Trampolin und Sprungfeder

Die Situation — Der Moment, in dem alles im Tuch steckt

Vierte große Anwendungsaufgabe — mit einer dritten Energieform.

Im tiefsten Punkt steht man einen Augenblick lang völlig still — und trotzdem ist die ganze Energie da.

Der Moment:Im tiefsten Punkt ist das Tuch maximal durchgedrückt und der Körper bewegungslos.
Wo die Energie steckt:Vollständig im gespannten Tuch.
Spannenergie:Die Energieform aus Kapitel 2.3 mischt sich ein — es gibt jetzt drei Zustände statt zwei.
Federkonstante D:Sie beschreibt, wie stark sich das Tuch wehrt; es wirkt wie eine sehr große Feder.
Überraschung:Diesmal kürzt sich die Masse nicht weg.

Lösungsweg — Drei Zustände, aber immer nur zwei auf einmal

Die erste Aufgabe, bei der die Masse wirklich gebraucht wird.

Ein Kind springt auf einem Trampolin und drückt das Tuch im tiefsten Punkt weit nach unten.

Masse:Das Kind hat m = 40 kg.
Eindrücktiefe:Im tiefsten Punkt ist das Tuch um s = 0,50 m nach unten gedrückt.
Federkonstante:Das Tuch verhält sich wie eine Feder mit D = 3000 N/m.
Vorgaben:Rechne mit g = 9,81 N/kg und vernachlässige die Reibung.

Fünf Teilfragen zu einem einzigen Sprung

Welche Spannenergie steckt im tiefsten Punkt im Tuch?

Wie hoch steigt das Kind über die entspannte Tuchlage?

Mit welcher Geschwindigkeit verlässt es das Tuch?

Wie tief müsste das Tuch für die doppelte Sprunghöhe eingedrückt werden?

Ein Kind mit 60 kg drückt das Tuch genauso tief ein — wie hoch springt es?

Die Formel aus Kapitel 2.3

E = ½ · D · s²

Spannenergie in Joule (J).

Federkonstante in Newton pro Meter (N/m).

Strecke, um die die Feder aus ihrer entspannten Lage gedrückt oder gezogen wird.

Achtung

Wie beim v steht auch hier ein Quadrat.

Ein Sprung hat drei Stationen — du setzt aber immer nur zwei davon gleich.

Station 1:Tiefster Punkt — dort steckt alles in der Spannenergie.
Station 2:Verlassen des Tuchs — dort steckt alles in der Bewegungsenergie.
Station 3:Höchster Punkt — dort steckt alles in der Lageenergie.
Freie Wahl:Alle drei sind gleich groß, du darfst je nach Frage zwei beliebige gleichsetzen.

Die Aufgabe, Teilfrage für Teilfrage

Erst vorgerechnet, dann mit Lücken, dann allein.

a) und b) · vollständig vorgerechnet

1a) Spannenergie im tiefsten Punkt.E = ½ · D · s² = 0,5 · 3000 N/m · (0,50 m)² = 0,5 · 3000 · 0,25 = 375 J

2Wichtig: erst quadrieren, dann multiplizieren. Wer 0,5 · 3000 · 0,50 rechnet, erhält 750 J — das Doppelte.

3b) Zustände: tiefster Punkt (Spannenergie) → höchster Punkt (Lageenergie).½ · D · s² = m · g · h ⇒ h = E : (m · g)

4Einsetzen.h = 375 J : (40 kg · 9,81 N/kg) = 375 : 392,4 ≈ 0,96 m

5Antwort. Rund 0,96 m — fast ein Meter über der entspannten Tuchlage. Beachte: Hier steht m nur auf einer Seite, also kürzt es sich nicht weg.

c) und d) · je ein Schritt fehlt

1c) Setze die Spannenergie direkt mit der Bewegungsenergie gleich:½ · m · v² = 375 J ⇒ v = √(2 · 375 : 40) = √18,75 ≈ ? m/s

2d) Doppelte Höhe bedeutet doppelte Energie. Wegen des s² braucht man dafür aber nicht die doppelte Eindrücktiefe:s_neu = √2 · 0,50 m ≈ ? m

3Kontrolle: Bei c) müssen etwa 4,3 m/s herauskommen, bei d) etwa 0,71 m.

e) · jetzt du allein

!e) Die Spannenergie hängt nur vom Tuch ab, nicht vom Kind — sie beträgt also wieder 375 J. Nur die Masse in h = E : (m · g) ändert sich.

Lösung zu e) anzeigen

h = 375 J : (60 kg · 9,81 N/kg) = 375 : 588,6 ≈ 0,64 m

Das schwerere Kind kommt bei gleicher Eindrücktiefe weniger hoch — rund 0,64 m statt 0,96 m. Der Grund: In der Gleichung ½ · D · s² = m · g · h steht m nur rechts. Es kann sich nicht wegkürzen, sondern drückt die Höhe herunter.

In der Praxis drückt ein schwereres Kind das Tuch allerdings auch tiefer ein — deshalb springen schwere Menschen auf dem Trampolin trotzdem nicht automatisch niedriger.

Die Feder speichert beim Spannen Energie, die beim Loslassen ins Rollen des Aufziehautos übergeht — die Energie-Kästchen zeigen, wohin sie wandert.

Halte fest: Je mehr Energie im Speicher steckt, desto mehr kann er bewirken — doppelt so weit gespannt heißt viermal so viel Energie und viermal so weit gerollt. Am Ende ist keine Energie verschwunden: Alle Kästchen stecken in Boden und Luft. Die Kästchen sind Vergleichseinheiten, keine Joule.

Allgemeine Hinweise

Erst quadrieren dann multiplizieren

In E = ½ · D · s² wird nur s quadriert: 0,5 · 3000 · 0,25 = 375 J. Wer 0,5 · 3000 · 0,50 tippt, erhält 750 J — das Doppelte.

Hier kürzt sich m nicht

In ½ · D · s² = m · g · h steht die Masse nur auf einer Seite. Deshalb kommt ein schwereres Kind bei gleicher Eindrücktiefe weniger hoch.

Drei Stationen zwei gleichsetzen

Tiefster Punkt (Spannenergie), Verlassen des Tuchs (Bewegungsenergie) und höchster Punkt (Lageenergie) tragen dieselbe Energie. Wähle je nach Frage zwei davon aus.

Aus dem Unterricht

Trampolinspringen in fünf Phasen

Hier kommt zum ersten Mal eine dritte Energieform ins Spiel — und trotzdem sind nie alle drei gleichzeitig groß.

Phase 1 ist der höchste Punkt des Sprungs, Phase 3 der tiefste Punkt im durchgedrückten Tuch, Phase 5 wieder der höchste Punkt.

Phase	1 · oben	2 · im Fallen	3 · im Tuch	4 · im Steigen	5 · oben
E_pot	maximal	klein	gleich Null	klein	maximal
E_kin	gleich Null	maximal	gleich Null	maximal	gleich Null
E_spann	gleich Null	gleich Null	maximal	gleich Null	gleich Null

Die Erkenntnisse dazu

Drei Energieformen:Beim Trampolinspringen treten kinetische Energie, potenzielle Energie und Spannenergie auf.
Summe konstant:Die Formen werden ineinander umgewandelt, die Gesamtmenge an Energie bleibt gleich.
E_kin = 0:Am höchsten und am tiefsten Punkt der Springerin.
E_spann maximal:Am tiefsten Punkt, weil die Federn dort am weitesten auseinandergezogen sind.
Beim Fallen:Potenzielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt.

Die entscheidende Stelle: Im tiefsten Punkt steht die Springerin einen Augenblick still, deshalb ist dort E_kin = 0 und die gesamte Energie steckt im gedehnten Tuch. Genau darum darf man beim Rechnen E_pot,oben = E_spann,unten setzen.

Unterrichtsmaterial „Der Energieerhaltungssatz“, Aufgaben 4 und 5