Das Pumpspeicherkraftwerk

Die Situation — Ein See als Batterie

Sechste und letzte große Anwendungsaufgabe — Energieerhaltung im Maßstab eines Kraftwerks.

Strom lässt sich nur schwer aufbewahren — ein Pumpspeicherkraftwerk löst das auf denkbar einfache Weise.

Das Problem:Nachts wird oft mehr Windstrom erzeugt, als gerade gebraucht wird.
Die Lösung:Wasser wird aus dem tief gelegenen Unterbecken in ein hoch gelegenes Oberbecken gepumpt.
Hin und zurück:Aus elektrischer Energie wird Lageenergie; durch die Turbine zurück wird daraus wieder Strom.
Keine neue Formel:Du brauchst nur E = m · g · h aus Kapitel 2.2.
Neu sind die Zahlen:Es geht um Größenordnungen von Millionen Kilogramm Wasser und Milliarden Joule.
Handliche Einheit:Damit das lesbar bleibt, rechnet die Energiewirtschaft in Kilowattstunden.

Lösungsweg — Dieselbe Formel, andere Größenordnung

Große Zahlen sind kein neues Problem — nur eine Frage der Sorgfalt.

Gegeben in dieser Aufgabe

m = 2 000 000 kg · h = 300 m · g = 9,81 N/kg

Gehobene Wassermasse: 2 000 000 kg, das sind 2000 m³.

Fallhöhe zwischen Unter- und Oberbecken: 300 m.

Ortsfaktor auf der Erde: 9,81 N/kg.

Zu diesem Kraftwerk gehören fünf Teilfragen:

a)Welche Lageenergie speichert das Wasser im Oberbecken?
b)Wie viele Kilowattstunden sind das?
c)Mit welcher Geschwindigkeit käme das Wasser unten an, wenn es frei herunterfiele?
d)Beim Hochpumpen gehen 25 % verloren — wie viel elektrische Energie war nötig?
e)Wie viel Wasser muss 300 m hoch gepumpt werden, um genau eine Kilowattstunde zu speichern?

Kilowattstunde statt Joule — die Einheit der Energiewirtschaft

1 kWh = 3 600 000 J

kWh

Die Kilowattstunde ist die Energiemenge, die auf jeder Stromrechnung steht.

J → kWh

Von Joule in Kilowattstunden kommst du durch Teilen durch 3 600 000.

kWh → J

Zurück rechnest du durch Multiplizieren mit 3 600 000.

Zwei praktische Merksätze helfen dir bei dieser Aufgabe.

Wasser:1 m³ Wasser wiegt 1000 kg.
Bei Verlusten:Die eingesetzte Energie ist immer größer als die gespeicherte.
Rechenweg:Man teilt deshalb durch den Anteil, der übrig bleibt.

Die Aufgabe, Teilfrage für Teilfrage

Erst vorgerechnet, dann mit Lücken, dann allein.

a) und b) · vollständig vorgerechnet

1a) Lageenergie. Die Formel ändert sich nicht, nur die Zahlen werden groß.E = m · g · h = 2 000 000 kg · 9,81 N/kg · 300 m

2Geschickt rechnen. Erst 2 000 000 · 300 = 600 000 000, dann mit 9,81 multiplizieren.E = 5 886 000 000 J ≈ 5,9 · 10⁹ J

3b) Umrechnen in Kilowattstunden.5 886 000 000 J : 3 600 000 = 1635 kWh

4Antwort. Rund 1635 kWh — so viel verbraucht ein Zwei‑Personen‑Haushalt in etwa einem halben Jahr.

c) und d) · je ein Schritt fehlt

1c) Wie in Kapitel 3.1: Lageenergie wird zu Bewegungsenergie, die Masse kürzt sich weg.v = √(2 · g · h) = √(2 · 9,81 · 300) = √5886 ≈ ? m/s

2d) Wenn 25 % verloren gehen, kommen nur 75 % oben an. Gesucht ist also die Zahl, von der 75 % gerade 1635 kWh sind:E_ein = 1635 kWh : 0,75 ≈ ? kWh

3Kontrolle: Bei c) sind es rund 76,7 m/s (≈ 276 km/h), bei d) rund 2180 kWh.

e) · jetzt du allein

!e) Stelle E = m · g · h nach m um und setze für E eine Kilowattstunde in Joule ein.

Lösung zu e) anzeigen

m = E : (g · h) = 3 600 000 J : (9,81 N/kg · 300 m)

m = 3 600 000 : 2943 ≈ 1223 kg

Man braucht rund 1223 kg Wasser, also gut 1,2 m³ — etwa eine große Badewanne voll, 300 m hoch gehoben, für eine einzige Kilowattstunde. Das zeigt, warum Pumpspeicher riesige Becken und große Höhenunterschiede brauchen.

Die Säulen rechts vergleichen, wie viel elektrische Energie beim Hochpumpen hineingesteckt werden muss und wie viel Lageenergie tatsächlich im See steckt — das Readout rechnet in Joule, Kilowattstunden und Haushalten.

Fallhöhe h

Verlust beim Hochpumpen

Halte fest: Der See speichert E = m · g · h — doppelt so viel Wasser oder doppelte Höhe bedeuten doppelt so viel Energie. Wegen der Verluste muss beim Hochpumpen immer mehr hinein, als später herauskommt: E_ein = E_gespeichert : 0,75.

Allgemeine Hinweise

Bei Verlusten wird geteilt

25 % Verlust heißt: Nur 75 % kommen oben an. Du teilst die gespeicherte Energie durch 0,75 — nicht mit 1,25 multiplizieren.

Joule in Kilowattstunden umrechnen

1 kWh = 3 600 000 J. Von Joule in kWh teilst du durch 3 600 000, zurück multiplizierst du damit.

Große Zahlen geschickt ordnen

Rechne zuerst 2 000 000 · 300 = 600 000 000 und multipliziere dann mit 9,81. Und merke dir: 1 m³ Wasser wiegt 1000 kg.