Bremsweg und Reibung

Die Situation — Wenn die Energie nicht zurückkommt

Fünfte große Anwendungsaufgabe — diesmal mit einer Einbahnstraße für die Energie.

In den Kapiteln 3.1 bis 3.4 wanderte die Energie immer hin und her — beim Bremsen ist das anders.

Beim Bremsen:Ein Auto, das von 50 km/h zum Stehen kommt, hat seine Bewegungsenergie nicht verloren.
Wohin sie geht:Sie steckt danach als Wärme in den Bremsscheiben, in den Reifen und in der Fahrbahn.
Einbahnstraße:Zurückholen kann man diese Energie nicht mehr.
Neu hier:Eine Kraft nimmt der Bewegung Energie weg; die Formel dazu heißt E = F · s.
Anwendung:Damit lässt sich etwas sehr Praktisches berechnen — der Bremsweg eines Autos.
Überraschung:Doppelt so schnell ist nicht doppelt so gefährlich, sondern viermal.

Lösungsweg — Eine Kraft entlang einer Strecke

Die erste Aufgabe, bei der die Energie am Ende nicht mehr nutzbar ist.

Gegeben in dieser Aufgabe

m = 1200 kg · v = 50 km/h · F = 9400 N

Masse des Autos: 1200 kg.

Geschwindigkeit zu Beginn des Bremsvorgangs: 50 km/h.

Bremsende Reibungskraft: 9400 N auf trockener Fahrbahn.

Wirkung

Die Kraft wirkt entlang des gesamten Bremswegs bis zum Stillstand.

Ortsfaktor auf der Erde: 9,81 N/kg.

Zu diesem Bremsvorgang gehören fünf Teilfragen:

a)Welche Bewegungsenergie hat das Auto zu Beginn des Bremsvorgangs?
b)Wie lang ist der Bremsweg?
c)Wie lang wäre der Bremsweg bei 100 km/h?
d)Der Fahrer reagiert eine Sekunde lang — wie lang ist der gesamte Anhalteweg bei 50 km/h?
e)Ein Elektroauto gewinnt 65 % der Energie zurück — wie viel wird trotzdem entwertet?

Eine Kraft entlang einer Strecke nimmt Energie weg

E = F · s

Weggenommene Energie in Joule (J); man nennt sie Reibungsarbeit.

Bremsende Kraft in Newton (N).

Strecke in Metern (m), entlang der die Kraft wirkt.

Umgestellt

Nach der Strecke aufgelöst gilt s = E : F.

Der Ansatz ist derselbe wie immer — nur das Ergebnis ist diesmal nicht mehr nutzbar.

Am Anfang:Alles steckt in der Bewegungsenergie des Autos.
Am Ende:Die Bewegungsenergie ist vollständig weg, das Auto steht.
Die Gleichung:Also gilt ½ · m · v² = F · s.
Der Unterschied:Die rechte Seite ist keine Energieform, die man wieder herausholen kann.
Innere Energie:Sie verteilt sich gleichmäßig auf Bremsen, Reifen, Straße und Luft.
Fachbegriff:Diesen Vorgang nennt man Energieentwertung.

Die Aufgabe, Teilfrage für Teilfrage

Erst vorgerechnet, dann mit Lücken, dann allein.

a) und b) · vollständig vorgerechnet

1Zuerst die Einheit. In die Formel gehören m/s, nicht km/h.v = 50 km/h : 3,6 ≈ 13,9 m/s

2a) Bewegungsenergie.E = ½ · m · v² = 0,5 · 1200 kg · (13,9 m/s)² ≈ 115 700 J

3b) Ansatz. Die gesamte Bewegungsenergie wird von der Reibungskraft aufgezehrt.½ · m · v² = F · s ⇒ s = E : F

4Einsetzen.s = 115 700 J : 9400 N ≈ 12,3 m

5Antwort. Der Bremsweg beträgt rund 12,3 m — etwa drei Autolängen.

c) und d) · je ein Schritt fehlt

1c) Die Geschwindigkeit verdoppelt sich. Wegen des v² wird die Energie dabei nicht doppelt, sondern ?-mal so groß:E = 0,5 · 1200 · (27,8)² ≈ 463 000 J ⇒ s = 463 000 : 9400 ≈ ? m

2d) Während der Reaktionszeit fährt das Auto ungebremst weiter:s_Reaktion = 13,9 m/s · 1 s = 13,9 m ⇒ s_Anhalte = 13,9 m + 12,3 m = ? m

3Kontrolle: Bei c) sind es 49,3 m (genau das Vierfache von 12,3 m), bei d) rund 26,2 m.

e) · jetzt du allein

!e) 65 % der 115 700 J landen wieder in der Batterie. Gefragt ist der Rest, der trotzdem als Wärme verschwindet.

Lösung zu e) anzeigen

zurückgewonnen: 0,65 · 115 700 J ≈ 75 200 J

entwertet: 115 700 J − 75 200 J ≈ 40 500 J

Rund 40 500 J sind endgültig entwertet, etwa ein Drittel. Ein Elektroauto bremst deshalb sparsamer, aber niemals verlustfrei — ein Teil geht immer an Reifen, Luft und Fahrbahn verloren.

Wagen A und Wagen B fahren gleichzeitig los, reagieren gleich schnell und bremsen gleich stark (7,5 m/s²) — nur ihr Tempo ist verschieden. Der orange Balken ist der Reaktionsweg, der blaue der Bremsweg; wo der Balken über das Hindernis hinausragt, kracht es.

Wagen A in km/h

Wagen B in km/h

Reaktionszeit beide Fahrer

Halte fest: Zehn km/h mehr verlängern nicht nur den Reaktionsweg ein wenig, sondern den Bremsweg im Quadrat — und der Wagen, der bei 50 km/h gerade noch steht, trifft bei 60 km/h mit rund 32 km/h auf, weil die zusätzliche Bewegungsenergie auf derselben Strecke nicht mehr abgebaut werden kann.

Allgemeine Hinweise

Erst km/h in m/s umrechnen

In ½ · m · v² gehören m/s hinein. Aus 50 km/h werden durch Teilen mit 3,6 rund 13,9 m/s — wer 50 einsetzt, rechnet ein völlig falsches Ergebnis aus.

Doppelt schnell vierfacher Bremsweg

Bei 100 km/h wird der Bremsweg nicht doppelt, sondern viermal so lang. Das v² in der Formel macht den Unterschied.

Anhalteweg hat zwei Teile

Während der Reaktionssekunde fährt das Auto ungebremst weiter. Erst Reaktionsweg plus Bremsweg ergeben den Anhalteweg.