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Mehrere Kräfte zusammensetzen

Gleiche Richtung: addieren. Entgegengesetzt: subtrahieren. Beliebige Richtung: Kräfteparallelogramm — und am Ende eine Formel mit Cosinus.

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Einstieg — Wenn nicht nur eine Kraft zieht

Bisher wirkte immer nur eine Kraft — in der Wirklichkeit ziehen fast nie alle an einem Strang.

Frage 1 · Darf man Kräfte einfach addieren?Zwei Pferde ziehen einen Wagen, jedes mit 800 N. Sind das 1600 N? Und was ist, wenn das zweite Pferd in die Gegenrichtung zieht — sind es dann immer noch 1600 N?
Frage 2 · Und wenn es schräg zugeht?Zwei Schlepper ziehen ein Schiff, aber nicht parallel, sondern über Kreuz. Addieren geht jetzt nicht mehr, subtrahieren auch nicht. Wie findet man die Gesamtwirkung?

Das Bild dazu ist ein Tauziehen:

  • Gleich stark:Das Band in der Mitte rührt sich nicht, obwohl alle mit voller Kraft ziehen.
  • Eine stärker:Das Band bewegt sich, aber langsamer, als es die einzelne Kraft vermuten lässt.
  • Folge:Mehrere Kräfte ersetzt man durch eine einzige Kraft mit derselben Wirkung.
  • Name:Diese eine Kraft heißt resultierende Kraft.
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Erklärung — Die Wirkung von mehreren Kräften

Mehrere Kräfte lassen sich stets zu einer Kraft mit derselben Wirkung zusammenfassen, der resultierenden Kraft \( \vec{F}_R \).

Drei Fälle — mehr gibt es nicht
Wie man \( \vec{F}_R \) findet, hängt nur von den Richtungen ab.
Fall 1

Gleiche Richtung: \( F = F_1 + F_2 \)

Fall 2

Entgegengesetzte Richtung: \( F = F_2 - F_1 \)

Fall 3

Beliebige Richtungen: zeichnerisch über ein Parallelogramm.

1 · gleiche Richtung F₁ F₂ F 2 · entgegengesetzte Richtung F₁ F₂ F 3 · beliebige Richtungen α F₂ F₁ F
Fall 1 · gleiche Richtung
\( F = F_1 + F_2 \)

Die Pfeile werden hintereinandergesetzt. Die resultierende Kraft ist so lang wie beide zusammen und zeigt in dieselbe Richtung.

Fall 2 · entgegengesetzte Richtung
\( F = F_2 - F_1 \)
\(F_2\)

Die größere der beiden Kräfte.

Richtung

Die resultierende Kraft zeigt in Richtung der größeren Kraft.

Zu Fall 2: Die kleinere Kraft wird von der größeren Kraft abgezogen. Sind beide Kräfte gleich groß, so ist die resultierende Kraft gleich Null.

Fall 3: das Kräfteparallelogramm

Zeigen die Kräfte weder in dieselbe noch in die genau entgegengesetzte Richtung:

  • Rechnen hilft nicht:Weder Addieren noch Subtrahieren der Beträge führt zum Ziel.
  • Zeichnerisch:Man konstruiert ein Parallelogramm und liest \(\vec{F}_R\) daran ab.
  • Angriffspunkt:Beide Kräfte gehen dabei vom selben Punkt aus.
So wird konstruiert: Beide Pfeile maßstabsgetreu vom gemeinsamen Angriffspunkt zeichnen, dann zu jedem Pfeil vom Ende des anderen aus eine gestrichelte Parallele ziehen. Die Diagonale vom Angriffspunkt zum Schnittpunkt ist \(\vec{F}_R\).

Ein kleiner Einblick ins Mathematik-Studium

Man kann \( \vec{F}_R \) auch berechnen, statt sie zu messen — mit \( \alpha \) als Winkel zwischen den beiden Kräften:

α F₁ F₂ FR x y
Resultierende Kraft im Parallelogramm
\( F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_2 \cdot F_1 \cdot \cos\alpha} \)
\( \alpha \)

Winkel zwischen \( \vec{F}_1 \) und \( \vec{F}_2 \).

\(x\), \(y\)

Abschnitte des rechtwinkligen Dreiecks, das durch das Lot entsteht.

Lot

Gefällt vom Endpunkt von \( \vec{F}_R \) auf die Verlängerung von \( \vec{F}_2 \).

Der Beweis braucht nur den Satz des Pythagoras und \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \):

\( x = F_1 \cdot \cos\alpha \qquad y = F_1 \cdot \sin\alpha \)Lot fällen
\( F_R^2 = (F_2 + x)^2 + y^2 \)Pythagoras
\( F_R^2 = (F_2 + F_1\cos\alpha)^2 + (F_1\sin\alpha)^2 \)einsetzen
\( F_R^2 = F_2^2 + 2 F_2 F_1 \cos\alpha + F_1^2\cos^2\alpha + F_1^2\sin^2\alpha \)ausmultiplizieren
\( F_R^2 = F_2^2 + 2 F_2 F_1 \cos\alpha + F_1^2\,(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) \)ausklammern
\( F_R^2 = F_2^2 + F_1^2 + 2 F_2 F_1 \cos\alpha \)Klammer = 1
\( F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_2 \cdot F_1 \cdot \cos\alpha} \)Wurzel ziehen

Die Formel enthält die beiden einfachen Fälle bereits als Sonderfälle:

  • \( \alpha = 0^\circ \):\( \cos\alpha = 1 \), also \( F_R = \sqrt{(F_1+F_2)^2} = F_1 + F_2 \) — das ist Fall 1.
  • \( \alpha = 180^\circ \):\( \cos\alpha = -1 \), also \( F_R = \sqrt{(F_2-F_1)^2} = |F_2 - F_1| \) — das ist Fall 2.
  • Fazit:Es sind keine drei Regeln, sondern eine einzige Formel für jeden Winkel.
Die drei Fälle auf einen Blick
FallRichtungenKonstruktionRechnung
1gleiche Richtung (\(\alpha = 0^\circ\))Pfeile hintereinandersetzen\(F = F_1 + F_2\)
2entgegengesetzt (\(\alpha = 180^\circ\))Pfeile gegeneinandersetzen\(F = F_2 - F_1\)
3beliebiger Winkel \(\alpha\)Parallelogramm, Diagonale\(F_R = \sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_2F_1\cos\alpha}\)
✓ Frage 1 gelöstNur bei gleicher Richtung darf man addieren: \(800\,\mathrm{N} + 800\,\mathrm{N} = 1600\,\mathrm{N}\). Bei entgegengesetzter Richtung wird die kleinere Kraft von der größeren abgezogen — bei gleich großen Kräften bleibt \(0\,\mathrm{N}\) übrig.
✓ Frage 2 gelöstBei beliebigen Richtungen konstruiert man das Kräfteparallelogramm: Die Diagonale vom gemeinsamen Angriffspunkt ist \(\vec{F}_R\). Rechnerisch liefert \(F_R = \sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_2F_1\cos\alpha}\) denselben Wert.
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Interaktiv — Das Kräfteparallelogramm

Das Parallelogramm wird live konstruiert, und die Formel rechnet mit den eingestellten Werten mit.

Kräfteparallelogramm

gemeinsamer Angriffspunkt F₁ F₂ FR α
60 N
80 N
60°

Zwischen 0° und 180° ändert sich die Länge der roten Diagonale: bei 0° so lang wie beide Kräfte zusammen, bei 180° nur noch so lang wie ihre Differenz. Bei 0° und 180° liegen alle drei Pfeile auf einer Geraden, die rote ist dort zur Sichtbarkeit darunter gezeichnet.

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Hinweise — Worauf du achten solltest

Drei häufige Stolperstellen:

Hinweis

Beträge addieren geht nur in Fall 1: Zwei Kräfte von je 900 N ergeben 1800 N in derselben Richtung, aber 0 N gegeneinander. Entschieden wird über die Richtung.

Hinweis

\(F_R\) ist nicht immer größer als jede Einzelkraft: Bei stumpfem Winkel kann sie kleiner sein, bei \(\alpha = 180^\circ\) und gleichen Beträgen sogar null. Größer als \(F_1 + F_2\) wird sie nie.

Hinweis

\(\vec{F}_R\) ist keine Seite des Parallelogramms: Die Seiten sind die Einzelkräfte und ihre Parallelen. \(\vec{F}_R\) ist die Diagonale, die im gemeinsamen Angriffspunkt beginnt.

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