Aus dem Satz in Worten wird eine Gleichung: Anfangs- und Endzustand gleichsetzen, umstellen, einsetzen — so geht jede Anwendungsaufgabe.
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Einstieg — Eine Zahl, die sich nicht ändert
Aus einem Satz in Worten wird ein Gleichheitszeichen.
Ein Stein auf dem Turm und derselbe Stein kurz vor dem Aufprall — dazwischen bleibt eine Zahl gleich.
Oben und unten:Oben hat der Stein nur Lageenergie, kurz vor dem Aufprall nur Bewegungsenergie.
Dazwischen:Zu jedem Zeitpunkt ergeben beide Energien zusammen dieselbe Zahl.
Aus Klasse 7:Den Energieerhaltungssatz kennst du in Worten: Energie geht nicht verloren, sie wandelt sich um.
Jetzt neu:Daraus wird eine Gleichung — ein Werkzeug für Geschwindigkeiten und Höhen, die niemand gemessen hat.
Der Clou:Du brauchst dafür oft weniger Angaben, als du denkst.
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Erklärung — E₁ = E₂ — und plötzlich fehlt keine Angabe mehr
Zwei Formeln aus Kapitel 2, ein Gleichheitszeichen dazwischen.
Vom Satz zur Gleichung
Der Satz aus Klasse 7 lässt sich direkt als Gleichung schreiben.
Abgeschlossenes System:Darin bleibt die Gesamtenergie konstant.
Zwei Energieformen:Wird die eine kleiner, wird die andere um genau denselben Betrag größer.
Folge:Die Energie vorher ist genauso groß wie die Energie nachher.
Der Energieerhaltungssatz als Gleichung
Evorher = Enachher
Evorher
Die Energie im Anfangszustand, links vom Gleichheitszeichen.
Enachher
Die Energie im Endzustand, rechts vom Gleichheitszeichen.
Terme
Auf beiden Seiten stehen die Energieformeln aus Kapitel 2.
Links eine Formel aus Kapitel 2, rechts eine andere — fertig ist eine Gleichung, die du nach der unbekannten Größe umstellen kannst.
Das Vier-Schritte-Rezept
Jede Aufgabe in diesem Kapitel löst du nach demselben Muster:
1. Anfangszustand:Meist der Moment, in dem der Körper ruht oder ganz oben ist.
2. Endzustand:Meist der Moment, nach dem gefragt wird.
3. Energieterme:Schreibe für beide Zustände auf, welche Energieform jeweils darin steckt.
4. Gleichsetzen:Setze beide Terme gleich und stelle nach der gesuchten Größe um.
Der schönste Trick: die Masse kürzt sich weg
Fällt ein Körper aus der Höhe h herunter, wird seine gesamte Lageenergie zu Bewegungsenergie:
Fall aus der Höhe h
m · g · h = ½ · m · v²
links
Die Lageenergie oben, m · g · h.
rechts
Die Bewegungsenergie unten, ½ · m · v².
m
Steht auf beiden Seiten — man darf durch m teilen, die Masse verschwindet.
Aufprallgeschwindigkeit
g · h = ½ · v² ⇒ v = √(2 · g · h)
Die Aufprallgeschwindigkeit hängt nur von der Fallhöhe ab, nicht von der Masse.
Genau das soll Galilei am schiefen Turm von Pisa gezeigt haben.
Sein Versuch:Eine schwere und eine leichte Kugel kommen gleichzeitig unten an.
Der Grund:Das m steht auf beiden Seiten der Gleichung und fällt weg.
Aber:Die Energie selbst hängt von m ab — doppelte Masse, doppelte Energie. Nur die Geschwindigkeit nicht.
Neuer Rechenschritt:Beim Umstellen nach v ziehst du zum Schluss die Wurzel.
Beispiel:Ein Stein fällt aus 5 m Höhe: v = √(2 · 9,81 · 5) ≈ 9,9 m/s — egal, wie schwer er ist.
Interaktiv: Der Turmspringer
Zwei Springer, 40 kg und 80 kg, stehen auf unterschiedlich hohen Plattformen. Die Frage: Wer kommt schneller im Wasser an — und spielt die Masse wirklich eine Rolle?
Die Masse kürzt sich heraus
Halte fest: Ohne Reibung hängt die Geschwindigkeit beim Auftreffen nur von der Höhe ab, v = √(2 · g · h) — die Masse steckt zwar in der Energie, aber nicht in der Geschwindigkeit.
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Allgemeine Hinweise
Fehlende Masse ist kein Problem
Beim Skater auf der Rampe steht keine Masse im Text — sie wird auch nicht gebraucht. In m · g · h = ½ · m · v² steht m auf beiden Seiten und kürzt sich weg.
Die Wurzel nicht vergessen
Nach dem Umstellen steht v² = 2 · g · h da, nicht v. Erst die Wurzel liefert das Ergebnis: v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 ≈ 9,9 m/s.
Zum Schluss die Rechenprobe
Rechne beide Seiten der Gleichung getrennt aus. Stimmen sie nicht ungefähr überein, steckt irgendwo ein Fehler — kleine Abweichungen sind nur Rundung.
Aus dem Unterricht
Die erste Rechnung mit dem Energieerhaltungssatz
Das Auto am Abhang — die Einführungsaufgabe, an der die ganze Umformung Zeile für Zeile entstanden ist.
Ein Auto (1650 kg) rollt aus dem Stillstand einen 2,5 Meter hohen Abhang herunter — ohne Reibung, die gesamte potenzielle Energie wird also zu kinetischer Energie. Berechne die Geschwindigkeit am unteren Ende des Abhangs.
Die Umformung an der Tafel
Ekin = Epot
½ · m · v² = m · g · h| : m
½ · v² = g · h| · 2
v² = 2 · g · h| √
v = √(2 · g · h)
v = √(2 · 9,81 · 2,5) = 7 m/s
Der Aha-Moment: Die 1650 kg werden gar nicht gebraucht — die Masse steht auf beiden Seiten und kürzt sich weg, Kleinwagen und LKW sind unten gleich schnell. Die fertige Formel v = √(2 · g · h) gilt für jeden Körper, der ohne Reibung aus der Höhe h herunterkommt.
Dieselbe Formel beim Turmspringen
Springer 1 hat die Masse m1 = 40 kg und steht auf h1 = 10 m. Bezüglich der Wasseroberfläche gilt:
Epot = m · g · h1 = 40 · 9,81 · 10 = 3924 J
v = √(2 · g · h) = √(2 · 9,81 · 10) = 14,007 m/s
Ekin = ½ · m · v² = ½ · 40 · 14,007² = 3923,92 J
Am Ende kommen fast genau dieselben Joule heraus wie am Anfang.
Oben:Die Lageenergie beträgt 3924 J.
Unten:Die Bewegungsenergie beträgt 3923,92 J.
Der Unterschied:Er kommt nur vom Runden auf drei Nachkommastellen.
Rechenprobe:Kommt unten nicht ungefähr dasselbe heraus wie oben, steckt irgendwo ein Fehler.
Unterrichtsmitschrift „Einführung: Rechnen mit dem EE-Satz“ · Arbeitsblatt „Energieerhaltungssatz beim Turmspringen“
