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Kräfte als Vektoren

Eine Kraft ist eine gerichtete Größe: Nicht nur wie stark, sondern auch wohin. Angriffspunkt, Richtung, Betrag und Wirkungslinie am Kraftpfeil.

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Einstieg — Wie stark — und wohin?

Eine Kraft ist eine gerichtete Größe — deshalb zeichnet man Kräfte als Pfeile.

Frage 1 · Warum genügt die Zahl allein nicht?„Es wirkt eine Kraft von 50 N.“ — damit ist noch nichts entschieden. Was fehlt zu dieser Angabe, und wie schreibt man es auf, ohne einen ganzen Satz zu formulieren?
Frage 2 · Wie bekommt man 420 N auf ein Blatt?Ein Pfeil soll umso länger sein, je größer die Kraft ist. Aber 420 Zentimeter passen in kein Heft. Wie zeichnet man große und kleine Kräfte trotzdem im selben Bild?

Zwei Personen ziehen an einem Seil, jede mit 50 N:

  • Gegeneinander:Es passiert nichts, die Wirkungen heben sich auf.
  • Miteinander:Es wirken 100 N in dieselbe Richtung.
  • Die Zahl allein:Sie ist beide Male dieselbe — entschieden hat allein die Richtung.
  • Folge:Eine Kraft braucht eine Darstellung, die beides zeigt: wie stark und wohin.
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Erklärung — Der Kraftpfeil und seine vier Bestandteile

Ein Kraftpfeil ist mehr als ein Strich mit Spitze: An ihm lassen sich vier Dinge ablesen.

Die vier Bestandteile eines Kraftpfeils
Erst alle vier Angaben beschreiben eine Kraft vollständig.
Angriffspunkt

Der Punkt, an dem der Pfeil beginnt. Dort greift die Kraft am Körper an.

Richtung

Wohin die Pfeilspitze zeigt.

Betrag

Die Länge des Vektors. Sie sagt, wie stark die Kraft ist.

Wirkungslinie

Die gestrichelte Gerade, auf der der Pfeil liegt und die über ihn hinaus verlängert wird.

Betrag Richtung Angriffspunkt Wirkungslinie
Vektorielle Größen
\( \vec{F} \)
Vektor

Ein Pfeil mit bestimmter Richtung und Länge.

Beispiele

Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind vektorielle Größen.

Maßstab
1 cm ≙ 2 N

Der Maßstab wird vor dem Zeichnen vereinbart. Er sagt, wie viele Newton ein Zentimeter Pfeillänge bedeutet.

Vektoren — Pfeile mit Richtung und Länge

In Physik und Geometrie sind Vektoren gerichtete Größen, also Pfeile mit Richtung und Länge.

  • Vektorielle Größen:Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft gehören dazu.
  • Länge:Sie übernimmt die Aufgabe der Zahl und ist der Betrag der Kraft.
  • Richtung:Sie sagt, wohin die Kraft wirkt. Mit dem Betrag zusammen ist die Kraft vollständig beschrieben.
  • Wirkungslinie:Die Gerade, auf der der Pfeil liegt — gestrichelt und über beide Enden hinaus verlängert.
  • Angriffspunkt:Er legt fest, wo am Körper die Kraft angreift. Der Pfeil beginnt dort.

Vom Betrag zur Pfeillänge: der Maßstab

Mit einem vereinbarten Maßstab wie 1 cm ≙ 2 N geht es in beide Richtungen — hier der Weg vom Betrag zur Länge:

1 cm ≙ 2 NMaßstab vereinbaren
\( \ell = \dfrac{F}{2\,\mathrm{N/cm}} = \dfrac{17{,}4\,\mathrm{N}}{2\,\mathrm{N/cm}} \)Betrag einsetzen
\( \ell = 8{,}7\,\mathrm{cm} \)Pfeillänge

Derselbe Maßstab rückwärts, also von der gemessenen Länge zum Betrag:

\( \ell = 3{,}3\,\mathrm{cm} \)Pfeil ausmessen
\( F = \ell \cdot 2\,\mathrm{N/cm} = 3{,}3\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{N/cm} \)mit dem Maßstab multiplizieren
\( F = 6{,}6\,\mathrm{N} \)Betrag der Kraft
Der Maßstab richtet sich nach der Kraft. Große Kräfte brauchen einen groben Maßstab (1 cm ≙ 100 N), damit der Pfeil aufs Blatt passt, kleine einen feinen (1 cm ≙ 1 N), damit er sichtbar wird.
Vier gebräuchliche Maßstäbe
Maßstabgeeignet fürBeispielkraftPfeillänge
1 cm ≙ 1 Nsehr kleine Kräfte3 N3,0 cm
1 cm ≙ 2 Nkleine Kräfte17,4 N8,7 cm
1 cm ≙ 10 Nmittlere Kräfte55 N5,5 cm
1 cm ≙ 100 Nsehr große Kräfte420 N4,2 cm
✓ Frage 1 gelöstZur Zahl gehört die Richtung. Beides steckt in einem Kraftpfeil: Der Angriffspunkt sagt wo, die Richtung sagt wohin, der Betrag (die Länge) sagt wie stark, und die Wirkungslinie zeigt die Gerade, auf der die Kraft liegt.
✓ Frage 2 gelöstMan vereinbart einen Maßstab. Mit 1 cm ≙ 100 N wird aus 420 N ein Pfeil von 4,2 cm — und mit 1 cm ≙ 1 N aus 3 N ein Pfeil von 3,0 cm. Beide passen aufs Blatt.
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Interaktiv — Der Kraftpfeil

Betrag, Richtung und Maßstab der Kraft lassen sich unabhängig verändern. Beobachte, welcher der vier Bestandteile sich mit welchem Regler ändert.

Betrag, Richtung, Maßstab

Körper (blau) · Angriffspunkt in seiner Mitte Rand der Zeichenfläche: 7 cm So lang ist 1 cm in dieser Zeichnung: 0 5 cm 10 cm
40 N
30°

Der Betrag ändert nur die Länge, der Winkel nur die Richtung; der Angriffspunkt bleibt derselbe. Der Maßstab verändert die Kraft nicht, sondern nur ihre Länge auf dem Papier.

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Hinweise — Worauf du achten solltest

Drei häufige Stolperstellen:

Hinweis

Länge nur bei gleichem Maßstab vergleichbar: 4,2 cm bei 1 cm ≙ 100 N sind 420 N, 8,7 cm bei 1 cm ≙ 2 N nur 17,4 N. Zu jeder Zeichnung gehört deshalb der Maßstab.

Hinweis

Der Angriffspunkt ist nicht egal: Er sagt, wo die Kraft am Körper angreift, und gehört zur Darstellung dazu. Der Pfeil beginnt dort — er endet nicht dort.

Hinweis

Wirkungslinie ist nicht der Kraftpfeil: Der Pfeil hat Anfang, Ende und Spitze. Die Wirkungslinie ist eine gestrichelte Gerade ohne Länge und ohne Spitze.

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