Anwendung: Das Fadenpendel

Die Situation — Der Versuch, bei dem alle den Kopf einziehen

Dritte große Anwendungsaufgabe — diesmal wiederholt sich die Umwandlung.

Ein Versuch, den Physiklehrerinnen und Physiklehrer seit über hundert Jahren vorführen.

Der Aufbau:Eine schwere Kugel hängt an einem langen Faden.
Der Mutprobe-Teil:Man zieht sie bis dicht vor die eigene Nase und lässt los, ohne zu stoßen.
Kein Grund zur Angst:Die Kugel kann nicht höher zurückkommen, als sie losgelassen wurde.
Fadenpendel:Hier läuft dieselbe Umwandlung wie bei der Achterbahn, nur immer wieder hin und her.
Umkehrpunkte:So heißen die beiden höchsten Stellen der Bahn — dort steht die Kugel kurz still.

Lösungsweg — Zurück kommt nie mehr, als losgelassen wurde

Fünf Teilfragen — und eine Wurzel, die zwei davon rettet.

Eine Pendelkugel wird zur Seite gezogen und ohne Stoß losgelassen.

Masse:Die Kugel hat m = 0,5 kg.
Faden:Er ist 1,2 m lang.
Hubhöhe:Beim Auslenken wird die Kugel um h = 0,20 m angehoben.
Ortsfaktor:Rechne mit g = 9,81 N/kg.

Fünf Teilfragen zu einem einzigen Pendelschwung

Welche Lageenergie hat die Kugel beim Loslassen?

Wie schnell ist sie im tiefsten Punkt?

Wie hoch steigt sie auf der anderen Seite?

Wie schnell wäre sie bei doppelter Auslenkung, also bei h = 0,40 m?

Gemessen werden auf der anderen Seite nur 0,17 m — wie viel Prozent sind entwertet?

Für die Energie zählt nicht der Winkel, sondern allein die Höhe.

Auslenkung:Man gibt sie beim Pendel oft als seitlichen Abstand oder als Winkel an.
Entscheidend:Für die Energie zählt nur, um wie viel die Kugel dabei angehoben wird.
Unser h:Das ist genau diese Höhe über dem tiefsten Punkt der Bahn.

Die Aufgabe, Teilfrage für Teilfrage

Erst vorgerechnet, dann mit Lücken, dann allein.

a) und b) · vollständig vorgerechnet

1a) Lageenergie beim Loslassen. Bezugshöhe ist der tiefste Punkt der Bahn.E = m · g · h = 0,5 kg · 9,81 N/kg · 0,20 m = 0,981 J ≈ 0,98 J

2Knapp ein Joule — ungefähr die Energie, die du brauchst, um eine Tafel Schokolade einen Meter hoch zu heben.

3b) Zustände: Umkehrpunkt in Ruhe (nur Lageenergie) → tiefster Punkt (nur Bewegungsenergie).v = √(2 · g · h) = √(2 · 9,81 · 0,20) = √3,924 ≈ 1,98 m/s

4Antwort. Rund 2,0 m/s — das ist etwa Jogging-Tempo. Weder die Masse der Kugel noch die Länge des Fadens gehen in die Rechnung ein.

c) und d) · je ein Schritt fehlt

1c) Am zweiten Umkehrpunkt ist die Kugel wieder in Ruhe, also steckt die gesamte Energie wieder in der Lageenergie. Dieselbe Energie bei derselben Masse bedeutet dieselbe Höhe:h_rechts = ? m

2d) Bei h = 0,40 m verdoppelt sich die Energie. Aber v steckt im Quadrat:v = √(2 · 9,81 · 0,40) = √7,848 ≈ ? m/s

3Kontrolle: Bei c) müssen 0,20 m herauskommen, bei d) etwa 2,80 m/s — also nicht das Doppelte von 1,98 m/s, sondern das √2-fache.

e) · jetzt du allein

!e) Vergleiche die Lageenergie bei 0,17 m mit der bei 0,20 m. Tipp: Du kannst dir die Rechnung mit Joule sparen.

Lösung zu e) anzeigen

E_neu : E_alt = (m · g · 0,17) : (m · g · 0,20) = 0,17 : 0,20 = 0,85

Es sind noch 85 % der Energie übrig, also wurden 15 % entwertet. Weil m und g auf beiden Seiten stehen, kürzen sie sich weg — das Verhältnis der Höhen genügt.

Und damit ist auch der Versuch aus dem Einstieg geklärt: Da bei jedem Schwung Energie entwertet wird, kommt die Kugel immer ein Stück tiefer zurück. Sie kann die Nase gar nicht erreichen — solange man sie beim Loslassen nicht anschubst.

Die Schwingungsdauer wird mit \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) berechnet (g = 9,81 m/s²).

Pendellänge l

Überraschend: Die Schwingungsdauer hängt nur von der Länge ab — nicht von der Masse des Pendelkörpers. Ein längeres Pendel schwingt langsamer.

Allgemeine Hinweise

Doppelte Höhe doppeltes Tempo

Bei h = 0,40 m statt 0,20 m verdoppelt sich die Energie, aber nicht die Geschwindigkeit — sie wächst nur um den Faktor √2, also auf rund 2,80 m/s.

Fadenlänge wird nicht gebraucht

Die 1,2 m sind eine Zusatzangabe. Für die Energie zählt allein die Hubhöhe h = 0,20 m über dem tiefsten Punkt — dort ist die Lageenergie null.

Verhältnis statt Joule rechnen

Für den entwerteten Anteil genügt 0,17 m : 0,20 m = 0,85, also 15 %. Masse und Ortsfaktor stehen in beiden Lageenergien und kürzen sich weg.

Aus dem Unterricht

Das Fadenpendel in fünf Positionen

Bevor gerechnet wurde, haben wir das Pendel erst einmal nur beschrieben.

Beim Schwingen wandelt sich potenzielle Energie in kinetische um — und wieder zurück.

Umwandlung:Während des Schwingens wird potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt und wieder zurück.
Ohne Reibung:Die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie bleibt konstant.
Position 1 und 5:Der linke und der rechte Umkehrpunkt — bei Position 1 wird losgelassen.
Position 3:Der tiefste Punkt der Bahn.

Position	1	2	3	4	5
E_pot	maximal	klein	gleich Null	klein	maximal
E_kin	gleich Null	groß	maximal	groß	gleich Null

Die vier Fragen dazu

E_pot maximal:An den Stellen 1 und 5, also an den Umkehrpunkten.
E_kin maximal:An der Stelle 3, also im tiefsten Punkt.
Losgelassen:An der Stelle 1, aus der Höhe h.
E_kin = 0:An den Stellen 1 und 5.

Der Kern der Sache: Die Höhe h wird immer von der tiefsten Stelle aus gemessen — dort ist E_pot = 0. Und weil bei Stelle 1 die kinetische Energie null ist, gilt später beim Rechnen einfach E_pot,1 = E_kin,3.

Unterrichtsmaterial „Der Energieerhaltungssatz“, Aufgabe 2