Textaufgaben
Alle zehn Aufgaben sind gleich aufgebaut und gleich schwer — sie unterscheiden sich nur in der Situation. In jeder Aufgabe beschreibst du in a) Anfangs- und Endzustand, berechnest in b) die Energie im Anfangszustand und bestimmst in c) mit \(E_{\text{vorher}} = E_{\text{nachher}}\) die gesuchte Größe. Nur die Zusatzaufgabe d) ist von Situation zu Situation verschieden. Gebraucht werden ausschließlich die Formeln aus Kapitel 1.1: \(E_{\text{kin}}=\tfrac12\,m\,v^2\), \(E_{\text{pot}}=m\,g\,h\), \(E_{\text{spann}}=\tfrac12\,D\,s^2\) und \(E_{\text{el}}=U\cdot I\cdot t\), immer mit \(g = 9{,}81\ \tfrac{\text{N}}{\text{kg}}\). Öffne den Erwartungshorizont erst, wenn deine eigene Lösung im Heft steht.
Der erste Abfahrtshügel der Achterbahn
AFB I–IIIIm Freizeitpark zieht eine Kette den Achterbahnzug langsam auf den ersten Hügel. Ganz oben, 45 m über dem tiefsten Punkt der Strecke, steht der Zug für einen Moment fast still — dann kippt er über die Kuppe und rast nach unten. Der Zug wiegt mit allen Fahrgästen zusammen 600 kg. Ab der Kuppe treibt kein Motor mehr an; Reibung und Luftwiderstand werden vernachlässigt. Hinter dem ersten Tal steigt die Strecke zu einem zweiten Hügel an — oben darauf misst die Anlage noch 20 m/s.
Gegebenm = 600 kg · h = 45 m · g = 9,81 N/kg · Startgeschwindigkeit ≈ 0
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Geschwindigkeit des Zuges am tiefsten Punkt der Strecke.
- Ermittle die Höhe des zweiten Hügels über dem tiefsten Punkt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: oben auf der Kuppe, 45 m hoch und praktisch in Ruhe → nur Lageenergie.
Endzustand: am tiefsten Punkt, Höhe 0 und maximale Geschwindigkeit → nur Bewegungsenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{pot}} = 600\cdot 9{,}81\cdot 45 = 264\,870\ \text{J} \approx 265\ \text{kJ}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(m\,g\,h = \tfrac12\,m\,v^2\ |\ :m \Rightarrow v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 45} = \sqrt{882{,}9}\)
\(v \approx 29{,}7\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 107\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\). Die Masse wird nicht gebraucht — sie kürzt sich weg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(E_{\text{kin}} = \tfrac12\cdot 600\cdot 20^2 = 120\,000\ \text{J}\)
\(E_{\text{pot}} = 264\,870 - 120\,000 = 144\,870\ \text{J}\)
\(h = \dfrac{144\,870}{600\cdot 9{,}81} \approx 24{,}6\ \text{m}\)
Antwortsatz: Der zweite Hügel ist rund 24,6 m hoch — deutlich niedriger als der erste, sonst käme der Zug nicht darüber.
Dieses Applet stammt aus Unterkapitel 1.2.3 »Anwendung: Die Achterbahn«. Die orange Linie ist die Gesamtenergie — sie liegt waagerecht über der ganzen Strecke. Der blaue Abschnitt zwischen Schiene und Linie ist die Bewegungsenergie: Schiebe den Wagen ins erste Tal, und du siehst genau die Größe, die du in Teilaufgabe c) berechnet hast.
Die orange gestrichelte Linie ist das Energiebudget der Fahrt. Alles unterhalb der Schiene ist Lageenergie, alles zwischen Schiene und Linie ist Bewegungsenergie.
Der Wagen im Applet wiegt 900 kg statt 600 kg, der erste Hügel ist wie in der Aufgabe 45 m hoch — an der Geschwindigkeit im Tal ändert die Masse nichts. Achte darauf, dass die Schiene nirgends über die orange Linie ragt: Höher als der Starthügel kommt der Zug nie.
Streit auf der Wasserrutsche
AFB I–IIIIm Freibad gibt es eine Riesenrutsche: Vom Startpodest bis zum Auslaufbecken geht es 8,5 m nach unten. Lina (45 kg) und Jonas (72 kg) starten beide aus dem Stand. Jonas ist sich sicher: „Ich bin schwerer, ich komme unten schneller an.“ Das Wasser macht die Rutsche so glatt, dass ihr die Reibung für die Rechnung vernachlässigen dürft.
Gegebenh = 8,5 m · mLina = 45 kg · mJonas = 72 kg · g = 9,81 N/kg
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Geschwindigkeit, mit der Lina unten ankommt.
- Begründe mit der Gleichung, ob Jonas mit seiner Behauptung recht hat.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: oben auf dem Startpodest, 8,5 m hoch und in Ruhe → nur Lageenergie.
Endzustand: unten im Auslaufbecken, Höhe 0 und volle Fahrt → nur Bewegungsenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{pot}} = 45\cdot 9{,}81\cdot 8{,}5 = 3752{,}3\ \text{J} \approx 3{,}75\ \text{kJ}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 8{,}5} = \sqrt{166{,}77} \approx 12{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 46{,}5\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Jonas hat nicht recht. In \(m\,g\,h = \tfrac12\,m\,v^2\) steht \(m\) auf beiden Seiten und kürzt sich heraus; übrig bleibt \(v=\sqrt{2gh}\) ganz ohne Masse.
Jonas hat oben zwar mehr Lageenergie (72 kg statt 45 kg), muss unten aber auch mehr Masse bewegen. Beides gleicht sich exakt aus. Antwortsatz: Beide kommen mit rund 12,9 m/s an.
Aus Unterkapitel 1.2.2 »Der freie Fall aus dem Fallturm«: Der Balken rechts zeigt, wie Lageenergie Stück für Stück zu Bewegungsenergie wird — genau die Umwandlung, die auch auf der Wasserrutsche abläuft. Nur die Zahlen sind größer: 110 m Fallhöhe statt 8,5 m.
Links die Röhre mit der Kapsel, rechts der Energiespeicher. Der Balken färbt sich beim Fallen um, bleibt dabei aber immer gleich lang.
Die Voreinstellung „nach einem Viertel“ zeigt, warum die Masse hier nichts ändert und die Höhe alles: Nach einem Viertel der Strecke ist erst die halbe Endgeschwindigkeit erreicht — weil \(v\) im Quadrat steht. Die Summe im Balken bleibt dabei immer gleich.
Wie hoch fliegt man vom Trampolin?
AFB I–IIIMia (35 kg) springt im Garten Trampolin. Im tiefsten Punkt ist das Sprungtuch samt Federn um 45 cm nach unten durchgedrückt. Die Federn und das Tuch verhalten sich zusammen wie eine einzige große Feder mit der Federkonstante D = 5200 N/m. In diesem Moment steht Mia für einen Augenblick still — ihre gesamte Energie steckt in der gespannten Matte. Danach schleudert die Matte sie wieder nach oben.
Gegebenm = 35 kg · D = 5200 N/m · s = 45 cm = 0,45 m · g = 9,81 N/kg
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Höhe, die Mia über der entspannten Matte erreicht.
- Deute was sich ändert, wenn die Matte doppelt so tief, also 90 cm, eingedrückt wird.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: tiefster Punkt, Matte um 0,45 m eingedrückt, Mia in Ruhe → nur Spannenergie.
Endzustand: höchster Punkt in der Luft, Mia wieder in Ruhe → nur Lageenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{spann}} = \tfrac12\cdot 5200\cdot 0{,}45^2 = 2600\cdot 0{,}2025 = 526{,}5\ \text{J}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\tfrac12\,D\,s^2 = m\,g\,h \Rightarrow h = \dfrac{D\,s^2}{2\,m\,g} = \dfrac{526{,}5}{35\cdot 9{,}81} = \dfrac{526{,}5}{343{,}35}\)
\(h \approx 1{,}53\ \text{m}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(E_{\text{spann}} = \tfrac12\cdot 5200\cdot 0{,}90^2 = 2600\cdot 0{,}81 = 2106\ \text{J}\) — das Vierfache, weil \(s\) quadratisch eingeht.
\(h = \dfrac{2106}{343{,}35} \approx 6{,}1\ \text{m}\) — ebenfalls das Vierfache.
Deutung: Doppelte Eindrücktiefe bedeutet nicht doppelte, sondern vierfache Höhe. In der Praxis geben Tuch und Federn das aber nicht her: Sie werden bei starker Dehnung härter, und ein Teil der Energie bleibt als innere Energie im Material.
Aus Unterkapitel 1.2.5 »Trampolin und Sprungfeder«. Links die Eindrücktiefe \(s\), rechts die erreichte Sprunghöhe. Stelle \(s\) fest ein und verändere dann nur die Masse: Der Energiewert links bleibt stehen, die Höhe rechts nicht.
Links das Tuch mit der Eindrücktiefe s, rechts die erreichte Sprunghöhe. s und die Masse wirken sich unterschiedlich stark auf die Sprunghöhe aus.
Das Applet rechnet mit \(D = 3000\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}\); Mias Trampolin in Aufgabe 3 ist mit 5200 N/m straffer. Der Zusammenhang ist derselbe: Doppelte Eindrücktiefe vervierfacht die Energie, doppelte Masse halbiert die Höhe.
Die Abschussfeder im Flipperautomaten
AFB I–IIIAn einem Flipperautomaten ziehst du vor jedem Spiel den Kolben zurück und lässt ihn los — die Feder schnippt die Stahlkugel ins Spielfeld. Der Kolben lässt sich um 4,0 cm zurückziehen, die Feder hat die Federkonstante D = 180 N/m, die Kugel wiegt 80 g. Die Bahn ist am Anfang waagerecht, Reibung wird vernachlässigt.
GegebenD = 180 N/m · s = 4,0 cm = 0,040 m · m = 80 g = 0,080 kg
Der Kolben ist um s gegen die entspannte Lage zurückgezogen. Genau diese Strecke steht in \(E_{\text{spann}}=\tfrac12\,D\,s^2\) — nicht die Länge der Feder und nicht die Länge des Kanals.
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Geschwindigkeit, mit der die Kugel den Kolben verlässt.
- Leite eine allgemeine Formel für \(v\) und erkläre damit, was bei doppelter Auslenkung passiert.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: Kolben um 4,0 cm zurückgezogen, Kugel in Ruhe → nur Spannenergie.
Endzustand: Feder entspannt, Kugel rollt waagerecht los → nur Bewegungsenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{spann}} = \tfrac12\cdot 180\cdot 0{,}040^2 = 90\cdot 0{,}0016 = 0{,}144\ \text{J}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\tfrac12\,D\,s^2 = \tfrac12\,m\,v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}144}{0{,}080}} = \sqrt{3{,}6}\)
\(v \approx 1{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(\tfrac12 D s^2 = \tfrac12 m v^2\ |\cdot 2,\ :m \Rightarrow v^2 = \dfrac{D\,s^2}{m} \Rightarrow v = s\cdot\sqrt{\dfrac{D}{m}}\)
Probe: \(v = 0{,}040\cdot\sqrt{2250} = 0{,}040\cdot 47{,}4 \approx 1{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) — wie in c).
Bei doppelter Auslenkung (8,0 cm) vervierfacht sich die Energie auf 0,576 J, die Geschwindigkeit aber nur verdoppelt sich auf 3,8 m/s: In \(v = s\sqrt{D/m}\) steht \(s\) ohne Quadrat.
Bogenschießen im Ferienlager
AFB I–IIIBeim Bogenschießen zieht Tim die Sehne 60 cm weit zurück. Der Bogen verhält sich dabei näherungsweise wie eine Feder mit D = 500 N/m. Der Pfeil hat eine Masse von 25 g. Der Trainer erzählt, ein senkrecht nach oben geschossener Pfeil käme „theoretisch höher als der Kölner Dom“ (157 m). Rechne ohne Luftwiderstand.
GegebenD = 500 N/m · s = 60 cm = 0,60 m · m = 25 g = 0,025 kg · g = 9,81 N/kg
Der Bogen wird wie eine Feder behandelt: Der Auszug s ist der Abstand der Pfeilkerbe von der ungespannten Sehne. Die gespeicherte Spannenergie hängt nur vom Bogen ab — welcher Pfeil aufliegt, entscheidet erst über die Geschwindigkeit.
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Geschwindigkeit, mit der der Pfeil den Bogen verlässt.
- Schätze die Höhe, die der Pfeil bei senkrechtem Schuss erreicht, und prüfe damit die Aussage des Trainers.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: Sehne 60 cm ausgezogen, Pfeil in Ruhe → nur Spannenergie.
Endzustand: Sehne entspannt, Pfeil verlässt den Bogen → nur Bewegungsenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{spann}} = \tfrac12\cdot 500\cdot 0{,}60^2 = 250\cdot 0{,}36 = 90\ \text{J}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 90}{0{,}025}} = \sqrt{7200} \approx 85\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) (rund 306 km/h)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(E_{\text{spann}} = m\,g\,h \Rightarrow h = \dfrac{90}{0{,}025\cdot 9{,}81} = \dfrac{90}{0{,}245} \approx 367\ \text{m}\)
Rechnerisch stimmt die Aussage sogar mit großem Abstand: 367 m sind mehr als das Doppelte der 157 m des Kölner Doms. Das gilt aber nur ohne Luftwiderstand. Ein dünner, sehr schneller Pfeil verliert unterwegs viel Energie an die Luft; real bleibt davon nur ein Bruchteil.
Warum die Halfpipe nicht ewig trägt
AFB I–IIIBen (60 kg mit Board und Schutzausrüstung) startet in der Skatehalle aus dem Stand an der Kante der Halfpipe, 3,20 m über dem Boden. Auf der gegenüberliegenden Seite kommt er nur noch 2,60 m hoch, bevor er wieder zurückrollt. Ben wundert sich: „Energie geht doch angeblich nie verloren.“
Gegebenm = 60 kg · h1 = 3,20 m · h2 = 2,60 m · g = 9,81 N/kg
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Geschwindigkeit, die Ben am tiefsten Punkt hätte, wenn es keine Reibung gäbe.
- Werte die tatsächlich erreichten 2,60 m: Wie viel Energie wird pro Durchfahrt entwertet, und wohin geht sie?
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: an der Kante, 3,20 m hoch und in Ruhe → nur Lageenergie.
Endzustand: am tiefsten Punkt der Halfpipe, Höhe 0 und maximale Geschwindigkeit → nur Bewegungsenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{pot}} = 60\cdot 9{,}81\cdot 3{,}20 = 1883{,}5\ \text{J}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 3{,}20} = \sqrt{62{,}78} \approx 7{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 28{,}5\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(E_2 = 60\cdot 9{,}81\cdot 2{,}60 = 1530{,}4\ \text{J}\)
\(\Delta E = 1883{,}5 - 1530{,}4 = 353{,}1\ \text{J}\), Anteil \(\tfrac{0{,}60}{3{,}20} = 18{,}75\ \%\)
Die 353 J sind nicht verschwunden: Rollreibung in den Lagern, Verformung der Rollen und Luftwiderstand machen daraus innere Energie (alles erwärmt sich minimal) und ein wenig Schall. Der Energieerhaltungssatz gilt weiter — die Energie ist entwertet, nicht verloren.
Aus Unterkapitel 1.2.6 »Bremsweg, Reibung und Energieentwertung«. Das Beispiel ist ein bremsendes Auto statt einer Halfpipe — der Mechanismus ist derselbe: Reibung wandelt Bewegungsenergie in innere Energie um.
Der blaue Abschnitt ist der Reaktionsweg, der rote der Bremsweg. Je nach Geschwindigkeit und Zustand der Fahrbahn läuft einer der beiden Abschnitte aus dem Ruder.
Stelle bei gleicher Geschwindigkeit die Fahrbahn auf „vereist“: Der Energiebalken bleibt gleich groß, nur die Reibungskraft wird kleiner — dieselbe Energie braucht dann eine viel längere Strecke. Bei Ben in der Halfpipe ist es umgekehrt eine sehr kleine Reibung über eine lange Strecke, die die 353 J entwertet.
Der Anlauf auf der Skisprungschanze
AFB I–IIIAuf einer Normalschanze liegt der Startbalken 40 m über dem Schanzentisch. Ein Springer mit Ski, Anzug und Helm bringt 68 kg auf die Waage und startet aus dem Stand. Die Zeitmessung am Schanzentisch zeigt eine Absprunggeschwindigkeit von 24 m/s an. In der Sportschau heißt es, die Springer würden „im freien Fall“ die Anlaufspur hinunterrasen.
Gegebenm = 68 kg · h = 40 m · vgemessen = 24 m/s · g = 9,81 N/kg
Für die Energiebilanz zählt allein der Höhenunterschied h zwischen Startbalken und Schanzentisch — nicht die Länge der Anlaufspur und nicht ihre Krümmung.
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Geschwindigkeit, die der Springer ohne jede Reibung am Schanzentisch hätte.
- Überprüfe mit den gemessenen 24 m/s, welcher Anteil ankommt, und prüfe damit die Aussage aus der Sportschau.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: am Startbalken, 40 m über dem Schanzentisch und in Ruhe → nur Lageenergie.
Endzustand: am Schanzentisch, Höhe 0 und volle Anlaufgeschwindigkeit → nur Bewegungsenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{pot}} = 68\cdot 9{,}81\cdot 40 = 26\,683\ \text{J} \approx 26{,}7\ \text{kJ}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 40} = \sqrt{784{,}8} \approx 28{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 101\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(E_{\text{kin}} = \tfrac12\cdot 68\cdot 24^2 = 19\,584\ \text{J}\), Anteil \(\tfrac{19\,584}{26\,683} \approx 73{,}4\ \%\)
Rund 26,6 % (etwa 7100 J) gehen durch Gleitreibung und vor allem Luftwiderstand verloren. Die Aussage „freier Fall“ ist damit falsch: Bei einem freien Fall müssten die 28,0 m/s herauskommen. Gerade weil ein Viertel fehlt, entscheiden Anzug und Hockhaltung über die Weite.
Der Aufzug im Kaufhaus
AFB I–IIIEin Aufzug bringt eine Nutzlast von 640 kg vom Erdgeschoss ins siebte Stockwerk, insgesamt 21 m nach oben. Die Fahrt dauert 30 s. Der Antriebsmotor arbeitet dabei mit einer Spannung von 400 V und nimmt eine Stromstärke von 16 A auf. Im Wartungsheft steht der Satz: „Beim Betrieb geht Energie verloren.“
Gegebenm = 640 kg · h = 21 m · U = 400 V · I = 16 A · t = 30 s · g = 9,81 N/kg
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Höhe, um die die Nutzlast steigen würde, wenn die gesamte elektrische Energie in Lageenergie überginge.
- Beurteile mit den tatsächlichen 21 m den Satz aus dem Wartungsheft und schlage eine bessere Formulierung vor.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: Der Motor nimmt 30 s lang Strom auf → elektrische Energie, \(E_{\text{el}} = U\cdot I\cdot t\).
Endzustand: Die Nutzlast hängt oben → Lageenergie, \(E_{\text{pot}} = m\cdot g\cdot h\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{el}} = 400\ \text{V}\cdot 16\ \text{A}\cdot 30\ \text{s} = 192\,000\ \text{J} = 192\ \text{kJ}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(E_{\text{el}} = m\,g\,h \Rightarrow h = \dfrac{192\,000}{640\cdot 9{,}81} = \dfrac{192\,000}{6278{,}4} \approx 30{,}6\ \text{m}\)
Ein idealer Aufzug käme also gut zehn Stockwerke hoch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(E_{\text{pot}} = 640\cdot 9{,}81\cdot 21 = 131\,846\ \text{J}\), Anteil \(\tfrac{131\,846}{192\,000} \approx 68{,}7\ \%\)
Der Satz ist physikalisch falsch: Energie kann nicht verloren gehen. Die fehlenden rund 60 kJ stecken in der Erwärmung von Motorwicklung, Getriebe, Seil und Schienen sowie im Schall.
Bessere Formulierung: „Beim Betrieb werden rund 31 % der elektrischen Energie entwertet: Sie werden in innere Energie und Schall umgewandelt und stehen fürs Heben nicht zur Verfügung.“
Aus Unterkapitel 1.2.7 »Das Pumpspeicherkraftwerk«. Ein Pumpspeicher macht im Großen genau das, was der Aufzug im Kleinen tut: elektrische Energie in Lageenergie umwandeln — und beim Ablassen wieder zurück.
Links das Kraftwerk mit Ober- und Unterbecken, rechts die gespeicherte Energie. Fallhöhe und Wassermenge gehen beide einfach ein, nicht quadratisch.
Verändere Fallhöhe und Wassermenge: Beide gehen in \(E = m\cdot g\cdot h\) einfach ein, nicht quadratisch. Doppelte Höhe wirkt genauso wie doppelte Masse. Beim Aufzug ist es dieselbe Formel — nur mit 640 kg statt zwei Millionen Tonnen Wasser.
Bungeesprung von der Schluchtbrücke
AFB I–IIIVon einer Brücke über einer 55 m tiefen Schlucht springt Anna (70 kg) an einem Bungeeseil. Das ungedehnte Seil ist 25 m lang; erst danach beginnt es zu ziehen und wirkt wie eine sehr weiche Feder. Am tiefsten Punkt hängt Anna 47 m unter der Absprungstelle und ist dort für einen Moment in Ruhe. Reibung und Luftwiderstand werden vernachlässigt.
Gegebenm = 70 kg · Fallstrecke h = 47 m · Seillänge 25 m · Dehnung s = 22 m · g = 9,81 N/kg
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Federkonstante \(D\) des Bungeeseils.
- Entscheide begründet, ob ein 95 kg schwerer Springer mit demselben Seil verantwortbar springen kann. Der Veranstalter gibt für ihn eine Tiefe von 52 m an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: auf der Brücke, 47 m über dem tiefsten Punkt und in Ruhe → nur Lageenergie.
Endzustand: am tiefsten Punkt, Seil um 22 m gedehnt, Anna kurz in Ruhe (\(v=0\), also \(E_{\text{kin}}=0\)) → nur Spannenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{pot}} = 70\cdot 9{,}81\cdot 47 = 32\,275\ \text{J} \approx 32{,}3\ \text{kJ}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Dehnung: \(s = 47 - 25 = 22\ \text{m}\)
\(m\,g\,h = \tfrac12\,D\,s^2 \Rightarrow D = \dfrac{2\,m\,g\,h}{s^2} = \dfrac{64\,550}{484}\)
\(D \approx 133\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Kontrolle mit \(m = 95\ \text{kg}\), \(h = 52\ \text{m}\), \(s = 27\ \text{m}\):
\(E_{\text{pot}} = 95\cdot 9{,}81\cdot 52 = 48\,461\ \text{J}\) und \(E_{\text{spann}} = \tfrac12\cdot 133{,}4\cdot 27^2 = 48\,624\ \text{J}\)
Beide Werte stimmen auf unter 0,5 % überein — die 52 m sind rechnerisch korrekt.
Entscheidung: nicht verantwortbar. Es blieben nur 3 m Abstand zum Grund. Gummiseile werden bei starker Dehnung weicher, leiern mit der Zeit aus und reagieren auf Temperatur; schon 5 % weniger Federkonstante kosten mehrere Meter. Für den schwereren Springer gehört ein kürzeres oder härteres Seil an die Brücke.
Aus Unterkapitel 1.2.4 »Das Fadenpendel«. Ein Pendel ist kein Bungeeseil — aber der Umkehrpunkt ist genau der Gedanke aus Teilaufgabe a): Dort steht der Körper für einen Moment still, die Bewegungsenergie ist null, und die gesamte Energie liegt in der anderen Form vor.
Die Punkte auf der Bahn sind eingefärbt: violett heißt viel Lageenergie, blau viel Bewegungsenergie. Beim Weiterschwingen zeigt sich zusätzlich die Dämpfung des Pendels.
Fahre die Kugel zum tiefsten Punkt: Der Punkt färbt sich rein blau, die Lageenergie ist dort null. An den Umkehrpunkten ist es genau umgekehrt. Der zweite Knopf zeigt zusätzlich die Dämpfung — beim Bungeesprung sorgt sie dafür, dass Anna nach einigen Schwüngen ruhig hängt.
Hau den Lukas auf der Kirmes
AFB I–IIIAm Kirmesstand „Hau den Lukas“ schlägt ein Spieler mit einem 5,0 kg schweren Hammer auf die Wippe. Der Hammerkopf trifft sie mit 10 m/s. Der Metallklotz (2,5 kg) schießt daraufhin an der Stange 3,0 m nach oben — die Glocke hängt allerdings erst bei 4,0 m. Der Freund des Spielers ruft: „Hau doppelt so fest drauf, dann bist du doppelt so hoch und die Glocke läutet locker!“
GegebenmHammer = 5,0 kg · v = 10 m/s · mKlotz = 2,5 kg · h = 3,0 m · g = 9,81 N/kg
Der Hammer trifft die Schlagplatte, der Klotz schießt am Mast nach oben. Von den 250 J des Hammers kommen nur die 3,0 m Steighöhe des Klotzes als Lageenergie an — der Rest wird schon beim Aufschlag entwertet.
- Beschreibe den Anfangszustand und den Endzustand dieses Vorgangs und nenne für beide die beteiligte Energieform.
- Berechne die Energie, die im Anfangszustand gespeichert ist.
- Bestimme mit dem Energieerhaltungssatz daraus die Höhe, die der Klotz erreichen würde, wenn die gesamte Hammerenergie auf ihn überginge.
- Widerlege mit den tatsächlichen 3,0 m die Behauptung des Freundes und gib an, was bei doppelter Schlaggeschwindigkeit wirklich passiert.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anfangszustand: Der Hammer trifft mit 10 m/s auf, der Klotz liegt unten → nur Bewegungsenergie.
Endzustand: Der Klotz steht oben an der Stange und ist kurz in Ruhe → nur Lageenergie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(E_{\text{kin}} = \tfrac12\cdot 5{,}0\cdot 10^2 = 250\ \text{J}\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(E_{\text{kin}} = m\,g\,h \Rightarrow h = \dfrac{250}{2{,}5\cdot 9{,}81} = \dfrac{250}{24{,}525} \approx 10{,}2\ \text{m}\)
Ideal müsste der Klotz also weit über die Glocke hinausschießen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(E_{\text{pot}} = 2{,}5\cdot 9{,}81\cdot 3{,}0 = 73{,}6\ \text{J}\), Anteil \(\tfrac{73{,}6}{250} \approx 29{,}4\ \%\) — über 70 % werden schon beim Aufschlag entwertet.
Die Behauptung ist falsch: Bei \(v = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) ist \(E_{\text{kin}} = \tfrac12\cdot 5{,}0\cdot 20^2 = 1000\ \text{J}\), also das Vierfache. Bei gleichem Übertragungsanteil kommen 294 J an und der Klotz steigt \(h = \tfrac{294}{24{,}525} \approx 12{,}0\ \text{m}\) — die vierfache Höhe, nicht die doppelte.
Grund: \(v\) geht in \(E_{\text{kin}}\) quadratisch ein, \(h\) in \(E_{\text{pot}}\) aber nur einfach. Für die Glocke bei 4,0 m genügen bereits rund 11,6 m/s.