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Kräfte zerlegen

Der umgekehrte Weg: Aus Betrag und Winkel die beiden Koordinaten berechnen. Damit werden auch schräge Kräfte rechenbar.

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Einstieg — Der Weg zurück: vom Winkel zu den Koordinaten

Jetzt drehen wir die Aufgabe des letzten Kapitels um.

  • Bisher:Der Vektor war gegeben, gesucht war sein Betrag.
  • Jetzt:Betrag und Winkel sind bekannt, gesucht sind die beiden Koordinaten.
  • Werkzeug:Sinus und Cosinus — bekannt aus der Mathematik.
Frage 1 · Wie kommt man vom Pfeil zum Zahlenpaar?Ein Auto fährt 80 km/h in Richtung O35°N. Betrag und Richtung sind damit vollständig beschrieben — aber wie groß sind die beiden Koordinaten des Vektors \( \vec{v} \)?
Frage 2 · Sinus oder Cosinus?Beide Winkelfunktionen liefern eine Kathete. Aber welche gehört zur waagerechten und welche zur senkrechten Koordinate? Und warum hängt das davon ab, wo der Winkel eingezeichnet ist?

Das Bild dazu: Zwei Schüler tragen gemeinsam eine schwere Tasche.

  • Aufbau:Jeder zieht schräg nach oben, zwischen den beiden Kräften liegt ein Winkel.
  • Problem:Schräge Pfeile lassen sich nicht einfach addieren.
  • Lösung:Jede Kraft in eine waagerechte und eine senkrechte Koordinate zerlegen — aus der Zeichnung wird eine Rechnung.
  • Ergebnis:Die Gewichtskraft der Tasche fällt am Ende von selbst heraus.
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Erklärung — Kräfte zerlegen mit Sinus und Cosinus

Man legt an den Kraftpfeil ein rechtwinkliges Dreieck, in dem der Pfeil selbst die Hypotenuse ist.

Die drei Kernaussagen
\( x = \sin(\alpha) \cdot |\vec{F}| \quad\text{und}\quad y = \cos(\alpha) \cdot |\vec{F}| \)
Dreieck

Der Kraftpfeil ist die Hypotenuse; die waagerechte und die senkrechte Kathete sind die Koordinaten.

Sinus oder Cosinus

Welche Funktion zu welcher Koordinate gehört, entscheidet die Lage des Winkels.

Danach

Komponentenweise addieren (2.2.3), Betrag bilden (2.2.4), Winkel über den Tangens.

Die Erinnerung vom Arbeitsblatt

Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) mit dem rechten Winkel bei \(C\) gelten die drei Winkelfunktionen — reine Seitenverhältnisse, die nur vom Winkel \( \alpha \) abhängen, nicht von der Größe des Dreiecks.

α A B C a b c a = Gegenkathete · b = Ankathete c = Hypotenuse
Die drei Winkelfunktionen
\( \sin(\alpha) = \dfrac{a}{c} \;,\quad \cos(\alpha) = \dfrac{b}{c} \;,\quad \tan(\alpha) = \dfrac{a}{b} \)
Gegenkathete \(a\)

Liegt dem Winkel gegenüber und gehört zum Sinus.

Ankathete \(b\)

Liegt am Winkel an und gehört zum Cosinus.

Hypotenuse \(c\)

Die längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Das Dreieck am Kraftpfeil

Jetzt übertragen wir das auf den Vektor.

  • Hypotenuse:Der Kraftpfeil selbst, sein Betrag \( |\vec{F}| \) ist die Seite \(c\).
  • Katheten:Die waagerechte Koordinate \(x\) und die senkrechte Koordinate \(y\).
  • Umstellen:Nach der gesuchten Kathete aufgelöst, folgt sofort:
N O α x y |F| α von der Senkrechten aus gemessen
Zerlegung eines Vektors
\( x = \sin(\alpha) \cdot |\vec{F}| \;,\quad y = \cos(\alpha) \cdot |\vec{F}| \)
\( \alpha \)

Wird hier von der Senkrechten aus gemessen, so wie im Bild.

\(x\)

Waagerechte Koordinate — hier die Gegenkathete.

\(y\)

Senkrechte Koordinate — hier die Ankathete.

Die wichtigste Regel dieses Kapitels. Bei Kursangaben wie O35°N liegt der Winkel an der Nordrichtung: Dann gehört \( \sin \) zur waagerechten und \( \cos \) zur senkrechten Koordinate — liegt er an der waagerechten Achse, ist es umgekehrt. Deshalb gilt: erst zeichnen, dann rechnen.

Der Rechenweg an einem Beispiel

Ein Auto fährt mit \( 80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \) in Richtung O35°N — der Winkel von 35° liegt damit an der senkrechten Achse.

\( |\vec{v}| = 80\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \), \( \alpha = 35^\circ \)gegeben
\( \sin(\alpha) = \dfrac{v_2}{|\vec{v}|} \)  und  \( \cos(\alpha) = \dfrac{v_1}{|\vec{v}|} \)Dreieck ansetzen
\( v_2 = \sin(35^\circ) \cdot 80\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx 45{,}9\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)waagerecht
\( v_1 = \cos(35^\circ) \cdot 80\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \approx 65{,}5\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)senkrecht
\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 45{,}9 \\ 65{,}5 \end{pmatrix} \tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \)Ergebnis

Lies das Ergebnis Zeile für Zeile:

  • Obere Zeile:Der Sinus-Wert — waagerechte Koordinate, weil der Winkel an der Senkrechten liegt.
  • Untere Zeile:Der Cosinus-Wert für die senkrechte Koordinate.
  • Achtung:Liegt derselbe Winkel an der Ostrichtung, stehen beide Werte genau umgekehrt.

Zerlegen, addieren, Betrag bilden

Das Zerlegen ist selten der letzte Schritt: Wirken mehrere Kräfte, addiert man die zerlegten Vektoren komponentenweise und bildet vom Ergebnis den Betrag.

\( \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \)2.2.3
\( |\vec{F}| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 + (y_1+y_2)^2} \)2.2.4
\( \tan(\gamma) = \dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2} \)Winkel

Neu ist der letzte Schritt: Aus beiden Koordinaten liefert der Tangens den Winkel des Ergebnisvektors — Gegenkathete durch Ankathete, dann auf dem Taschenrechner die Taste \( \tan^{-1} \).

Die drei Winkelfunktionen im Überblick
FunktionDefinitionNach der Kathete umgestelltWofür in diesem Kapitel
\( \sin(\alpha) \)\( \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c} \)\( a = \sin(\alpha)\cdot c \)Kathete gegenüber dem Winkel — bei Kursangaben die waagerechte Koordinate
\( \cos(\alpha) \)\( \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c} \)\( b = \cos(\alpha)\cdot c \)Kathete am Winkel — bei Kursangaben die senkrechte Koordinate
\( \tan(\alpha) \)\( \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b} \)\( \alpha = \tan^{-1}\!\left(\frac{a}{b}\right) \)Winkel des Ergebnisvektors aus seinen beiden Koordinaten
✓ Frage 1 gelöstMan legt ein rechtwinkliges Dreieck an, in dem der Pfeil die Hypotenuse ist. Aus \( x = \sin(35^\circ)\cdot 80\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \) und \( y = \cos(35^\circ)\cdot 80\,\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \) folgt \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 45{,}9 \\ 65{,}5 \end{pmatrix}\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \).
✓ Frage 2 gelöstEs entscheidet die Lage des Winkels: Zur Kathete gegenüber dem Winkel gehört der Sinus, zur Kathete am Winkel der Cosinus. Bei Kursangaben liegt der Winkel an der Senkrechten — also \( \sin \) für waagerecht, \( \cos \) für senkrecht.
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Interaktiv — Vom Winkel zum Vektor

Das Dreieck wird live an den Pfeil gelegt und der Rechenweg mitgeschrieben. Der zweite Vektor zeigt die komponentenweise Addition.

Kraft zerlegen

N O S W 100 200 300 F₂ F₁+F₂ α₁ x₁ y₁ F₁
200 N
35°

Achte auf die Grenzfälle: Bei \( \alpha = 0^\circ \) ist die waagerechte Koordinate null \(( \sin(0^\circ) = 0 )\), bei \( \alpha = 90^\circ \) die senkrechte \(( \cos(90^\circ) = 0 )\). Dazwischen wandert „Gewicht“ von der einen Koordinate zur anderen, der Betrag bleibt gleich.

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Hinweise — Worauf du achten solltest

Drei häufige Stolperstellen:

Hinweis

„Waagerecht rechnet man immer mit dem Cosinus.“ Nein — bei Kursangaben wie O35°N liegt der Winkel an der Nordrichtung, dann gehört die waagerechte Koordinate zum Sinus. Zeichne erst das Dreieck, dann wähle die Funktion.

Hinweis

„Die Vorzeichen ergeben sich von selbst.“ Nein: Sinus und Cosinus liefern zwischen 0° und 90° nur positive Längen — das Minus kommt allein aus der Richtung (links negatives \(x\), unten negatives \(y\)), etwa \( \vec{F}_1 = \begin{pmatrix} -141{,}42 \\ 141{,}42 \end{pmatrix}\mathrm{N} \).

Hinweis

„Der Betrag der Summe ist die Summe der Beträge.“ Nein — erst zerlegen, dann komponentenweise addieren, dann den Betrag bilden. Zwei Kräfte von je 200 N mit 90° dazwischen ergeben nur \( 282{,}84\,\mathrm{N} \), weil sich die waagerechten Anteile aufheben.

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