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Gewichtskraft und Ortsfaktor

Masse bleibt überall gleich, die Gewichtskraft nicht. Warum eine Waage auf dem Mond etwas anderes anzeigt — und was g damit zu tun hat.

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Einstieg — Die Kraft, die immer nach unten zeigt

Eine Kraft wirkt auch dann, wenn niemand etwas tut — sie zieht jeden Körper in Richtung Erdmittelpunkt.

Frage 1 · Was ist die Gewichtskraft?Ein Buch liegt auf dem Tisch, und trotzdem wirkt eine Kraft auf es. Woher kommt sie, wohin zeigt sie — und wie rechnet man sie aus?
Frage 2 · Warum wiegt man auf dem Mond weniger?Astronauten hüpfen auf dem Mond, als wären sie federleicht. Sind sie dort wirklich leichter — oder ändert sich etwas ganz anderes?

Bisher war eine Kraft immer etwas, das jemand ausübt: ziehen, schieben, treten. Das Bild zur neuen Kraft liefert die Personenwaage.

  • Anzeige:Sie zeigt eine Zahl in Kilogramm — messen kann sie das gar nicht.
  • Gemessen wird:Im Inneren wird eine Feder zusammengedrückt, also eine Kraft.
  • Auf dem Mond:Dieselbe Waage zeigt dort eine andere Zahl, obwohl der Mensch derselbe geblieben ist.
  • Darum:Diese Kraft bekommt jetzt einen eigenen Namen und eine eigene Formel.
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Erklärung — Gewichtskraft, Erdbeschleunigung, Ortsfaktor

Wirkt eine Kraft in Richtung Erdmittelpunkt, so spricht man von der Gewichtskraft \( F_G \).

Die drei Kernaussagen
\( F_G = m \cdot g_E \)
Gewichtskraft

Wirkt eine Kraft in Richtung Erdmittelpunkt, heißt sie Gewichtskraft \( F_G \).

Erdbeschleunigung

\( g_E = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} \) — die Beschleunigung, mit der man beim freien Fall zur Erde gezogen wird.

Ortsabhängigkeit

Die Masse ist überall im Universum gleich, die Gewichtskraft hängt vom Ortsfaktor ab.

Erdmittelpunkt m F G zeigt zum Mittelpunkt Wirkungslinie
Gewichtskraft
\( F_G = m \cdot g_E \)
FG

Gewichtskraft in Newton (N).

m

Masse in Kilogramm (kg).

gE

Erdbeschleunigung in m/s².

Erdbeschleunigung
\( g_E = 9{,}81\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)

Die Beschleunigung, mit der man beim freien Fall zur Erde gezogen wird.

Warum das genau \(F = m \cdot a\) ist

Die Gewichtskraft braucht keine neue Gleichung: Sie ist die Grundgleichung der Mechanik, in der die Beschleunigung einen festen Wert hat — den des freien Falls.

\( F = m \cdot a \)Grundgleichung
\( a = g_E = 9{,}81\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)freier Fall
\( F_G = m \cdot g_E \)Gewichtskraft
Einheitenkontrolle. \( 1\,\mathrm{kg} \cdot 1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 1\,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 1\,\mathrm{N} \). Die Masse muss dazu in Kilogramm eingesetzt werden, nicht in Gramm oder Tonnen.

Ein Beispiel: 80 kg auf der Erde

\( F_G = m \cdot g_E \)Ansatz
\( F_G = 80\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)einsetzen
\( F_G = 784{,}8\,\mathrm{N} \)Ergebnis

Masse und Gewichtskraft sind nicht dasselbe

Umgangssprachlich sagt man „ich wiege 80 Kilo“ — physikalisch sind das zwei verschiedene Größen.

  • Masse \(m\):Nicht ortsabhängig, überall im Universum gleich; sie sagt, wie viel Materie im Körper steckt.
  • Gewichtskraft \(F_G\):Hängt dagegen vom Ortsfaktor ab.
  • Mitgenommen:Auf dem Mond bleibt die Masse unverändert, die Gewichtskraft wird kleiner.
Derselbe Körper von 80 kg an drei Orten
OrtOrtsfaktor gMasse mGewichtskraft FG
Erde9,81 m/s²80 kg784,8 N
Mars3,69 m/s²80 kg295,2 N
Mond1,62 m/s²80 kg129,6 N

Auch auf der Erde ist g nicht überall gleich

Der Wert 9,81 m/s² ist ein Mittelwert — nachgemessen kommen an verschiedenen Orten der Erde leicht verschiedene Zahlen heraus:

Gemessene Fallbeschleunigungen auf der Erde
OrtFallbeschleunigung g
Nordpol9,83 m/s²
Helsinki9,82 m/s²
Bonn9,81 m/s²
Madrid9,80 m/s²
Mekka9,79 m/s²
Äquator9,78 m/s²

Am Äquator ist die Fallbeschleunigung am kleinsten, am Nordpol am größten. Dafür gibt es zwei Gründe.

  • Abplattung:Die Erde ist durch die Rotation keine ideale Kugel; Orte am Äquator liegen weiter vom Erdmittelpunkt entfernt.
  • Abstand wirkt:Je größer der Abstand vom Erdmittelpunkt, desto kleiner die Anziehungskraft und damit die Fallbeschleunigung.
  • Fliehkraft:Sie ist am Äquator am größten und verringert die gemessene Fallbeschleunigung zusätzlich.
Deshalb der Name Ortsfaktor. Der Faktor \(g\) in \(F_G = m \cdot g\) hängt vom Himmelskörper und sogar von der Stelle darauf ab — die Masse \(m\) in derselben Formel nicht.
✓ Frage 1 gelöstDie Gewichtskraft ist die Kraft, die in Richtung Erdmittelpunkt wirkt. Formelzeichen \(F_G\), berechnet mit \(F_G = m \cdot g_E\) und \(g_E = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\).
✓ Frage 2 gelöstAuf dem Mond ist nicht die Masse kleiner, sondern der Ortsfaktor: \(g_{\text{Mond}} = 1{,}62\,\mathrm{m/s^2}\). Die Masse bleibt überall im Universum gleich, nur \(F_G\) wird kleiner.
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Interaktiv — Die Waage im Universum

Eine Masse wird gedanklich an verschiedene Orte im Universum mitgenommen. Achte darauf, welche der beiden Anzeigen sich ändert — und welche nicht.

Eine Masse, fünf Orte

Federwaage 1,00 kg FG Erde: g = 9,81 m/s² Masse (bleibt gleich) 1,0 kg Gewichtskraft (ändert sich) 9,8 N Vergleich mit der Erde Erde = 100 % 100 % F = m · g 1,0 kg · 9,81 m/s² = 9,8 N
1,0 kg

Die linke Anzeige rührt sich nicht, egal welchen Ort du wählst; die rechte Anzeige und der Balken folgen dagegen dem Ortsfaktor. Genau dieser Unterschied steckt hinter dem Satz „auf dem Mond ist man leichter“.

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Hinweise — Worauf du achten solltest

Drei häufige Stolperstellen:

Hinweis

Auf dem Mond ist nicht die Masse kleiner. Sie ist überall im Universum gleich — kleiner wird allein die Gewichtskraft, weil in \(F_G = m \cdot g\) der Ortsfaktor \(g\) kleiner ist.

Hinweis

Gewichtskraft steht in Newton, nicht in Kilogramm — Kilogramm ist die Einheit der Masse. Eine Personenwaage misst zwar eine Kraft, rechnet sie aber intern mit \(g_E\) in eine Masse um.

Hinweis

\(g\) ist keine feste Naturkonstante: \(g_E = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\) ist ein Mittelwert für die Erde. Gemessen reicht die Spanne von 9,78 m/s² am Äquator bis 9,83 m/s² am Nordpol — daher Ortsfaktor.

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