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Der Betrag eines Vektors

Wie lang ist der Pfeil? Der Satz des Pythagoras macht aus zwei Koordinaten eine einzige Zahl — den Betrag der Kraft.

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Einstieg — Zwei Zahlen — aber wie stark zieht es denn nun?

Im vorigen Kapitel ist aus jedem Kraftpfeil ein Zahlenpaar geworden.

  • Stand bisher:Komponentenweises Addieren lieferte \( \vec{F}_{\mathrm{Res}} = \begin{pmatrix} 23\,\mathrm{kN} \\ 6\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} \).
  • Problem:In \( F = m \cdot a \) darf man kein Zahlenpaar einsetzen.
  • Gesucht:Dort muss eine einzige Zahl stehen — die Stärke der Kraft.
Frage 1 · Wie wird aus zwei Zahlen eine?Der Vektor \( \begin{pmatrix} 23 \\ 6 \end{pmatrix} \) beschreibt eine Kraft vollständig — Stärke und Richtung. Welche eine Zahl beschreibt allein die Stärke? Und wie kommt man an sie heran?
Frage 2 · Was macht das Minuszeichen?Der Vektor \( \begin{pmatrix} -20 \\ 21 \end{pmatrix} \) hat eine negative Koordinate. Ist seine „Stärke“ dann auch negativ? Kann ein Pfeil überhaupt eine negative Länge haben?

Das Bild dazu kennst du vom Stadtplan.

  • Weg:4 Straßen nach Osten, 3 nach Norden — zurückgelegt hast du 7 Straßen.
  • Luftlinie:Vom Start bist du trotzdem nur 5 Straßen entfernt.
  • Betrag:Genau diese direkte Strecke vom Start bis zur Spitze ist der Betrag des Vektors.
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Erklärung — Der Betrag — Definition, Schreibweise, Formel

Der Betrag eines Vektors ist die Länge der Strecke vom Angriffspunkt bis zur Spitze des Pfeils.

Die drei Kernaussagen
Der Betrag ist eine reine Zahl mit Einheit — ohne Richtung.
Bedeutung

Der Betrag ist die Länge der Strecke vom Angriffspunkt bis zur Spitze des Pfeils.

Notation

Zum Vektor \( \vec{a} \) gehört die Schreibweise \( |\vec{a}| \).

Berechnung

Für \( \vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) liefert der Satz des Pythagoras \( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Der Betrag ist die Länge des Pfeils. Angriffspunkt Spitze x y |a⃗|
Notation des Betrags
\( |\vec{a}| \)
Gelesen

„Betrag von a“.

Die zwei Striche

Von diesem Vektor interessiert nur noch die Länge, nicht die Richtung.

Berechnung über den Satz des Pythagoras
\( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
\( \vec{a} \)

Vektor mit \( \vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \).

x, y

Die beiden Koordinaten des Vektors, also die Katheten des Steigungsdreiecks.

Warum ausgerechnet Pythagoras?

Zeichne zu einem Vektor sein Steigungsdreieck — damit ist die Voraussetzung für Pythagoras erfüllt.

  • Katheten:Erst die x-Strecke waagerecht, dann die y-Strecke senkrecht.
  • Rechter Winkel:Beide Strecken treffen sich unter 90°.
  • Hypotenuse:Der Pfeil selbst schließt das Dreieck — der Rest ist Rechnen:
\( \vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)Steigungsdreieck zeichnen
Katheten: \( x \) und \( y \)  ·  Hypotenuse: \( |\vec{a}| \)rechter Winkel dazwischen
\( |\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 \)Satz des Pythagoras
\( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \)Wurzel ziehen

Drei Beispiele — dreimal derselbe Weg

Berechne die Beträge der Vektoren \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \), \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} \) und \( \vec{c} = \begin{pmatrix} -20 \\ 21 \end{pmatrix} \).

Dreimal dieselben vier Schritte — jedes Mal mit weniger Hilfestellung. Lies Stufe 1 mit, rechne Stufe 2 im Kopf mit und decke Stufe 3 beim zweiten Durchgang ab.

Stufe 1 · vollständig vorgerechnet
1Formel hinschreiben und Koordinaten ablesen. Die erste Koordinate ist \(x\), die zweite \(y\). \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \)  →  \( x = 4 \), \( y = 3 \)  ·  \( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
2Einsetzen und quadrieren. \( |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} \)
3Wurzel ziehen und antworten. \( |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \mathbf{5} \) Der Pfeil ist fünf Kästchen lang — obwohl seine Koordinaten 4 und 3 sind.
Stufe 2 · nur noch die Rechnung
4Zweiter Vektor. Diesmal ohne Zwischenkommentar — die Schritte sind dieselben. \( |\vec{b}| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = \mathbf{15} \)
Stufe 3 · nur noch einsetzen
5Dritter Vektor — mit negativer Koordinate. Die \(-20\) wird beim Einsetzen eingeklammert, damit auch das Minuszeichen mitquadriert wird. \( |\vec{c}| = \sqrt{(-20)^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = \mathbf{29} \)
Der Betrag ist niemals negativ. Beim Quadrieren fällt jedes Minuszeichen weg, \( (-20)^2 = 400 \) — und eine Länge von \(-29\) gäbe ohnehin keinen Sinn.

Wozu man den Betrag in der Physik braucht

Der Betrag liefert den Zahlenwert in Newton für Formeln wie \( F = m \cdot a \) — aus \( \begin{pmatrix} 23\,\mathrm{kN} \\ 6\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} \) wird so ein einziger Kraftwert:

\( |\vec{F}_{\mathrm{Res}}| = \sqrt{(23\,\mathrm{kN})^2 + (6\,\mathrm{kN})^2} \)einsetzen
\( = \sqrt{23^2\,\mathrm{kN}^2 + 6^2\,\mathrm{kN}^2} = \sqrt{565\,\mathrm{kN}^2} \)quadrieren, addieren
\( \approx 23{,}8\,\mathrm{kN} \)Wurzel ziehen

Beachte die Einheit: Sie wird mitquadriert und beim Wurzelziehen wieder zu kN — erst mit dieser einen Zahl lässt sich etwa \( a = \frac{F}{m} \) berechnen.

Die Beispiele auf einen Blick
VektorxyRechnungBetrag
\( \vec{a} \)43\( \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} \)5
\( \vec{b} \)912\( \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} \)15
\( \vec{c} \)−2021\( \sqrt{(-20)^2 + 21^2} = \sqrt{841} \)29
\( \vec{F}_{\mathrm{Res}} \)23 kN6 kN\( \sqrt{23^2 + 6^2} = \sqrt{565} \)≈ 23,8 kN
✓ Frage 1 gelöstDie eine Zahl ist der Betrag \( |\vec{F}| \) — die Länge des Pfeils vom Angriffspunkt bis zur Spitze. Man erhält sie über den Satz des Pythagoras: \( |\vec{F}_{\mathrm{Res}}| = \sqrt{23^2 + 6^2}\,\mathrm{kN} \approx 23{,}8\,\mathrm{kN} \).
✓ Frage 2 gelöstNein. Das Minuszeichen verschwindet beim Quadrieren: \( (-20)^2 = 400 \). Deshalb ist \( |\vec{c}| = 29 \) und nicht \(-29\). Ein Betrag ist eine Länge und damit nie negativ.
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Interaktiv — Der Betrag im Steigungsdreieck

Das Steigungsdreieck wird live mitgezeichnet: rot die x-Strecke, grün die y-Strecke, violett der Vektor. Mit Quadrate zeigen erscheint der Satz des Pythagoras als Flächen.

Zwei Koordinaten, eine Länge

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Rotes und grünes Quadrat ergeben zusammen immer genau das violette — deshalb steht unter der Wurzel \( x^2 + y^2 \). Bei negativen Koordinaten klappt das Dreieck um, Flächen und Betrag bleiben gleich.

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Hinweise — Worauf du achten solltest

Drei häufige Stolperstellen:

Hinweis

„Der Betrag ist die Summe der Koordinaten.“ Nein: Bei \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \) wären das 7, der Betrag ist aber 5. Addieren hieße, den Umweg über die Ecke zu gehen.

Hinweis

„Eine negative Koordinate gibt einen negativen Betrag.“ Nein, das Minuszeichen fällt beim Quadrieren weg: \( |\vec{c}| = \sqrt{400 + 441} = 29 \). Schreibe beim Einsetzen die Klammer, denn \( -20^2 \) wäre \( -400 \).

Hinweis

„Mit den Kräften addieren sich auch ihre Beträge.“ Nur bei gleicher Richtung: \( 12{,}73 + 14{,}32 = 27{,}05 \), der Betrag der Summe ist aber nur \( 23{,}8 \). Erst die Vektoren addieren, dann den Betrag bilden.

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