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Aktionsprinzip

Eine Kraft ändert die Bewegung — und zwar proportional und in ihre eigene Richtung. Das zweite newtonsche Gesetz, hinter F = m · a.

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Einstieg — Wie viel Bewegung macht eine Kraft?

Ohne Kraft ändert sich an der Bewegung nichts — aber wie viel ändert sich, wenn eine Kraft wirkt?

Frage 1 · Wie viel bringt doppelte Kraft?Zwei gleich schwere Einkaufswagen, einer wird doppelt so stark geschoben. Wird er doppelt so schnell? Doppelt so stark beschleunigt? Oder etwas ganz anderes?
Frage 2 · Wohin zeigt die Beschleunigung?Eine Kraft hat eine Richtung. Die Beschleunigung auch. Zeigen beide immer dorthin, wo sich der Körper gerade hinbewegt — oder kann die Beschleunigung auch nach hinten zeigen?

Das Bild dazu: zwei Einkaufswagen, beide mit derselben Kraft angeschoben.

  • Wagen 1:Leer — er schießt davon.
  • Wagen 2:Randvoll — er rollt nur gemächlich los.
  • Gleiche Kraft:Zwei völlig verschiedene Ergebnisse, obwohl gleich stark geschoben wird.
  • Unterschied:Er steckt allein in der Masse. Die Antwort darauf gibt das Aktionsprinzip, das zweite newtonsche Gesetz.
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Erklärung — Proportional und richtungsgleich

Das Aktionsprinzip macht zwei Aussagen auf einmal — eine über die Größe der Beschleunigung, eine über ihre Richtung.

Definition. „Die Änderung der Bewegung (= Beschleunigung) ist zur einwirkenden Kraft proportional und hat die gleiche Richtung wie die einwirkende Kraft.“  —  \( F = m \cdot a \)
Drei Kernaussagen
Kraft und Beschleunigung sind proportional und richtungsgleich.
Änderung

Eine Kraft ändert die Bewegung. Genau diese Änderung nennt man Beschleunigung.

proportional

Bei gleicher Masse gilt \( a \sim F \): doppelte Kraft, doppelte Beschleunigung.

richtungsgleich

Die Beschleunigung hat dieselbe Richtung wie die Kraft. Beide sind vektorielle Größen (2.2.1).

gleiche Masse — doppelte Kraft m F a m 2F 2a gleiche Kraft — doppelte Masse m F a 2m F a/2 Bremsen: gleiche Richtung wie F m v F a
Das Aktionsprinzip
\( \vec{F} = m \cdot \vec{a} \)
\( \vec{F} \)

Kraft in Newton (N) — mit Betrag und Richtung.

\( \vec{a} \)

Beschleunigung in m/s². Zeigt stets in dieselbe Richtung wie \( \vec{F} \).

\( m \)

Masse in Kilogramm (kg). Nur eine Zahl — sie dreht an der Richtung nichts.

Nach der Beschleunigung umgestellt
\( a = \dfrac{F}{m} \)
gleiche Masse

\( a \sim F \) — doppelte Kraft, doppelte Beschleunigung.

gleiche Kraft

\( a \sim \frac{1}{m} \) — doppelte Masse, halbe Beschleunigung.

Vorteil

In dieser Form liest man beide Proportionalitäten direkt ab.

Der erste Teil des Satzes: proportional

Was proportional hier genau bedeutet:

  • Verdoppeln:Verdoppelt man die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere.
  • Verdreifachen:Verdreifacht man sie, verdreifacht sich ebenso die andere.
  • Bedingung:Genau das gilt für Kraft und Beschleunigung — bei gleichbleibender Masse.
  • Grund:In \( a = \frac{F}{m} \) steht die Masse als fester Teiler; \( \frac{1}{m} \) ist der Proportionalitätsfaktor zwischen \(F\) und \(a\).
\( a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{1}{m} \cdot F \)Ausgangslage
\( \dfrac{1}{m} \cdot (2 \cdot F) = 2 \cdot \dfrac{F}{m} = 2 \cdot a \)Kraft verdoppelt
\( \dfrac{1}{m} \cdot (3 \cdot F) = 3 \cdot \dfrac{F}{m} = 3 \cdot a \)Kraft verdreifacht

Wichtig ist, was dabei nicht behauptet wird:

  • Verdoppelt sich:Nur die Beschleunigung — nicht die Geschwindigkeit und nicht die Strecke.
  • Bedeutung von \(a\):Sie sagt, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.
  • Endgeschwindigkeit:Hängt zusätzlich davon ab, wie lange die Kraft gewirkt hat.

Dieselbe Gleichung von der anderen Seite: die Masse

In \( a = \frac{F}{m} \) steht die Masse im Nenner.

  • Größere Masse:Bei gleicher Kraft wird die Beschleunigung kleiner — um genau denselben Faktor.
  • Doppelte Masse:Halbe Beschleunigung.
  • Vierfache Masse:Ein Viertel der Beschleunigung.
  • Im Alltag:Genau das ist der volle Einkaufswagen aus dem Einstieg.
Was passiert mit der Beschleunigung?
ÄnderungMasseKraftBeschleunigung \( a = \frac{F}{m} \)
Ausgangslage\(m\)\(F\)\(a\)
doppelte Kraft\(m\)\(2F\)\(2a\)
halbe Kraft\(m\)\(\tfrac{1}{2}F\)\(\tfrac{1}{2}a\)
doppelte Masse\(2m\)\(F\)\(\tfrac{1}{2}a\)
vierfache Masse\(4m\)\(F\)\(\tfrac{1}{4}a\)

Der zweite Teil des Satzes: gleiche Richtung

Kraft und Beschleunigung sind vektorielle Größen: Ihre Pfeile sind immer parallel und gleich orientiert.

  • In Fahrtrichtung:Auch die Beschleunigung zeigt dorthin — der Körper wird schneller.
  • Entgegen der Fahrtrichtung:Bremskraft. In Fahrtrichtung positiv gerechnet, ist \(a\) dann negativ — der Körper wird langsamer.
  • Quer zur Bewegung:Die Bewegungsrichtung ändert sich — zweite der drei Kraftwirkungen aus 2.1.1.
Rechnen gehört zu 2.1.3. Das Rechnen mit Zahlenwerten steht in 2.1.3 Kraft berechnen mit \(F = m \cdot a\). Hier geht es um das Prinzip dahinter — ganz ohne Taschenrechner.
✓ Frage 1 gelöstDoppelte Kraft bei gleicher Masse bedeutet doppelte Beschleunigung, denn \( a \sim F \). Nicht doppelte Geschwindigkeit — die hängt zusätzlich von der Wirkdauer ab.
✓ Frage 2 gelöstDie Beschleunigung zeigt immer dorthin, wo die Kraft hinzeigt. Beim Bremsen zeigt die Kraft nach hinten — also auch die Beschleunigung, sie ist dann negativ.
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Interaktiv — Proportional oder nicht?

Zwei Wagen auf zwei Bahnen, jeder mit eigener Masse und eigener Kraft — beide fahren gleich lange, wer weiter kommt, gewinnt.

Das Wagenrennen

Rote Pfeile zeigen die Kraft, grüne die Beschleunigung — für jeden der beiden Wagen.

Mit Tab zu den Reglern, dort mit ←/→ verändern. Steht der Fokus auf der Zeichnung, starten Enter oder die Leertaste das Rennen; ←/→ ändern dann die Kraft von Wagen 2, ↑/↓ seine Masse.

Wagen 1 Wagen 2
2 kg
4 N
2 kg
8 N

Die Pfeillängen sind Maßstäbe: Die roten Pfeile verhalten sich zueinander wie die Kräfte, die grünen wie die Beschleunigungen. Bei umgekehrter Kraft klappt der grüne Pfeil sofort mit um, denn er kann gar nicht anders: Beschleunigung und Kraft haben immer dieselbe Richtung.

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Hinweise — Worauf du achten solltest

Drei häufige Stolperstellen:

Hinweis

„Doppelte Kraft heißt doppelte Geschwindigkeit.“ Nein — proportional zur Kraft ist die Beschleunigung. Wie schnell der Körper am Ende ist, hängt zusätzlich von der Wirkdauer ab.

Hinweis

„Doppelte Masse heißt doppelte Beschleunigung.“ Genau umgekehrt: In \( a = \frac{F}{m} \) steht die Masse im Nenner. Doppelte Masse bedeutet halbe, vierfache Masse ein Viertel der Beschleunigung.

Hinweis

„Die Beschleunigung zeigt immer in Fahrtrichtung.“ Nein, sie zeigt immer in Kraftrichtung. Beim Bremsen zeigt sie nach hinten und ist negativ — der Wagen fährt trotzdem vorwärts, nur langsamer.

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