Beim Rechnen mit dem Energieerhaltungssatz beschreibt man den und den Endzustand. Die beiden Energieterme werden . Steht auf beiden Seiten die Masse m, so sie sich heraus. Ist die Geschwindigkeit gesucht, zieht man zum Schluss die .
Denk an das Vier-Schritte-Rezept.
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Fall aus fünf Metern
AFB I
Ein Apfel fällt aus 5 m Höhe. Wie schnell ist er unten? (g = 9,81 N/kg, Reibung vernachlässigt) Runde auf eine Nachkommastelle.
Setze in v = √(2 · g · h) ein.
2 · 9,81 · 5 = 98,1 — davon die Wurzel.
Erst das Produkt unter der Wurzel ausrechnen, dann die Wurzel ziehen.
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Stimmt das über die Energieerhaltung?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie richtig oder falsch ist.
Richtig oder falsch?
Aussage 1 von 4
Unterscheide sorgfältig zwischen Energie und Geschwindigkeit.
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Schritt für Schritt: der Sprungturm
AFB II
Ein Schwimmer (60 kg) springt vom 10-Meter-Turm. Reibung wird vernachlässigt. Arbeite dich Schritt für Schritt vor.
Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Wie viel Lageenergie hat er oben in Joule?J
Mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf das Wasser? (in m/s)m/s
Wie viel ist das in km/h?km/h
E = m · g · h, dann v = √(2 · g · h), dann · 3,6.
60 · 9,81 · 10 für den ersten Schritt.
v = √(2 · 9,81 · 10) = √196,2 ≈ 14 m/s, und 14 · 3,6 = 50,4 km/h.
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Fehlersuche: die vergessene Wurzel
AFB II
Für einen Fall aus 8 m notiert Mia: „v = 2 · 9,81 · 8 = 156,96 m/s.“ Welche Aussagen treffen zu?
Mehrere Antworten sind richtig.
√156,96 ≈ 12,5.
156,96 ist der Wert von v², nicht von v.
√156,96 ≈ 12,5 m/s, also rund 45 km/h — das ist plausibel.
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Gemischt: Welche zwei Energieformen setzt du gleich?
AFB II
Ordne jede Situation dem passenden Ansatz zu. Achtung: Nicht überall geht es um Lage- und Bewegungsenergie.
Ziehe jede Situation in das passende Fach.
1Lageenergie = Bewegungsenergie
2Spannenergie = Bewegungsenergie
3Spannenergie = Lageenergie
Frage dich: Was ist am Anfang gespeichert, was am Ende?
Waagerecht heißt: keine Höhenänderung, also keine Lageenergie.
Senkrecht nach oben heißt umgekehrt: Am Ende ist alles Lageenergie, weil der Körper oben kurz stillsteht.
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Trickaufgabe: Aus welcher Höhe wäre das dasselbe?
AFB III
Ein Auto fährt mit 50 km/h. Aus welcher Höhe müsste es herunterfallen, um genauso schnell zu sein? Runde auf eine Nachkommastelle.
Rechne zuerst 50 km/h in m/s um, stelle dann nach h um: h = v² : (2 · g).
50 : 3,6 ≈ 13,9 m/s, dann 13,9² : 19,62.
50 km/h sind 50 : 3,6 ≈ 13,9 m/s.
13,9² = 193,2 und 193,2 : 19,62 ≈ 9,8 m — das ist ein drittes Stockwerk. Genau dieser Vergleich steht in jeder Verkehrssicherheits-Broschüre.
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Das Vier-Schritte-Rezept ordnen
AFB I
Bring die vier Schritte in die Reihenfolge, in der du sie beim Rechnen abarbeitest.
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Für beide Zustände die Energieterme aufschreiben
2Anfangszustand festlegen — meist dort, wo der Körper ruht
3Gleichsetzen und nach der gesuchten Größe umstellen
4Endzustand festlegen — der Moment, nach dem gefragt ist
Erst die beiden Zustände festlegen, dann die Terme, zuletzt das Gleichheitszeichen.
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Fallhöhe und Aufprallgeschwindigkeit
AFB I
Verbinde jede Fallhöhe mit der zugehörigen Aufprallgeschwindigkeit. (g = 9,81 N/kg, ohne Reibung)
Wähle links eine Fallhöhe aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Wert an.
Vierfache Höhe heißt doppelte Geschwindigkeit — von 5 m auf 20 m verdoppelt sich der Wert von 9,9 auf 19,8 m/s.
Rechne für jede Höhe 2 · 9,81 · h aus und ziehe die Wurzel. Die Masse spielt keine Rolle.
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Entscheidungsbaum: Was musst du umstellen?
AFB I
Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Bekannt ist die Abwurfgeschwindigkeit, gesucht ist die Steighöhe. Beantworte die Fragen des Baums.
Der Baum führt dich zur richtigen Umstellung.
Die Gleichung ist beim Werfen dieselbe wie beim Fallen — sie wird nur andersherum gelesen.
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Paare finden: Gleichung und Bedeutung
AFB I
Acht Karten, vier Paare. Finde zu jeder Zeile die passende Beschreibung.
Acht Karten, vier Paare.
Die vier Karten sind vier Stationen derselben Umformung — nur die letzte Zeile hat zwei Lesarten.
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Die Umformungskette bauen
AFB II
So entstand die Formel an der Tafel. Lege die vier Zeilen der Umformung in der richtigen Reihenfolge in die Plätze. Drei Bausteine bleiben übrig.
Klicke einen Baustein an und setze ihn auf den nächsten freien Platz.
Die Randnotation dazu lautet: | : m, dann | · 2, dann | √ — genau drei Umformungsschritte.
In jeder neuen Zeile darf höchstens eine Änderung passieren. Die Zeile, in der plötzlich zwei Dinge anders sind, gehört nicht dazu.
½ · m · v² = m · g · h | : m → ½ · v² = g · h | · 2 → v² = 2 · g · h | √ → v = √(2 · g · h). Das m verschwindet schon im ersten Schritt.
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Die Rechenprobe beim Turmspringen
AFB II
Springer 1 hat die Masse m = 40 kg und steht auf dem 10-Meter-Turm. Rechne wie im Unterricht einmal von oben nach unten durch und mache die Probe. (g = 9,81 N/kg)
Fülle alle drei Felder aus und prüfe dann. Enter prüft ebenfalls.
E = 40 · 9,81 · 10 = 3924 J; v = √(2 · 9,81 · 10) = 14,007 m/s; E = ½ · 40 · 14,007² = 3923,92 J. Erste und dritte Zahl müssen übereinstimmen — das ist die Probe.
Das dritte Feld darfst du nicht abschreiben — rechne es wirklich aus ½ · m · v² aus.
Der winzige Unterschied zwischen 3924 J und 3923,92 J kommt nur vom Runden. Wenn bei dir deutlich verschiedene Zahlen herauskommen, steckt irgendwo ein Rechenfehler.
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Das Auto am Abhang — Lückentext mit Menüs
AFB II
Ein Auto (1650 kg) rollt aus dem Stillstand einen 2,5 m hohen Abhang hinunter. Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.
Öffne jedes Menü und wähle den Eintrag, der die Rechnung richtig macht.
Der Ansatz lautet .
Im ersten Schritt teilt man beide Seiten durch .
Nach dem Umstellen steht dort .
Eingesetzt ergibt das .
v = √(2 · 9,81 · 2,5) = √49,05 = 7,0 m/s. Die 1650 kg tauchen in der ganzen Rechnung kein einziges Mal auf.
49,05 ist der Wert von v², nicht von v. Rechne zum Schluss noch die Wurzel.
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Welche Zeile war welcher Schritt?
AFB II
Vor dir steht die Umformung von der Tafel. Klicke jeweils die Zeile an, nach der gefragt wird.
Vier Fragen nacheinander.
Die Randnotation | : m, | · 2, | √ steht genau zwischen je zwei Zeilen — sie sagt dir, was von einer Zeile zur nächsten passiert ist.
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Regler: die passende Fallhöhe
AFB II
Aus welcher Höhe muss ein Körper fallen, damit er unten rund 14 m/s schnell ist? Stelle den Regler auf den berechneten Wert (ganze Meter).
Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Regler muss exakt stimmen.
0 m30 m
h = v² : (2 · g) = 196 : 19,62 ≈ 10 m. Das ist ungefähr ein Zehn-Meter-Turm — und genau die Rechnung aus dem Unterricht, nur rückwärts.
Quadriere zuerst die 14, teile dann durch 2 · 9,81 = 19,62.
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Szene für Szene: der Ball nach oben
AFB II
Ein Ball wird mit 6 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wähle in jeder Szene den nächsten sinnvollen Schritt.
Drei Szenen — jede Entscheidung bringt dich einen Schritt weiter.
Beim Werfen läuft dieselbe Gleichung rückwärts: Bewegungsenergie wird zu Lageenergie.
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Brauchst du die Masse — ja oder nein?
AFB II
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Immer geht es um denselben Vorgang: ein Körper fällt aus der Höhe h oder wird nach oben geworfen.
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.
Gesuchte Größe
Masse wird gebraucht
Masse kürzt sich heraus
Wie schnell ist der Stein unten?
Wie viel Lageenergie hat der Stein oben?
Wie hoch steigt der geworfene Ball?
Wie viel Bewegungsenergie hat der Ball beim Abwurf?
Faustregel: Ist eine Energie gesucht, brauchst du die Masse. Ist eine Geschwindigkeit oder eine Höhe gesucht, kürzt sie sich heraus.
Schreib für jede Zeile die Gleichung hin und schau nach, ob m auf beiden Seiten steht.
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Fehlersuche: die verschwundene Hälfte
AFB II
Ein Körper fällt aus 8 m Höhe. Zwei der vier Zeilen enthalten je einen Fehler — finde sie.
Zwei Zeilen sind richtig, zwei enthalten je einen typischen Fehler.
Beide Fehler haben dieselbe Ursache: Der Faktor ½ wurde beim Kürzen einfach mit weggeworfen.
Was steht auf beiden Seiten der Gleichung? Nur das darf gekürzt werden.
g · h = ½ · v² | · 2 → v² = 2 · g · h = 156,96 | √ → v ≈ 12,5 m/s. Der falsche Wert 8,9 m/s ist um den Faktor √2 zu klein.
20
Trickaufgabe: die Formel selbst herstellen
AFB III
Stelle die Gleichung m · g · h = ½ · m · v² nach der Höhe h um und gib den fertigen Term ein. Erlaubt sind die Buchstaben v und g, Potenzen schreibst du mit ^.
Gib den Term für h ein. Enter prüft.
Kürzen ergibt g · h = ½ · v², also v² = 2 · g · h und damit h = v² : (2 · g), geschrieben als v^2/(2*g). Probe mit v = 14 und g = 9,81: 196 : 19,62 ≈ 10 — genau die Höhe des Sprungturms.
Zuerst durch m teilen, dann mit 2 multiplizieren — und erst ganz zum Schluss durch das teilen, was noch bei h steht.
m · g · h = ½ · m · v² | : m → g · h = ½ · v² | · 2 → 2 · g · h = v² | : (2 · g) → h = v² : (2 · g). Achte auf die Klammer im Nenner: v^2/2*g wäre etwas anderes.
Die sechs großen Anwendungsaufgaben
Das Rezept kennst du jetzt. In den folgenden sechs Unterkapiteln wird es auf jeweils eine große, realistische Situation angewendet — mit mehreren Teilfragen, so wie in einer Klassenarbeit.
