Anwendung: Die Achterbahn

Die Situation — Ein einziger Motor für die ganze Fahrt

Zweite große Anwendungsaufgabe — jetzt geht es auch wieder bergauf.

Eine Achterbahn hat einen Motor — und der läuft nur ganz am Anfang.

Der Lifthügel:Eine Kette zieht den Wagen den ersten Hügel hinauf.
Ausklinken:Oben klinkt die Kette aus, danach fährt der Wagen ohne jeden Antrieb weiter.
Die ganze Strecke:Durch Täler, über Hügel und wieder nach oben geht es allein mit der vorhandenen Energie.
Nur einmal Energie:Danach wird immer dieselbe Energie hin- und hergewandelt.
Höchster Punkt:Der Lifthügel ist immer der höchste Punkt — ein späterer Hügel wäre nicht zu überwinden.
Neu gegenüber 3.1:Die Umwandlung läuft jetzt in beide Richtungen, mehrfach hintereinander.

Lösungsweg — Immer die Differenz, nie die volle Höhe

Fünf Teilfragen — und eine Falle in Teilfrage c).

Gegeben in dieser Aufgabe

m = 900 kg · h₁ = 45 m · h₂ = 30 m · g = 9,81 N/kg

Masse des voll besetzten Wagens: 900 kg.

h₁

Höhe des Lifthügels: 45 m; dort startet der Wagen aus dem Stand.

Tal

Nach dem Lifthügel folgt ein Tal auf Bodenhöhe, also 0 m.

h₂

Höhe des zweiten Hügels dahinter: 30 m.

Ortsfaktor auf der Erde: 9,81 N/kg.

Zu dieser Fahrt gehören fünf Teilfragen:

a)Welche Lageenergie hat der Wagen oben am Lifthügel?
b)Wie schnell ist er unten im ersten Tal?
c)Wie schnell ist er oben auf dem zweiten Hügel?
d)Wie hoch dürfte der zweite Hügel höchstens sein?
e)Gemessen werden im Tal nur 27 m/s — wie viel Prozent der Energie sind entwertet?

Der entscheidende Unterschied zu Kapitel 3.1 steckt in der Höhe, die du einsetzt.

Nicht mehr blind:Du darfst h = 45 m nicht mehr überall einsetzen.
Was zählt:Immer die Höhendifferenz zwischen Ausgangszustand und gefragtem Zustand.
Beispiel:Vom Lifthügel zum zweiten Hügel sind das nur 45 m − 30 m = 15 m.

Der Lösungsweg als Kette — jede Teilfrage mit demselben Ansatz:

a) Budget:E = m · g · h = 900 kg · 9,81 N/kg · 45 m ≈ 397 kJ — mehr Energie hat die Fahrt nie.
b) Tal:Δh = 45 m → v = √(2 · 9,81 · 45) ≈ 29,7 m/s, also etwa 107 km/h; die Masse kürzt sich weg.
c) Zweiter Hügel:Δh = 45 m − 30 m = 15 m → v = √(2 · 9,81 · 15) ≈ 17,2 m/s.
d) Höchstens:45 m — dann käme der Wagen oben mit v = 0 an; wegen Reibung baut man ihn deutlich niedriger.
e) Entwertet:½ · 900 · 27² = 328 050 J; es fehlen 69 255 J, also rund 17 % — sie stecken als innere Energie in Rädern, Schienen und Luft.

Geschwindigkeit nach einer Höhendifferenz

v = √(2 · g · Δh)

Δh

Höhendifferenz zwischen Start (in Ruhe) und gefragtem Punkt.

Geschwindigkeit am gefragten Punkt, ohne Reibung.

Interaktiv: Die Achterbahn

Ein Wagen mit 600 kg startet in 20 m Höhe mit 10 m/s. Entlang der Strecke wandeln sich die beiden Energieformen ineinander um — die Summe bleibt konstant.

Die Marken ①②③ sind die drei Zeitpunkte aus der Aufgabe.

Position auf der Strecke

Gesamtenergie E_ges

147 720 J

½ · 600 · 10² + 600 · 9,81 · 20

Höhe h20,0 m

Geschwindigkeit v10,0 m/s

v in km/h36 km/h

Allgemeine Hinweise

Immer die Höhendifferenz einsetzen

Für den zweiten Hügel gilt nicht h = 45 m, sondern 45 m − 30 m = 15 m. Nur dieser Unterschied wurde in Bewegungsenergie umgewandelt, sonst käme viel zu viel heraus.

Ein festes Energiebudget

Die Lageenergie vom Lifthügel ist alles, was die Fahrt hat — die Kette ist ausgeklinkt. Deshalb darf kein späterer Hügel höher als 45 m sein.

Prozente über zwei Energien

Rechne erst die Bewegungsenergie im Tal aus und ziehe sie von der Startenergie ab. Die Differenz teilst du durch den Startwert — erst das ergibt den entwerteten Anteil.