.
Standardweg 2 · Vektor aus Betrag und Winkel
Aus 2.2.5: Ein Auto fährt mit \( 80\,\mathrm{km/h} \) auf einem Kurs, dessen Winkel \( \alpha = 35^\circ \) von der Nordrichtung aus gemessen wird.
Aus 2.2.3 und 2.2.4: Zwei Schlepper ziehen ein Schiff. Komponentenweise addiert ergibt sich \( \vec{F}_{\mathrm{Res}} = \begin{pmatrix} 23 \\ 6 \end{pmatrix}\mathrm{kN} \). Gesucht ist der Betrag.
Reihenfolge merken. Erst zerlegen, dann komponentenweise addieren, dann den Betrag bilden. Der Betrag der Summe ist nicht die Summe der Beträge.
3 Trägheitsprinzip
Das erste newtonsche Gesetz — Verständnis
Dieser Block wird in der Arbeit nicht gerechnet, sondern erklärt. Gefragt ist der Wortlaut aus dem Hefter und die Fähigkeit, eine Alltagssituation damit zu begründen.
Der Satz aus dem Hefter
„Ein Körper bleibt in Ruhe oder behält seine geradlinige gleichförmige Bewegung bei, solange auf ihn keine äußeren Kräfte einwirken.“
Ein Körper in geradliniger gleichförmiger Bewegung behält Tempo und Richtung bei — von allein wird nichts langsamer und biegt nichts ab.
Jede Änderung dieses Zustands — schneller, langsamer, andere Richtung — setzt eine äußere Kraft voraus.
Ist die resultierende Kraft null, so ändert sich der Geschwindigkeitsvektor nicht — weder sein Betrag noch seine Richtung. Der Sonderfall \( \vec{v} = \vec{0} \) ist die Ruhe.
Wichtig ist das Wort resultierend: Es müssen nicht alle Kräfte fehlen. Es reicht, wenn sie sich gegenseitig aufheben — dann verhält sich der Körper wie ein kräftefreier.
Ein Buch auf dem Tisch ist nicht kräftefrei — es verhält sich nur so. Nach unten zieht die Gewichtskraft, nach oben drückt der Tisch mit genau demselben Betrag. Die resultierende Kraft ist null, also bleibt das Buch nach dem Trägheitsprinzip in Ruhe.
Nicht die Person wird nach vorne gedrückt — der Bus wird unter ihr weggebremst. Weil die Person mit dem Bus verbunden ist (Boden, Sitz, Haltestange), sieht es von innen so aus, als flöge sie nach vorne. Von der Straße aus betrachtet fährt sie einfach unverändert geradeaus weiter.
Bewegungszustand und resultierende Kraft
Ausgangszustand
resultierende Kraft
Was passiert
in Ruhe
\( \vec{F}_{\mathrm{res}} = \vec{0} \)
bleibt in Ruhe
geradlinig gleichförmig mit \(v\)
\( \vec{F}_{\mathrm{res}} = \vec{0} \)
fährt mit demselben \(v\) geradeaus weiter
mehrere Kräfte, die sich aufheben
\( \vec{F}_{\mathrm{res}} = \vec{0} \)
verhält sich wie ein kräftefreier Körper
beliebig
\( \vec{F}_{\mathrm{res}} \neq \vec{0} \)
der Bewegungszustand ändert sich: schneller, langsamer oder andere Richtung
4 Wechselwirkungsprinzip
Das dritte newtonsche Gesetz — Verständnis
Auch dieser Block wird erklärt, nicht gerechnet. Der Wortlaut aus dem Hefter lautet: Wirkt ein Körper A auf einen Körper B mit der Kraft \(\vec{F}\), so wirkt der Körper B auf den Körper A mit einer gleich großen Kraft. Die Richtungen der beiden Kräfte sind jedoch entgegengesetzt. („Actio = Reactio“)
Drei Kernaussagen
Kräfte treten immer paarweise auf. Es gibt keine einzelne Kraft, sondern nur ein Wechselwirkungspaar.
Die beiden Kräfte sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet: \( \vec{F}_{A \to B} = -\,\vec{F}_{B \to A} \).
Sie greifen an zwei verschiedenen Körpern an — deshalb heben sie sich nicht gegenseitig auf.
Merksatz zum Mitschreiben. Actio und Reactio wirken auf verschiedene Körper — ein Kräftegleichgewicht wirkt auf einen Körper. Wer diese beiden Situationen auseinanderhält, hat das dritte newtonsche Gesetz verstanden.
Wechselwirkungspaar und Kräftegleichgewicht — nicht verwechseln
Merkmal
Wechselwirkungspaar (2.3.3)
Kräftegleichgewicht (2.2.2)
Beteiligte Körper
zwei verschiedene
ein einziger
Beträge
immer gleich groß
im Gleichgewicht gleich groß
Richtungen
immer entgegengesetzt
entgegengesetzt
Heben sie sich auf?
nein
ja
Beispiel
Person 1 stoßt Person 2 ab
Buch liegt ruhig auf dem Tisch
Die drei newtonschen Gesetze nebeneinander
In der Arbeit werden die drei Gesetze gern verwechselt. Diese Tabelle stellt sie in den Formulierungen des Lehrers gegenüber — einschließlich des Aktionsprinzips aus 2.3.2, das die Brücke zwischen Block 1 und den beiden Verständnisblöcken bildet.
„Die Änderung der Bewegung (= Beschleunigung) ist zur einwirkenden Kraft proportional und hat die gleiche Richtung wie die einwirkende Kraft.“ — \( F = m \cdot a \)
Doppelte Kraft bei gleicher Masse heißt doppelte Beschleunigung; doppelte Masse bei gleicher Kraft heißt halbe Beschleunigung.
„Wirkt ein Körper A auf einen Körper B mit der Kraft \(\vec{F}\), so wirkt der Körper B auf den Körper A mit einer gleich großen Kraft. Die Richtungen der beiden Kräfte sind jedoch entgegengesetzt. (Actio = Reactio)“
Zwei Schüler auf Skateboards stoßen sich ab — beide fahren los, der leichtere schneller.
Welches Verfahren brauche ich?
Die häufigste Klausurfrage ist nicht „Wie geht die Formel?“, sondern „Welche Formel?“. Der Entscheidungsbaum geht von dem aus, was in der Aufgabe gegeben ist, und führt zum passenden Rechenweg.
Der Baum liest sich von oben nach unten: erst schauen, was gegeben ist — erst danach eine Formel wählen. Wer umgekehrt vorgeht und zuerst nach einer Formel sucht, landet in der Arbeit fast immer beim Kräfteparallelogramm, obwohl zwei Koordinaten dastehen.
Interaktiv: Lernkarten zur Klausurvorbereitung
Achtzehn Karten aus genau dem Stoff, der oben steht. Vorne die Frage, hinten die Antwort — am nützlichsten, wenn die eigene Antwort vorher im Kopf steht.
Der Kartenstapel
Grundlagen
Antwort
Karte 1 von 18
Die Karten enthalten nichts, was nicht auch oben auf dieser Seite steht. Wenn eine Antwort nicht kommt, springe zurück in den passenden Block — oder gleich ins Unterkapitel, das in der Formelübersicht verlinkt ist.
Kurz vor der Arbeit
Die häufigsten Fehler in der Klassenarbeit
„36 km/h und 200 t kann ich direkt einsetzen.“ Nur nach dem Umrechnen. In \( F = m \cdot a \) gehören Kilogramm, Meter und Sekunden hinein: \( 36\,\mathrm{km/h} = 10\,\mathrm{m/s} \) und \( 200\,\mathrm{t} = 200\,000\,\mathrm{kg} \). Wer die Tonnen stehen lässt, rechnet um den Faktor 1000 daneben. (2.1.3)
„Auf dem Mond hat man weniger Masse.“ Nein. Die Masse eines Körpers ist nicht ortsabhängig und überall im Universum gleich. Kleiner wird allein die Gewichtskraft, weil in \(F_G = m \cdot g\) der Ortsfaktor \(g\) kleiner ist — und angegeben wird sie in Newton, nicht in Kilogramm. (2.1.2)
„Kräfte addiert man, indem man die Beträge addiert.“ Nur bei gleicher Richtung. Zwei Kräfte von je 900 N ergeben 1800 N, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen — und 0 N, wenn sie gegeneinander ziehen. Bei Vektoren gilt: erst komponentenweise addieren, dann den Betrag bilden. (2.2.2 und 2.2.4)
„Die waagerechte Koordinate rechnet man immer mit dem Cosinus.“ Nein — das gilt nur, wenn der Winkel an der waagerechten Achse liegt. Wird er von der Nordrichtung aus gemessen, ist die waagerechte Koordinate die Gegenkathete und gehört zum Sinus. Zeichne das Dreieck, bevor du eine der beiden Funktionen wählst. (2.2.5)
„Actio und Reactio heben sich auf, also bewegt sich nichts.“ Nein. Die beiden Kräfte greifen an zwei verschiedenen Körpern an. Aufheben können sich nur Kräfte, die am selben Körper angreifen — das wäre ein Kräftegleichgewicht, kein Wechselwirkungspaar. (2.3.3)
