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Kraft berechnen mit F = m · a

Die Beschleunigung steht meist nicht in der Aufgabe. Wie man sie über die Bewegungsformeln herausholt — und dann die Kraft ausrechnet.

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Einstieg — Die Kraft steht in der Formel, die Beschleunigung nicht in der Aufgabe

Mit \( F = m \cdot a \) lässt sich jede Kraft ausrechnen — nur steht in den Aufgaben meistens gar keine Beschleunigung.

Frage 1 · Wann darf ich mit \(a\) rechnen?Eine Beschleunigung tritt nur bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung auf. Woran erkennt man diesen Fall — und was gilt, wenn er nicht vorliegt?
Frage 2 · Woher bekomme ich \(a\)?Gegeben sind Masse, Zeit und Endgeschwindigkeit. Gesucht ist die Kraft. In \(F = m \cdot a\) fehlt genau ein Stück. Welche Formel liefert es?

Das Bild dazu: Eine U-Bahn steht im Tunnel und fährt an.

  • Beobachtung:Nach acht Sekunden ist sie 36 km/h schnell — wie stark müssen die Motoren drücken?
  • Gegeben:Eine Masse, eine Zeit und eine Geschwindigkeit — in anderen Aufgaben auch eine Strecke.
  • Es fehlt:Die Beschleunigung; die muss man sich erst besorgen.
  • Ziel:Genau diese Lücke schließt dieses Kapitel.
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Erklärung — Von der Bewegung zur Kraft

Die Grundgleichung \( F = m \cdot a \) verbindet drei Größen: Masse und Kraft stehen fast immer direkt in der Aufgabe, die Beschleunigung kommt aus der Kinematik.

Drei Kernaussagen
\( F = m \cdot a \)
Kraft

Sie ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung.

Bedingung

Mit einem festen Wert \(a\) darf man nur bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung rechnen.

Herkunft von \(a\)

Aus der Kinematik — aus \( v = a \cdot t \) oder aus \( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \).

Kraft beschleunigt die Masse m F gleichmäßig beschleunigt im v-t-Diagramm v t v = a · t t Steigung: a
Grundgleichung der Mechanik
\( F = m \cdot a \)
F

Kraft in Newton (N).

m

Masse in Kilogramm (kg).

a

Beschleunigung in m/s².

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
\( v = a \cdot t \)   ·   \( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \)

Beide Formeln kommen aus der Kinematik und sind oft nötig, um zuerst die Beschleunigung zu berechnen.

Beschleunigung gibt es nur bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung

Nicht jede Bewegung hat eine Beschleunigung, mit der man rechnen darf.

  • Konstante Fahrt:Der Körper wird nicht beschleunigt — \( a = 0 \), und damit ist auch die beschleunigende Kraft null.
  • Änderung nötig:Erst wenn sich die Geschwindigkeit ändert, gibt es eine Beschleunigung.
  • Gleichmäßig:In diesem Kapitel behält \(a\) während der ganzen Bewegung denselben Wert.
  • Nur dann gilt:\( v = a \cdot t \) und \( s = \tfrac{1}{2} a t^2 \) — und nur dann liefert \( F = m \cdot a \) eine einzige, feste Kraft.
Merksatz. Die Beschleunigung steht fast nie direkt in der Aufgabe. Man holt sie sich über \( v = a \cdot t \) oder über \( s = \tfrac{1}{2} a t^2 \).

Der Dreischritt: gegeben → Beschleunigung → Kraft

1Gegeben und gesucht notieren, alle Einheiten in kg, m und s umrechnen.
2Beschleunigung besorgen — aus \(v = a\cdot t\) oder aus \(s = \tfrac{1}{2}at^2\).
3Kraft berechnen mit \(F = m \cdot a\) und Antwortsatz schreiben.

Schritt 2 im Detail: die beiden Umstellungen

Beide Bewegungsformeln lassen sich nach \(a\) umstellen — welche man braucht, hängt davon ab, ob in der Aufgabe eine Geschwindigkeit oder eine Strecke steht.

\( v = a \cdot t \)gegeben: \(v\), \(t\)
\( a = \dfrac{v}{t} \)\(\div\, t\)
\( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \)gegeben: \(s\), \(t\)
\( a = \dfrac{2s}{t^2} \)\(\cdot\, 2\), \(\div\, t^2\)

Musterbeispiel: die anfahrende U-Bahn

Eine U-Bahn beschleunigt innerhalb von 8 s auf eine Geschwindigkeit von 36 km/h. Berechne die dafür notwendige Kraft, wenn die U-Bahn eine Masse von 200 t hat.

Dreimal derselbe Weg — jedes Mal mit weniger Hilfestellung. Lies Stufe 1 mit, rechne Stufe 2 im Kopf mit und decke Stufe 3 beim zweiten Durchgang ab.

Stufe 1 · vollständig vorgerechnet
1Gegeben und gesucht. Alles wird zuerst in die Grundeinheiten kg, m und s gebracht. gegeben: \( v = 36\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \)  ·  \( t = 8\,\mathrm{s} \)  ·  \( m = 200\,\mathrm{t} = 200\,000\,\mathrm{kg} \) gesucht: Kraft \( F \) in N
2Ansatz aufschreiben und die Lücke finden. Die Kraft kommt aus \( F = m \cdot a \). Die Masse ist bekannt, die Beschleunigung fehlt noch. Also muss sie zuerst berechnet werden. \( F = m \cdot a \)  —  \( a \) ist unbekannt
Stufe 2 · die Zwischenrechnung
3Beschleunigung besorgen. Gegeben sind eine Geschwindigkeit und eine Zeit — das ist der Fall \( v = a \cdot t \). Division durch \(t\) liefert \(a\). \( v = a \cdot t \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{v}{t} = \dfrac{10\,\mathrm{m/s}}{8\,\mathrm{s}} = 1{,}25\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)
Stufe 3 · nur noch einsetzen
4Kraft berechnen. \( F = m \cdot a = 200\,000\,\mathrm{kg} \cdot 1{,}25\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 250\,000\,\mathrm{N} = 250\,\mathrm{kN} \)
5Antwortsatz. Die U-Bahn benötigt zum Anfahren eine Kraft von \( 250\,000\,\mathrm{N} \), also \( 250\,\mathrm{kN} \).
Welche Formel wann?
GesuchtIn der Aufgabe stehtFormelNach \(a\) umgestellt
Kraft \(F\)\(m\) und \(a\)\( F = m \cdot a \)—
Beschleunigung \(a\)\(v\) und \(t\)\( v = a \cdot t \)\( a = \dfrac{v}{t} \)
Beschleunigung \(a\)\(s\) und \(t\)\( s = \tfrac{1}{2} a t^2 \)\( a = \dfrac{2s}{t^2} \)
Beschleunigung \(a\)\(F\) und \(m\)\( F = m \cdot a \)\( a = \dfrac{F}{m} \)
✓ Frage 1 gelöstMit einem festen Wert \(a\) darf man nur bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung rechnen. Bleibt die Geschwindigkeit konstant, ist \(a = 0\) — und damit auch die beschleunigende Kraft.
✓ Frage 2 gelöstDie Beschleunigung kommt aus der Kinematik: \( a = \frac{v}{t} \) aus \( v = a\cdot t \), oder \( a = \frac{2s}{t^2} \) aus \( s = \frac{1}{2}at^2 \). Erst danach setzt man in \( F = m\cdot a \) ein.
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Interaktiv — Die Beschleunigungs-Werkbank

Die Werkbank rechnet den kompletten Weg mit — erst \( a = \frac{F}{m} \), daraus \( v = a \cdot t \), daraus \( s = \frac{1}{2} a t^2 \). Der Wagen fährt genau die Strecke, die dabei herauskommt.

Kraft berechnen

Start 0 100 m Streckenmaßstab
1000 kg
5 kN
4 s

Beide Maßstäbe passen sich an: Die Skala unter der Strecke sagt, wie viele Meter die volle Breite bedeutet, und der grüne Geschwindigkeitspfeil trägt seinen Wert als Zahl. Bei \( m = 200\,\mathrm{t} \), \( F = 250\,\mathrm{kN} \) und \( t = 8\,\mathrm{s} \) — dem Musterbeispiel von oben — liefert die Werkbank \( a = 1{,}25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \).

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Hinweise — Worauf du achten solltest

Drei häufige Stolperstellen:

Hinweis

Ohne angegebene Beschleunigung geht es trotzdem. Sie steckt in Zeit und Geschwindigkeit (\( a = \frac{v}{t} \)) oder in Zeit und Strecke (\( a = \frac{2s}{t^2} \)) — erst wenn \(a\) berechnet ist, folgt \( F = m \cdot a \).

Hinweis

\( v = a \cdot t \) und \( s = \frac{1}{2}at^2 \) gelten nicht immer, sondern nur bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung aus dem Stand. Bei konstanter Geschwindigkeit ist \(a = 0\), und \( s = \frac{1}{2}at^2 \) liefert den falschen Wert null.

Hinweis

Erst umrechnen, dann einsetzen: In \( F = m \cdot a \) gehören kg, m und s hinein, also \( 36\,\mathrm{km/h} = 10\,\mathrm{m/s} \) und \( 200\,\mathrm{t} = 200\,000\,\mathrm{kg} \). Wer die Tonnen stehen lässt, rechnet um den Faktor 1000 daneben.

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