Probeklausur: Kraft & Vektoren

Wenn Leonie die Tischdecke schnell und gleichmäßig unter dem Geschirr wegzieht, bleibt das Geschirr aufgrund seiner Trägheit nahezu unbewegt auf dem Tisch liegen. Die Reibung zwischen Geschirr und Tischdecke reicht nicht aus, um eine signifikante äußere Kraft auf das Geschirr auszuüben.

Dies ist auf das erste newtonsche Gesetz zurückzuführen (Trägheitsprinzip): Ein Körper bleibt in Ruhe oder in geradlinig-gleichförmiger Bewegung, solange keine ausreichende resultierende Kraft auf ihn wirkt.

Auf dem Mond ist die Anziehungskraft ca. \(\tfrac{1}{6}\) der Anziehungskraft auf der Erde. Das Gleiche gilt für die Anzeige der Waage:

\[ \tfrac{1}{6}\cdot 100\,\mathrm{kg} = 16{,}67\,\mathrm{kg} \]

Die Waage zeigt also 16,67 kg an — obwohl deine Masse unverändert 100 kg beträgt. Die Waage misst eben nicht die Masse, sondern die Gewichtskraft.

Masse \(m = 2100\,\mathrm{kg}\). Die resultierende Kraft nach oben beträgt

\[ F = 2000\,\mathrm{N} - 1200\,\mathrm{N} = 800\,\mathrm{N} \]

Mit der Formel \(F = m\cdot a\), umgestellt zu \(a = \tfrac{F}{m}\), ergibt sich

\[ a = \frac{800\,\mathrm{N}}{2100\,\mathrm{kg}} = 0{,}38\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \]

Masse \(m = 1200\,\mathrm{kg}\), Geschwindigkeit \(v = 50\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 13{,}89\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), Bremszeit \(t = 1\,\mathrm{s}\).

Es gilt \(a = \tfrac{v}{t}\), also

\[ a = \frac{13{,}89\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1\,\mathrm{s}} = 13{,}89\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \]

Damit berechnet man die Kraft:

\[ F = m\cdot a = 1200\,\mathrm{kg}\cdot 13{,}89\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 16\,666{,}67\,\mathrm{N} \]

Zur Rundung: Der Wert 16 666,67 N entsteht, wenn man mit dem ungerundeten \(v = \tfrac{125}{9}\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) weiterrechnet. Setzt man stattdessen die gerundeten 13,89 m/s ein, kommt 16 668 N heraus — beides ist als Lösung richtig.

Die drei Kräfte als Vektoren (x = Osten, y = Norden):

\[ \vec{F_1} = \begin{pmatrix}1000\,\mathrm{N}\\ 0\end{pmatrix} \qquad \vec{F_2} = \begin{pmatrix}-m\cdot 22\\ m\cdot 22\end{pmatrix} \qquad \vec{F}_{\text{Neu}} = \begin{pmatrix}0\\ x\end{pmatrix} \]

Addition der beiden wirkenden Kräfte:

\[ \vec{F_1} + \vec{F_2} = \begin{pmatrix}1000\,\mathrm{N}\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-m\cdot 22\\ m\cdot 22\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ x\end{pmatrix} \]

Aus der x-Zeile folgt:

\[ 1000\,\mathrm{N} + (-m\cdot 22) = 0 \iff 1000\,\mathrm{N} = m \cdot 22\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \quad \big| : 22 \]

\[ m = \frac{1000\,\mathrm{N}}{22\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} = \mathbf{45{,}45\,\mathrm{kg}} \]

Zum Ansatz: Die Nordwest-Richtung wird hier durch die Komponenten \((-22 \mid 22)\) beschrieben — gleich großer Anteil nach Westen und nach Norden. Nur die x-Zeile wird gebraucht, weil die y-Zeile die unbekannte Restgröße \(x\) enthält.

Bei einer Vollbremsung kommt das Fahrrad zum Stillstand, dein Körper jedoch neigt dazu, sich aufgrund seiner Trägheit weiterhin vorwärts zu bewegen. Dein Körper versucht, seinen Bewegungszustand beizubehalten, während das Fahrrad durch die Bremskraft abrupt gestoppt wird. Deshalb wirst du nach vorne über den Lenker gezogen.

Beim ruckartigen Start versucht dein Körper gemäß dem Trägheitsprinzip, in seinem ursprünglichen Ruhezustand zu verbleiben, während die Achterbahn beschleunigt. Deshalb wirst du in den Sitz gedrückt: Die Sitzlehne ist es, die deinen Körper mitnimmt.

Im Kreisverkehr wirkt deine Trägheit gegen die Richtungsänderung: Du wirst nach außen gegen die Tür gedrückt. Dein Körper versucht, sich geradlinig weiterzubewegen, während das Auto eine Kurve fährt. Je höher die Geschwindigkeit, desto stärker fällt der Effekt aus.

Beim Anschieben muss eine beträchtliche Anfangskraft aufgebracht werden, um die Trägheit des Autos zu überwinden. Das erste newtonsche Gesetz erklärt, warum das Auto in Ruhe bleibt, bis eine ausreichend große Kraft wirkt: Ohne resultierende äußere Kraft ändert sich der Bewegungszustand nicht. Rollt das Auto erst einmal, genügt deutlich weniger Kraft.

Wenn du nur am linken Federkraftmesser ziehst, zeigen beide Federkraftmesser die gleiche Kraft an — gemäß dem Wechselwirkungsprinzip.

Wenn du nur am rechten Federkraftmesser ziehst, zeigen beide Geräte ebenfalls identisch die ausgeübte Kraft an.

Wenn du an beiden Federkraftmessern gleichzeitig ziehst, zeigen beide aufgrund des Wechselwirkungsprinzips ebenfalls dieselbe Kraft an.

Fazit über alle drei Teilaufgaben: Die Anzeige hängt nicht davon ab, wer zieht. Kräfte treten immer paarweise auf — gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

(1) Vollbremsung auf dem Fahrrad → 1. Trägheitsprinzip
Dein Körper behält seinen Bewegungszustand bei, während das Rad gestoppt wird.

(2) Leerer Einkaufswagen → 2. Aktionsprinzip
Bei gleicher Kraft ergibt kleinere Masse eine größere Beschleunigung: \(a = \tfrac{F}{m}\).

(3) Rakete → 3. Wechselwirkungsprinzip
Die Rakete drückt Gase nach unten, die Gase drücken die Rakete nach oben.

(4) Fußball mit mehr Kraft → 2. Aktionsprinzip
Größere Kraft bei gleicher Masse bedeutet größere Beschleunigung.

(5) Bremsender Zug → 1. Trägheitsprinzip
Die Passagiere bewegen sich aufgrund ihrer Trägheit weiter, während der Zug langsamer wird.

\[ |\vec{F_1}| = \sqrt{(1100\,\mathrm{N})^2 + (1200\,\mathrm{N})^2} = \sqrt{1\,210\,000 + 1\,440\,000}\ \mathrm{N} = 1627{,}88\,\mathrm{N} \]

\[ |\vec{F_2}| = \sqrt{(1650\,\mathrm{N})^2 + (-625\,\mathrm{N})^2} = \sqrt{2\,722\,500 + 390\,625}\ \mathrm{N} = 1764{,}40\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = \begin{pmatrix}1100\\ 1200\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1650\\ -625\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2750\\ 575\end{pmatrix}\ \mathrm{N} \]

Also \(\vec{F_R} = (2750\,\mathrm{N} \mid 575\,\mathrm{N})\).

\[ |\vec{F_R}| = \sqrt{(2750\,\mathrm{N})^2 + (575\,\mathrm{N})^2} = \sqrt{7\,562\,500 + 330\,625}\ \mathrm{N} = 2809{,}47\,\mathrm{N} \]

\(m = 750\,\mathrm{t} = 750\,000\,\mathrm{kg}\)

\[ a = \frac{F}{m} = \frac{2809{,}47\,\mathrm{N}}{750\,000\,\mathrm{kg}} = 0{,}0037\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \]

Die Beschleunigung ist winzig — genau deshalb braucht ein Frachtschiff so lange, bis es in Fahrt kommt.

Linke Person \((|\vec{F_1}| = 150\,\mathrm{N},\ \alpha = 30^\circ)\):

\[ \sin(30^\circ)\cdot 150\,\mathrm{N} = 75\,\mathrm{N} \qquad \cos(30^\circ)\cdot 150\,\mathrm{N} = 129{,}90\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_1} = (-75\,\mathrm{N} \mid 129{,}90\,\mathrm{N}) \]

Rechte Person \((|\vec{F_2}| = \tfrac{1}{2}\cdot 150\,\mathrm{N} = 75\,\mathrm{N},\ \beta = 40^\circ)\):

\[ \sin(40^\circ)\cdot 75\,\mathrm{N} = 48{,}21\,\mathrm{N} \qquad \cos(40^\circ)\cdot 75\,\mathrm{N} = 57{,}45\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_2} = (48{,}21\,\mathrm{N} \mid 57{,}45\,\mathrm{N}) \]

\[ \vec{F_1} + \vec{F_2} = \begin{pmatrix}-75\\ 129{,}90\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}48{,}21\\ 57{,}45\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-26{,}79\\ 187{,}35\end{pmatrix}\ \mathrm{N} \]

Also \(\vec{F_G} = (-26{,}79\,\mathrm{N} \mid 187{,}35\,\mathrm{N})\).

\[ |\vec{F_G}| = \sqrt{(-26{,}79\,\mathrm{N})^2 + (187{,}35\,\mathrm{N})^2} = 189{,}26\,\mathrm{N} \]

Kontrolle: Rechnet man ohne Zwischenrundung, ergibt sich \(187{,}36\,\mathrm{N}\) für die y-Komponente und ebenfalls \(189{,}26\,\mathrm{N}\) für den Betrag.

1. Zeit bestimmen. Aus \(v = a\cdot t\) folgt \(a = \tfrac{v}{t}\). Eingesetzt in die Weg-Zeit-Formel:

\[ s = \tfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{v}{t}\cdot t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot v \cdot t \]

\[ t = \frac{2s}{v} = \frac{2\cdot 150\,\mathrm{m}}{10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = \frac{300\,\mathrm{m}}{10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = \mathbf{30\,\mathrm{s}} \]

2. Beschleunigung bestimmen.

\[ a = \frac{v}{t} = \frac{10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{30\,\mathrm{s}} = 0{,}33\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \quad (\text{periodisch } 0{,}\overline{3}) \]

3. Kraft berechnen. \(m = 400\,\mathrm{t} = 400\,000\,\mathrm{kg}\)

\[ F = m\cdot a = 400\,000\,\mathrm{kg} \cdot 0{,}33\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \mathbf{132\,000\,\mathrm{N}} \]

Zur Rundung: Der Wert 132 000 N entsteht, weil laut Informationskasten auf zwei Nachkommastellen gerundet wird und \(a = 0{,}33\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) eingesetzt wird. Rechnet man mit dem exakten \(a = \tfrac{1}{3}\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) durch, ergibt sich \(133\,333{,}33\,\mathrm{N}\). Beide Wege sind nachvollziehbar — entscheidend ist, dass du den Rechenweg angibst.

Der Antrieb funktioniert nicht. Magnet, Ausleger und Auto bilden ein einziges System — sie sind fest miteinander verbunden und können sich nicht selbst in Bewegung setzen.

Wechselwirkungsprinzip (3. newtonsches Gesetz). Der Magnet zieht das Auto nach vorne. Nach dem Wechselwirkungsprinzip zieht das Auto den Magneten mit einer gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Kraft nach hinten. Beide Kräfte greifen zwar an verschiedenen Körpern an, diese Körper sind aber fest miteinander verbunden.

Von außen betrachtet wirkt auf das Gesamtsystem also keine resultierende Kraft.

Trägheitsprinzip (1. newtonsches Gesetz). Ohne resultierende äußere Kraft ändert sich der Bewegungszustand nicht: Das Auto bleibt stehen.

Was ein echter Antrieb braucht. Ein Antrieb braucht immer eine Kraft von einem Körper außerhalb des Systems. Beim echten Auto liefert sie die Straße: Die Reifen drücken nach hinten gegen den Asphalt, der Asphalt drückt die Reifen nach vorne. Vergleiche den Rasensprenger und das Pferd mit der Kutsche aus Kapitel 2.3.3.

(1) Absprung aus dem fahrenden Bus → Trägheitsprinzip
Dein Körper hat noch die Geschwindigkeit des Busses und behält sie bei.

(2) Kräftiger Abstoß auf dem Eis → Aktionsprinzip
Größere Kraft bei gleicher Masse bedeutet größere Beschleunigung: \(a = \tfrac{F}{m}\).

(3) Astronaut stoßt sich von der Wand ab → Wechselwirkungsprinzip
Er drückt die Wand, die Wand drückt ihn gleich stark zurück.

(4) Zug und Sportwagen bei gleicher Leistung → Aktionsprinzip
Bei gleicher Kraft gilt: je größer die Masse, desto kleiner die Beschleunigung.

(5) Ball auf dem Boden → Trägheitsprinzip
Ein ruhender Körper bleibt in Ruhe, solange keine resultierende äußere Kraft wirkt.

\[ |\vec{F_1}| = \sqrt{(1100\,\mathrm{N})^2 + (700\,\mathrm{N})^2} = 1303{,}84\,\mathrm{N} \]

\[ |\vec{F_2}| = \sqrt{(1500\,\mathrm{N})^2 + (-500\,\mathrm{N})^2} = 1581{,}14\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_R} = \begin{pmatrix}1100\\ 700\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1500\\ -500\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2600\\ 200\end{pmatrix}\ \mathrm{N} \]

Also \(\vec{F_R} = (2600\,\mathrm{N} \mid 200\,\mathrm{N})\).

\[ |\vec{F_R}| = \sqrt{(2600\,\mathrm{N})^2 + (200\,\mathrm{N})^2} = 2607{,}68\,\mathrm{N} \]

\(m = 500\,\mathrm{t} = 500\,000\,\mathrm{kg}\)

\[ a = \frac{2607{,}68\,\mathrm{N}}{500\,000\,\mathrm{kg}} = 0{,}0052\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \]

Linke Person \((150\,\mathrm{N},\ \alpha = 25^\circ)\):

\[ \sin(25^\circ)\cdot 150\,\mathrm{N} = 63{,}39\,\mathrm{N} \qquad \cos(25^\circ)\cdot 150\,\mathrm{N} = 135{,}95\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_1} = (-63{,}39\,\mathrm{N} \mid 135{,}95\,\mathrm{N}) \]

Rechte Person \((75\,\mathrm{N},\ \beta = 45^\circ)\):

\[ \sin(45^\circ)\cdot 75\,\mathrm{N} = 53{,}03\,\mathrm{N} \qquad \cos(45^\circ)\cdot 75\,\mathrm{N} = 53{,}03\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_2} = (53{,}03\,\mathrm{N} \mid 53{,}03\,\mathrm{N}) \]

\[ \vec{F_1} + \vec{F_2} = \begin{pmatrix}-63{,}39\\ 135{,}95\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}53{,}03\\ 53{,}03\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10{,}36\\ 188{,}98\end{pmatrix}\ \mathrm{N} \]

\[ |\vec{F_G}| = \sqrt{(-10{,}36\,\mathrm{N})^2 + (188{,}98\,\mathrm{N})^2} = 189{,}26\,\mathrm{N} \]

1. Zeit bestimmen. Aus \(s = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\) und \(a = \tfrac{v}{t}\) folgt \(s = \tfrac{1}{2}\cdot v\cdot t\), also

\[ t = \frac{2s}{v} = \frac{2\cdot 62{,}5\,\mathrm{m}}{25\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = \frac{125\,\mathrm{m}}{25\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = 5\,\mathrm{s} \]

2. Beschleunigung bestimmen.

\[ a = \frac{v}{t} = \frac{25\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{5\,\mathrm{s}} = 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \]

3. Kraft berechnen. \(m = 0{,}7\,\mathrm{t} = 700\,\mathrm{kg}\)

\[ F = m\cdot a = 700\,\mathrm{kg}\cdot 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \mathbf{3500\,\mathrm{N}} \]

Richtig ist c): Die Waage zeigt immer dasselbe Gewicht an — unabhängig davon, ob die Fliegen auf dem Boden sitzen oder im Glas herumfliegen.

Begründung mit dem Wechselwirkungsprinzip (3. newtonsches Gesetz):

Damit eine Fliege in der Luft bleibt, drückt sie mit den Flügeln Luft nach unten. Die Luft drückt nach dem Wechselwirkungsprinzip mit derselben Kraft zurück und trägt die Fliege.

Die nach unten beschleunigte Luft gibt diese Kraft am Glasboden wieder ab. Das geschlossene System aus Glas, Luft und Fliegen wiegt deshalb immer gleich viel.

Kurz gesagt: Die Gewichtskraft der Fliegen verschwindet nicht, sie wird nur über die Luft an den Glasboden weitergereicht.

(1) Tischdecke unter dem Geschirr wegziehen → Trägheitsprinzip
Das Geschirr behält seinen Ruhezustand, weil die Reibung zu kurz und zu schwach wirkt.

(2) Stärker in die Pedale treten → Aktionsprinzip
Größere Kraft bei gleicher Masse ergibt größere Beschleunigung: \(a = \tfrac{F}{m}\).

(3) Verhakte Federkraftmesser → Wechselwirkungsprinzip
Beide zeigen stets denselben Wert an, egal wer zieht.

(4) Schwerer und leichter Koffer → Aktionsprinzip
Bei größerer Masse braucht man für dieselbe Beschleunigung eine größere Kraft.

(5) Ruckartiger Start der Achterbahn → Trägheitsprinzip
Dein Körper verharrt in Ruhe, während der Wagen schon beschleunigt.

\[ |\vec{F_1}| = \sqrt{(1500\,\mathrm{N})^2 + (1700\,\mathrm{N})^2} = 2267{,}16\,\mathrm{N} \]

\[ |\vec{F_2}| = \sqrt{(1100\,\mathrm{N})^2 + (-900\,\mathrm{N})^2} = 1421{,}27\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_R} = \begin{pmatrix}1500\\ 1700\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1100\\ -900\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2600\\ 800\end{pmatrix}\ \mathrm{N} \]

Also \(\vec{F_R} = (2600\,\mathrm{N} \mid 800\,\mathrm{N})\).

\[ |\vec{F_R}| = \sqrt{(2600\,\mathrm{N})^2 + (800\,\mathrm{N})^2} = 2720{,}29\,\mathrm{N} \]

\(m = 600\,\mathrm{t} = 600\,000\,\mathrm{kg}\)

\[ a = \frac{2720{,}29\,\mathrm{N}}{600\,000\,\mathrm{kg}} = 0{,}0045\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \]

Linke Person \((150\,\mathrm{N},\ \alpha = 20^\circ)\):

\[ \sin(20^\circ)\cdot 150\,\mathrm{N} = 51{,}30\,\mathrm{N} \qquad \cos(20^\circ)\cdot 150\,\mathrm{N} = 140{,}95\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_1} = (-51{,}30\,\mathrm{N} \mid 140{,}95\,\mathrm{N}) \]

Rechte Person \((|\vec{F_2}| = 75\,\mathrm{N},\ \beta = 35^\circ)\):

\[ \sin(35^\circ)\cdot 75\,\mathrm{N} = 43{,}02\,\mathrm{N} \qquad \cos(35^\circ)\cdot 75\,\mathrm{N} = 61{,}44\,\mathrm{N} \]

\[ \vec{F_2} = (43{,}02\,\mathrm{N} \mid 61{,}44\,\mathrm{N}) \]

\[ \vec{F_G} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = \begin{pmatrix}-51{,}30\\ 140{,}95\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}43{,}02\\ 61{,}44\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8{,}28\\ 202{,}39\end{pmatrix}\ \mathrm{N} \]

\[ |\vec{F_G}| = \sqrt{(-8{,}28\,\mathrm{N})^2 + (202{,}39\,\mathrm{N})^2} = \mathbf{202{,}56\,\mathrm{N}} \]