Lernziele
- Sie ordnen die sechs Unterkapitel 4.1.1 bis 4.2.3 in den roten Faden des Kapitels ein.
- Sie wenden alle Formeln des Kapitels an — von \(f=\dfrac{1}{T}\) bis zur Thomson-Gleichung \(T=2\pi\sqrt{L\,C}\).
- Sie vergleichen Feder-Masse-Pendel, Fadenpendel und Schwingkreis und erläutern die Analogie \(m\leftrightarrow L\), \(D\leftrightarrow \tfrac{1}{C}\), \(y\leftrightarrow q\).
- Sie erkennen den gemeinsamen Bauplan \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{\text{Trägheit}}{\text{Rücktrieb}}}\) hinter allen drei Oszillatoren.
- Sie stellen im Selbstcheck fest, welche Unterkapitel Sie noch einmal ansehen sollten.
Diese Seite ist der Überblick über das gesamte Kapitel 4 Schwingungen. Sie finden hier den roten Faden durch alle sechs Unterkapitel, die vollständige Formelsammlung, den Vergleich der drei Oszillatoren, alle im Kapitel gerechneten Zahlenbeispiele sowie die Schwingungs-Werkstatt, in der Sie Schwingungsdauer, Frequenz und Kreisfrequenz selbst einstellen und ablesen. Am Ende prüfen Sie im Selbstcheck, wo Sie stehen.
Der rote Faden — sechs Unterkapitel
Das Kapitel geht in zwei Schritten vor. In 4.1 lernen Sie, eine Schwingung überhaupt zu beschreiben: erst die Kenngrößen, dann die harmonische Schwingung als Sinusfunktion, dann der Zeiger als Bild dahinter. In 4.2 untersuchen Sie drei konkrete schwingende Systeme — und stellen fest, dass alle drei nach demselben Bauplan gebaut sind. Jede Karte führt zum Unterkapitel.
Schwingungen beschreiben
Ruhelage, Auslenkung \(y\), Umkehrpunkte, Amplitude \(\hat y\), Periodendauer \(T\) und Frequenz \(f\) — alles am Weg-Zeit-Diagramm abgelesen. Die Amplitude reicht nur von der Ruhelage bis zum Umkehrpunkt; der Gesamthub ist \(2\hat y\).
Harmonische Schwingungen
Harmonisch heißt: Das \(t\)-\(y\)-Diagramm ist eine reine Sinuskurve. Ursache ist das lineare Kraftgesetz — die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung und zeigt stets zur Ruhelage.
Der Zeigerformalismus
Ein Zeiger der Länge \(\hat y\) dreht sich gleichmäßig; seine Projektion auf die senkrechte Achse ergibt die Sinuskurve. In der Ruhelage ist die Projektion am schnellsten, an den Umkehrpunkten steht sie still.
Das Feder-Masse-Pendel
Eine größere Masse verlängert die Schwingungsdauer, eine härtere Feder verkürzt sie. Die Amplitude kommt in der Formel nicht vor. Vierfache Masse verdoppelt \(T\).
Das Fadenpendel
Die Schwingungsdauer hängt nur von der Fadenlänge \(l\) und vom Ortsfaktor \(g\) ab — nicht von der Masse und (bis etwa \(10^\circ\)) nicht von der Amplitude. Vierfache Länge verdoppelt \(T\).
Der Schwingkreis
Der geladene Kondensator entlädt sich über die Spule; die Energie pendelt zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule. Hier schwingt keine Masse, sondern die Ladung \(q\).
Formelsammlung des Kapitels
Alle Formeln, die im Kapitel vorkommen — auf einen Blick. Achten Sie in jeder Zeile besonders auf die Einheiten: Sie sind die häufigste Fehlerquelle.
| Zusammenhang | Formel | Einheiten und Hinweise | Kapitel |
|---|---|---|---|
| Frequenz und Periodendauer | \(f=\dfrac{1}{T}\qquad T=\dfrac{1}{f}\) | \(T\) in \(\mathrm s\), \(f\) in Hertz mit \(1\,\mathrm{Hz}=\tfrac{1}{\mathrm s}\) | 4.1.1 |
| Kreisfrequenz | \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\) | Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm s}\) bzw. \(\tfrac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}\). \(\omega\) und \(f\) unterscheiden sich um den Faktor \(2\pi\). | 4.1.2 |
| Harmonische Schwingung | \(y(t)=\hat y\cdot\sin(\omega t)\) | gilt für den Start in der Ruhelage; Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) stellen | 4.1.2 |
| Lineares Kraftgesetz | \(F=-D\cdot y\) | \(D\) ist die Richtgröße (Federhärte) in \(\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\); das Minuszeichen bedeutet: stets zur Ruhelage gerichtet | 4.1.2 |
| Phasenwinkel | \(\varphi=\omega t\) | ein voller Umlauf entspricht \(\varphi=2\pi=360^\circ\) | 4.1.3 |
| Projektion des Zeigers | \(y=\hat y\cdot\sin\varphi\) | die Zeigerlänge ist die Amplitude \(\hat y\) | 4.1.3 |
| Feder-Masse-Pendel | \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\) | \(m\) in \(\mathrm{kg}\), \(D\) in \(\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\); Reihenfolge: erst \(\tfrac{m}{D}\), dann die Wurzel, dann \(\cdot\,2\pi\) | 4.2.1 |
| Fadenpendel | \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) | \(l\) in \(\mathrm m\), \(g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\); die Masse taucht nicht auf | 4.2.2 |
| Schwingkreis (Thomson-Gleichung) | \(T=2\pi\sqrt{L\cdot C}\) | \(L\) in \(\mathrm H\), \(C\) in \(\mathrm F\); \(1\,\mathrm{mH}=10^{-3}\,\mathrm H\), \(1\,\mathrm{\mu F}=10^{-6}\,\mathrm F\) | 4.2.3 |
Merkhilfe zum Ablesen: Im Weg-Zeit-Diagramm steckt die Amplitude in der Höhe der Kurve und die Periodendauer in ihrer Breite. Beim Messen nie eine einzelne Periode stoppen, sondern 20 Perioden nehmen und durch 20 teilen.
Vergleich der drei Oszillatoren
Feder-Masse-Pendel, Fadenpendel und Schwingkreis sehen völlig verschieden aus — ihre Schwingungsdauer folgt aber immer demselben Bauplan. Im Zähler unter der Wurzel steht, was träge ist; im Nenner, was zurücktreibt.
| Merkmal | Feder-Masse-Pendel (4.2.1) | Fadenpendel (4.2.2) | Schwingkreis (4.2.3) |
|---|---|---|---|
| Schwingungsdauer | \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\) | \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) | \(T=2\pi\sqrt{L\cdot C}\) |
| Trägheit (Zähler) | Masse \(m\) | Masse \(m\) — sie kürzt sich jedoch heraus | Induktivität \(L\) |
| Rücktrieb (Nenner) | Federhärte \(D\) | Schwerkraft; im Bauplan steckt sie in \(\tfrac{g}{l}\) | \(\tfrac{1}{C}\) — je größer \(C\), desto schwächer der Rücktrieb |
| Zustandsgröße, die schwingt | Auslenkung \(y\) | Auslenkung \(y\) | Ladung \(q\) (und der Strom) |
| \(T\) wird größer, wenn … | … \(m\) größer oder \(D\) kleiner wird | … \(l\) größer wird | … \(L\) oder \(C\) größer wird |
| \(T\) hängt nicht ab von … | der Amplitude | der Masse und der Amplitude (bis etwa \(10^\circ\)) | der Amplitude |
| Faustregel aus dem Kapitel | vierfache Masse verdoppelt \(T\) | vierfache Länge verdoppelt \(T\) | Einheiten mH und \(\mathrm{\mu F}\) zuerst in H und F umrechnen |
| Zahlenbeispiel | \(m=0{,}20\,\mathrm{kg}\), \(D=20\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\) \(\Rightarrow T=0{,}63\,\mathrm s\) | \(l=1{,}0\,\mathrm m\), \(g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\) \(\Rightarrow T=2{,}0\,\mathrm s\) | \(L=10\,\mathrm{mH}\), \(C=1{,}0\,\mathrm{\mu F}\) \(\Rightarrow T=0{,}63\,\mathrm{ms}\) |
Die Analogie zwischen Mechanik und Elektrik
Feder-Masse-Pendel und Schwingkreis sind dieselbe Schwingung in verschiedener Verkleidung. Ersetzt man in \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) jede mechanische Größe durch ihre elektrische Entsprechung, entsteht genau die Thomson-Gleichung \(T=2\pi\sqrt{L\,C}\):
- \(m\;\leftrightarrow\;L\)Trägheit: die Masse entspricht der Induktivität
- \(D\;\leftrightarrow\;\dfrac{1}{C}\)Rücktrieb: die Federhärte entspricht dem Kehrwert der Kapazität
- \(y\;\leftrightarrow\;q\)Zustandsgröße: die Auslenkung entspricht der Ladung
Setzt man ein: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\;\longrightarrow\;2\pi\sqrt{\dfrac{L}{1/C}}=2\pi\sqrt{L\cdot C}\). Deshalb ist der Einwand „im Schwingkreis bewegt sich doch nichts“ kein Gegenargument: Es schwingen Ladung und Strom statt eines Körpers.
Alle Zahlenbeispiele des Kapitels
Diese Werte wurden im Kapitel gerechnet. Nutzen Sie die Tabelle zur Kontrolle: Wenn Ihre Rechnung dieselbe Zahl liefert, stimmen Formel, Einheiten und Rechenweg.
| Nr. | Gegeben | Rechenweg | Ergebnis | Kapitel |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(T=0{,}5\,\mathrm s\) | \(f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0{,}5\,\mathrm s}\) | \(f=2\,\mathrm{Hz}\) | 4.1.1 |
| 2 | \(T=0{,}80\,\mathrm s\) | \(f=\dfrac{1}{0{,}80\,\mathrm s}\) | \(f=1{,}25\,\mathrm{Hz}\) | 4.1.1 |
| 3 | \(\hat y=5{,}0\,\mathrm{cm}\), \(T=2{,}0\,\mathrm s\), \(t=0{,}5\,\mathrm s\) | \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\pi\,\tfrac{1}{\mathrm s}\); \(y=5{,}0\,\mathrm{cm}\cdot\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\) | \(y=5{,}0\,\mathrm{cm}\) — der Umkehrpunkt | 4.1.2 |
| 4 | \(\hat y=4{,}0\,\mathrm{cm}\), \(\varphi=30^\circ\) | \(y=4{,}0\,\mathrm{cm}\cdot\sin 30^\circ=4{,}0\,\mathrm{cm}\cdot 0{,}5\) | \(y=2{,}0\,\mathrm{cm}\) | 4.1.3 |
| 5 | \(m=0{,}20\,\mathrm{kg}\), \(D=20\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\) | \(T=2\pi\sqrt{0{,}010\,\mathrm{s^2}}=2\pi\cdot 0{,}10\,\mathrm s\) | \(T=0{,}63\,\mathrm s\) | 4.2.1 |
| 6 | \(l=1{,}0\,\mathrm m\), \(g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\) | \(T=2\pi\cdot 0{,}319\,\mathrm s\) | \(T=2{,}0\,\mathrm s\) — das Sekundenpendel | 4.2.2 |
| 7 | \(L=10\,\mathrm{mH}\), \(C=1{,}0\,\mathrm{\mu F}\) | \(T=2\pi\sqrt{10^{-2}\,\mathrm H\cdot 10^{-6}\,\mathrm F}=2\pi\cdot 10^{-4}\,\mathrm s\) | \(T=0{,}63\,\mathrm{ms}\), \(f\approx 1{,}6\,\mathrm{kHz}\) | 4.2.3 |
Zeile 3 zeigt die klassische Stolperstelle: Setzt man \(f\) statt \(\omega\) in \(y=\hat y\sin(\omega t)\) ein oder rechnet im Gradmaß statt im Bogenmaß, kommt Unsinn heraus.
Die Schwingungs-Werkstatt
Wählen Sie einen Oszillator, stellen Sie die Größen ein und beobachten Sie, wie sich \(T\), \(f\) und \(\omega\) ändern. Die Kurve zeigt \(y(t)=\hat y\sin(\omega t)\): Je kürzer die Schwingungsdauer, desto mehr Schwingungen passen in das Zeitfenster — höchstens zwölf, danach wird die Zeitachse gedehnt. Lesen Sie das Fenster stets an der Achsenbeschriftung ab. Bedienung mit der Maus oder vollständig über die Tastatur — das Diagramm lässt sich mit der Tabulatortaste anspringen, die Pfeiltasten verändern die beiden Größen, Enter wechselt den Oszillator.
Schwingungs-Werkstatt
Drei Oszillatoren, ein Bauplan. Die Amplitude verändert nur die Höhe der Kurve — auf \(T\), \(f\) und \(\omega\) hat sie bei keinem der drei Systeme einen Einfluss.
Vier Aufträge
Stellen Sie die Werte ein — jeder Auftrag hakt sich von selbst ab, sobald er erfüllt ist, und zählt in der Fortschrittsanzeige oben mit.
- Federpendel nachrechnen. Stellen Sie \(m=0{,}20\,\mathrm{kg}\) und \(D=20\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\) ein und prüfen Sie, ob \(T=0{,}63\,\mathrm s\) herauskommt.
- Vierfache Masse. Lassen Sie \(D=20\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\) stehen und vervierfachen Sie die Masse auf \(m=0{,}80\,\mathrm{kg}\). Bestätigen Sie: \(T\) verdoppelt sich auf \(1{,}26\,\mathrm s\).
- Sekundenpendel finden. Wechseln Sie zum Fadenpendel und suchen Sie die Länge, bei der \(T\approx 2{,}0\,\mathrm s\) beträgt. Beobachten Sie dabei den Masse-Regler.
- Thomson-Gleichung prüfen. Wechseln Sie zum Schwingkreis und stellen Sie \(L=10\,\mathrm{mH}\) und \(C=1{,}0\,\mathrm{\mu F}\) ein. Kontrollieren Sie \(T=0{,}63\,\mathrm{ms}\) und \(f\approx 1{,}6\,\mathrm{kHz}\).
Selbstcheck — wo stehen Sie?
Gehen Sie die zwölf Punkte ehrlich durch. Klappen Sie einen Punkt auf: Dort steht, worauf es ankommt und wo Sie nachlesen. Jeder aufgeklappte Punkt gilt als bearbeitet und zählt in der Fortschrittsanzeige oben mit — Ihr Stand bleibt in diesem Browser gespeichert.
Ich benenne Ruhelage, Auslenkung, Umkehrpunkte und Amplitude und weiß, dass die Amplitude nur von der Ruhelage bis zum Umkehrpunkt reicht.
Ich rechne mit \(f=\dfrac{1}{T}\) zwischen Periodendauer und Frequenz hin und her und kenne die Einheit Hertz.
Ich lese aus einem \(t\)-\(y\)-Diagramm Amplitude und Periodendauer ab und weiß, wie man \(T\) sauber misst.
Ich nenne die Größen, die während einer Schwingung konstant bleiben, und die, die sich ständig ändern.
Ich erläutere, wann eine Schwingung harmonisch ist — am Diagramm und am Kraftgesetz.
Ich berechne die Kreisfrequenz mit \(\omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T}\) und verwechsle sie nicht mit der Frequenz.
Ich werte \(y(t)=\hat y\sin(\omega t)\) für einen Zeitpunkt aus — mit dem Taschenrechner im Bogenmaß.
Ich erkläre, wie aus einem gleichmäßig rotierenden Zeiger die Sinuskurve entsteht.
Ich rechne mit dem Phasenwinkel: \(\varphi=\omega t\), ein voller Umlauf ist \(2\pi\) bzw. \(360^\circ\).
Ich berechne \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) und begründe, warum die Amplitude darin nicht vorkommt.
Ich berechne \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}\) und erkläre, warum die Masse des Pendelkörpers keine Rolle spielt.
Ich wende die Thomson-Gleichung \(T=2\pi\sqrt{L\,C}\) an, rechne mH und \(\mathrm{\mu F}\) sauber um und beschreibe die Energiependelung.
Punkte, bei denen Sie gezögert haben, sind Ihre Wiederholungsliste. Arbeiten Sie das zugehörige Unterkapitel noch einmal durch und kommen Sie danach hierher zurück.