Freier Fall im Fallturm

Die Situation — Ein Turm, der nur zum Fallen gebaut wurde

Die erste große Anwendungsaufgabe — eine Situation, fünf Teilfragen.

In Bremen steht ein Turm, in dem nichts gelagert und nichts hochgezogen wird — er ist nur zum Fallenlassen gebaut.

Luftleere Röhre:Im Inneren steckt eine lange Röhre, aus der die Luft herausgepumpt wurde.
Die Fallkapsel:Eine Kapsel mit Messgeräten fährt ganz nach oben und wird dort losgelassen.
Schwerelosigkeit:Für ein paar Sekunden herrscht darin Schwerelosigkeit wie auf der Raumstation.
Freier Fall:Ohne Luft gibt es praktisch keinen Luftwiderstand — es ist ein echter freier Fall.
Unser Rechenfall:Genau wie in Kapitel 3 wird Lageenergie vollständig zu Bewegungsenergie.
Bremsbehälter:Unten fängt ein mit Kügelchen gefüllter Behälter die Kapsel ab — das ist die letzte Teilfrage.

Lösungsweg — Fünf Teilfragen, ein einziger Ansatz

Immer dieselbe Gleichung — nur der Endzustand wechselt.

Gegeben in dieser Aufgabe

m = 400 kg · h = 110 m · g = 9,81 N/kg

Masse der Fallkapsel: 400 kg.

Fallhöhe in der Röhre: 110 m.

Ortsfaktor auf der Erde: 9,81 N/kg.

Annahme

Die Röhre ist luftleer, Reibung wird vernachlässigt.

Zu dieser einen Situation gehören fünf Teilfragen:

a)Welche Lageenergie hat die Kapsel oben?
b)Mit welcher Geschwindigkeit erreicht sie das untere Ende der Röhre?
c)Wie schnell ist sie auf halber Strecke, also nach 55 m?
d)Nach welcher Fallstrecke hat sie erst die halbe Endgeschwindigkeit?
e)Was geschieht mit der Energie im Bremsbehälter?

Bevor du losrechnest, wende das Vier-Schritte-Rezept an.

Anfangszustand:Die Kapsel ruht ganz oben in 110 m Höhe.
Endzustand:Das ist jeweils der Moment, nach dem gefragt wird.
Die Gleichung:Dazwischen gilt immer E_vorher = E_nachher.
Ein Ansatz für alles:Nur der Endzustand wechselt, die Gleichung bleibt dieselbe.

Der Lösungsweg als Kette — jede Teilfrage mit demselben Ansatz:

a) Lageenergie:E = m · g · h = 400 kg · 9,81 N/kg · 110 m = 431 640 J ≈ 432 kJ.
b) Unten:v = √(2 · 9,81 · 110) ≈ 46,5 m/s, also etwa 167 km/h; die Masse kürzt sich weg.
c) Nach 55 m:v = √(2 · 9,81 · 55) ≈ 32,9 m/s — auf halber Strecke also nicht halb so schnell.
d) Halbes Tempo:23,2 m/s → h = v² : (2 · g) ≈ 27,5 m, also schon nach einem Viertel der Strecke.
e) Bremsbehälter:Die Energie wird zu innerer Energie von Kügelchen und Kapsel — erhalten, aber entwertet.

Geschwindigkeit beim freien Fall

v = √(2 · g · h)

Fallstrecke ab dem Start aus der Ruhe.

Geschwindigkeit nach dieser Strecke, ohne Luftwiderstand.

Im echten Versuch misst du etwas weniger Bewegungsenergie — der Satz ist damit nicht widerlegt.

Reibung:Der Energieerhaltungssatz der Mechanik gilt nur ohne Reibung.
Wohin:Die „fehlende“ Energie steckt als thermische Energie in Luft, Halterung und Kugel.
Widerlegt:Das wäre er erst, wenn man reproduzierbar mehr Energie misst, als vorher da war.

Digitales Labor: Freier Fall mit Lichtschranke

Die Lichtschranke liefert nur die Verdunkelungszeit t der Kugel — Geschwindigkeit, E_pot und E_kin werden daraus berechnet. Wie im echten Labor streuen die Werte ein wenig. Eine Messreihe zeigt, wie die Punkte im Diagramm zur Geraden E_kin = E_pot liegen.

Fallhöhe h

Zeitmesser (Auflösung)

Stahlkugel (d = 2,00 cm)

Die Punkte einer Messreihe liegen fast auf der gestrichelten Geraden E_kin = E_pot, aber systematisch ein Stück darunter: Der Mittelwert liegt typischerweise bei 96 bis 98 Prozent. Das ist genau das Ergebnis, das ein echter Versuch liefert — und es bestätigt den Energieerhaltungssatz, statt ihn zu widerlegen. Die fehlenden Prozente stecken in Luftreibung und Reibung an der Halterung. Bei 0,1 ms Auflösung streuen die Punkte deutlich stärker, besonders bei großen Höhen — der Grund wird in Aufgabe 10 der Übungsseite berechnet. Die Kugelmasse verändert beide Energien, aber nicht ihr Verhältnis.

Allgemeine Hinweise

Halbe Strecke halbe Geschwindigkeit

Nach 55 m ist die Kapsel nicht halb so schnell: Es kommen etwa 32,9 m/s heraus statt 46,5 m/s bei voller Höhe. Schuld ist das v² — für doppeltes Tempo braucht es die vierfache Höhe.

Masse nur bei Teil a

Die 400 kg brauchst du nur für E = m · g · h. Sobald du mit v = √(2 · g · h) arbeitest, kürzt sich die Masse weg — sie gehört dann gar nicht in die Rechnung.

Im Bremsbehälter geht nichts weg

Die Kapsel steht unten still, aber die Energie ist nicht verschwunden. Sie steckt als innere Energie in Kügelchen und Behälter — erhalten, aber entwertet.